线性方程组（三）- 向量方程

小结

1. 向量的定义
2. 向量方程的定义和求解
3. S p a n { v } \boldsymbol{Span\{v\}} Span{v}与 S p a n { u , v } \boldsymbol{Span\{u,v\}} Span{u,v}的几何解释

R 2 \mathbb{R}^{2} R2中的向量

仅含一列的矩阵称为&列向量，或简称向量。向量表示一组有序数。
包含两个元素的向量表示为： w = [ w 1 w 2 ] \boldsymbol{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \end{bmatrix} w=[w1​w2​​]，其中 w 1 w_1 w1​和 w 2 w_2 w2​是任意实数。
所有两个元素的向量的集记为 R 2 \mathbb{R}^{2} R2，$\mathbb{R}$表示向量中的元素是实数，而指数2表示每个向量包含两个元素。
R 2 \mathbb{R}^{2} R2中两个向量相等当且仅当其对应元素相等。即 R 2 \mathbb{R}^{2} R2中的向量是实数的有序对。
给定实数$c$和 R 2 \mathbb{R}^{2} R2中两个向量$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$，它们的和$\mathbf{u}+\mathbf{v}$是把$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$对应元素相加所得的向量。$\mathbf{u}$和$c$的标量乘法（或数乘）是把$\mathbf{u}$的每个元素乘以$c$，所得向量记为$c\mathbf{u}$。$c\mathbf{u}$中的数$c$称为标量（或数）。

给定 u = [ 1 − 2 ] \boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ \end{bmatrix} u=[1−2​]和 u = [ 2 − 5 ] \boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 2 \\ -5 \\ \end{bmatrix} u=[2−5​]，求$4\mathbf{u}-3\mathbf{v}$
解： $4\mathbf{u}-3\mathbf{v}$
= 4 u + ( − 3 ) v = [ 4 ∗ 1 4 ∗ ( − 2 ) ] + [ − 3 ∗ 2 − 3 ∗ ( − 5 ) ] = [ 4 − 8 ] + [ − 6 15 ] = [ 4 + ( − 6 ) − 8 + 15 ] = [ − 2 7 ] \qquad= 4\boldsymbol{u} + (-3)\boldsymbol{v} \\ \qquad = \begin{bmatrix} 4 * 1 \\ 4 * (-2) \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 * 2 \\ -3 * (-5) \\ \end{bmatrix}\\ \qquad = \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -6 \\ 15 \\ \end{bmatrix}\\ \qquad = \begin{bmatrix} 4 + (-6) \\ -8 + 15 \\ \end{bmatrix}\\ \qquad = \begin{bmatrix} -2 \\ 7 \\ \end{bmatrix} =4u+(−3)v=[4∗14∗(−2)​]+[−3∗2−3∗(−5)​]=[4−8​]+[−615​]=[4+(−6)−8+15​]=[−27​]

R 2 \mathbb{R}^{2} R2的几何表示

考虑平面上的直角坐标系。因为平面上每个点由实数的有序对确定，所以可把几何点$(a,b)$与列向量 [ a b ] \left[\begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix}\right] [ab​]等同。因此我们可把 R 2 \mathbb{R}^{2} R2看作平面上所有点的集合。
向量 [ 3 − 1 ] \left[\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ \end{matrix}\right] [3−1​]的几何表示是一条由原点$(0,0)$指向点$(3,-1)$的有向线段。

向量加法的平行四边形法则
若 R 2 \mathbb{R}^{2} R2中向量$\mathbf{u}$和向量$\mathbf{v}$用平面上的点表示，则$\mathbf{u}+\mathbf{v}$对应于以$\mathbf{u}$，$0$和$\mathbf{v}$为顶点的平行四边形的第4个顶点。

R n \mathbb{R}^{n} Rn中的向量

R 3 \mathbb{R}^{3} R3中向量是$3\times 1$列矩阵，有3个元素。它们表示三维空间中的点，或起点为原点的箭头。

若$n$是正整数，则 R n \mathbb{R}^{n} Rn表示所有$n$个实数数列（或有序$n$元组）的集合，通常写成$n\times 1$列矩阵的形式， u = [ u 1 u 2 ⋮ u n ] \boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix} u=⎣⎢⎢⎢⎡​u1​u2​⋮un​​⎦⎥⎥⎥⎤​。
所有元素都是零的向量称为零向量，用$0$表示。

R n \mathbb{R}^{n} Rn中向量相等以及向量加法与标量乘法类似于 R 2 \mathbb{R}^{2} R2中的定义。
R n \mathbb{R}^{n} Rn中向量的代数性质
对 R n \mathbb{R}^{n} Rn中一切向量$\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$以及标量$c$和$d$:
$$\begin{gathered} \mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}c(\mathbf{u}+\mathbf{v})=c\mathbf{u}+c\mathbf{v} \\ (\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})(c+d)\mathbf{u}=c\mathbf{u}+d\mathbf{u} \\ \mathbf{u}+0=0+\mathbf{u}=\mathbf{u}c(d\mathbf{u})=cd\mathbf{u} \\ \mathbf{u}+(-\mathbf{u})=-\mathbf{u}+\mathbf{u}=01\mathbf{u}=\mathbf{u} \end{gathered}$$

线性组合

给定 R n \mathbb{R}^{n} Rn中向量 v 1 , v 2 , ⋯   , v p \boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p} v1​,v2​,⋯,vp​和标量 c 1 , c 2 , ⋯   , v p c_1, c_2,\cdots,v_p c1​,c2​,⋯,vp​，向量 y = c 1 v 1 + ⋯ + c p v p \boldsymbol{y}= c_1\boldsymbol{v_1} + \cdots + c_p\boldsymbol{v_p} y=c1​v1​+⋯+cp​vp​称为向量 v 1 , v 2 , ⋯   , v p \boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p} v1​,v2​,⋯,vp​以 c 1 , c 2 , ⋯   , v p c_1, c_2,\cdots,v_p c1​,c2​,⋯,vp​为权的线性组合。形如 y = c 1 v 1 + ⋯ + c p v p \boldsymbol{y}= c_1\boldsymbol{v_1} + \cdots + c_p\boldsymbol{v_p} y=c1​v1​+⋯+cp​vp​的方程称为向量方程。

设 a 1 = [ 1 − 2 − 5 ] \boldsymbol{a_1}=\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \\ \end{bmatrix} a1​=⎣⎡​1−2−5​⎦⎤​， a 2 = [ 2 5 6 ] \boldsymbol{a_2}=\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix} a2​=⎣⎡​256​⎦⎤​， b = [ 7 4 − 3 ] \boldsymbol{b}= \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \\ -3 \\ \end{bmatrix} b=⎣⎡​74−3​⎦⎤​，确定$\mathbf{b}$能否写成 a 1 \boldsymbol{a_1} a1​和 a 2 \boldsymbol{a_2} a2​的线性组合，也就是说，确定是否存在权 x 1 x_1 x1​和 x 2 x_2 x2​使 x 1 a 1 + x 2 a 2 = b x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} = \boldsymbol{b} x1​a1​+x2​a2​=b。
解： x 1 a 1 + x 2 a 2 = x 1 [ 1 − 2 − 5 ] + x 2 [ 2 5 6 ] = [ x 1 + 2 x 2 − 2 x 1 + 5 x 2 − 5 x 1 + 6 x 2 ] x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2}= x_1\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \\ \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 \\ -2x_1 + 5x_2 \\ -5x_1 + 6x_2 \\ \end{bmatrix} x1​a1​+x2​a2​=x1​⎣⎡​1−2−5​⎦⎤​+x2​⎣⎡​256​⎦⎤​=⎣⎡​x1​+2x2​−2x1​+5x2​−5x1​+6x2​​⎦⎤​
向量相等当且仅当它们的对应元素相等。即 x 1 x_1 x1​和 x 2 x_2 x2​满足 x 1 a 1 + x 2 a 2 = b x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} = \boldsymbol{b} x1​a1​+x2​a2​=b当且仅当 x 1 x_1 x1​和 x 2 x_2 x2​满足方程组 { x 1 + 2 x 2 = 7 − 2 x 1 + 5 x 2 = 4 − 5 x 1 + 6 x 2 = − 3 \begin{cases} x_1 + 2x_2 = 7 \\ -2x_1 + 5x_2 = 4 \\ -5x_1 + 6x_2 = -3 \\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​x1​+2x2​=7−2x1​+5x2​=4−5x1​+6x2​=−3​。
用行化简算法将方程组的增广矩阵化简，以此解方程组：
[ 1 2 7 − 2 5 4 − 5 6 − 3 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ -2 & 5 & 4 \\ -5 & 6 & -3 \\ \end{bmatrix} ⎣⎡​1−2−5​256​74−3​⎦⎤​～ [ 1 2 7 0 9 18 0 16 32 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 9 & 18 \\ 0 & 16 & 32 \\ \end{bmatrix} ⎣⎡​100​2916​71832​⎦⎤​～ [ 1 2 7 0 1 2 0 16 32 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 16 & 32 \\ \end{bmatrix} ⎣⎡​100​2116​7232​⎦⎤​
～ [ 1 2 7 0 1 2 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} ⎣⎡​100​210​720​⎦⎤​～ [ 1 0 3 0 1 2 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} ⎣⎡​100​010​320​⎦⎤​
由阶梯形矩阵最右列不是主元列，可知其有解。解为 x 1 = 3 , x 2 = 2 x_1=3,x_2=2 x1​=3,x2​=2。
因此$\mathbf{b}$是 a 1 \boldsymbol{a_1} a1​与 a 2 \boldsymbol{a_2} a2​的线性组合，权为 x 1 = 3 , x 2 = 2 x_1=3,x_2=2 x1​=3,x2​=2。

若$\mathbf{A}$是$m\times n$矩阵。$\mathbf{A}$的各列是 R m \mathbb{R}^{m} Rm中的向量，用 a 1 , ⋯   , a n \boldsymbol{a_1}, \cdots,\boldsymbol{a_n} a1​,⋯,an​表示，则A= [ a 1 , ⋯   , a n ] \begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1},\cdots,\boldsymbol{a_n} \end{bmatrix} [a1​,⋯,an​​]。

注意：求解过程中，增广矩阵 [ 1 2 7 − 2 5 4 − 5 6 − 3 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ -2 & 5 & 4 \\ -5 & 6 & -3 \\ \end{bmatrix} ⎣⎡​1−2−5​256​74−3​⎦⎤​的3列分别对应于 a 1 , a 2 , b \boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\boldsymbol{b} a1​,a2​,b。即增广矩阵可直接写为: [ a 1 , a 2 , b ] \begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\boldsymbol{b} \end{bmatrix} [a1​,a2​,b​]。

向量方程 x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ + x n a n = b x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} + \cdots + x_n\boldsymbol{a_n} = \boldsymbol{b} x1​a1​+x2​a2​+⋯+xn​an​=b和增广矩阵为 [ a 1 a 2 ⋯ a n b ] \begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1} & \boldsymbol{a_2} & \cdots & \boldsymbol{a_n} & \boldsymbol{b} \\ \end{bmatrix} [a1​​a2​​⋯​an​​b​]的线性方程组有相同的解。特别地，$\mathbf{b}$可表示为 a 1 , a 2 , ⋯   , a n \boldsymbol{a_1}, \boldsymbol{a_2}, \cdots, \boldsymbol{a_n} a1​,a2​,⋯,an​的线性组合当且仅当线性方程组有解。

S p a n { v } \boldsymbol{Span\{v\}} Span{v}与 S p a n { u , v } \boldsymbol{Span\{u,v\}} Span{u,v}的几何解释

若 v 1 , v 2 , ⋯   , v p \boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p} v1​,v2​,⋯,vp​是 R n \mathbb{R}^{n} Rn中的向量，则 v 1 , v 2 , ⋯   , v p \boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p} v1​,v2​,⋯,vp​的所有线性组合所成的集合用记号 S p a n { v 1 , v 2 , ⋯   , v p } \boldsymbol{Span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}} Span{v1​,v2​,⋯,vp​}表示，称为由 v 1 , v 2 , ⋯   , v p \boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p} v1​,v2​,⋯,vp​所生成（或张成）的 R n \mathbb{R}^{n} Rn的子集。也就是说， v 1 , v 2 , ⋯   , v p \boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p} v1​,v2​,⋯,vp​是所有形如 c 1 v 1 + c 2 v 2 + ⋯ + c p v p c_1\boldsymbol{v_1} + c_2\boldsymbol{v_2} + \cdots + c_p\boldsymbol{v_p} c1​v1​+c2​v2​+⋯+cp​vp​的向量的集合，其中 c 1 , c 2 , ⋯   , c p c_1,c_2,\cdots,c_p c1​,c2​,⋯,cp​为标量。

要判断向量$\mathbf{b}$是否属于 S p a n { v 1 , v 2 , ⋯   , v p } \boldsymbol{Span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}} Span{v1​,v2​,⋯,vp​}，就是判断向量方程 x 1 v 1 + x 2 v 2 + ⋯ + x p v p = b x_1\boldsymbol{v_1}+x_2\boldsymbol{v_2}+\cdots+x_p\boldsymbol{v_p}=\boldsymbol{b} x1​v1​+x2​v2​+⋯+xp​vp​=b是否有解，或等价地，判断增广矩阵为 [ v 1 v 2 ⋯ v p b ] \begin{bmatrix} \boldsymbol{v_1} & \boldsymbol{v_2} & \cdots & \boldsymbol{v_p} & \boldsymbol{b} \\ \end{bmatrix} [v1​​v2​​⋯​vp​​b​]的线性方程组是否有解。

设$\mathbf{v}$是 R 3 \mathbb{R}^{3} R3中的向量，那么 S p a n { v } \boldsymbol{Span\{v\}} Span{v}就是$\mathbf{v}$的所有标量倍数的集合，也就是 R 3 \mathbb{R}^{3} R3中通过$\mathbf{v}$和$0$的直线上所有点的集合。

若$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$是 R 3 \mathbb{R}^{3} R3中的非零向量，$\mathbf{v}$不是$\mathbf{u}$的倍数，则 S p a n { u , v } \boldsymbol{Span\{u,v\}} Span{u,v}是 R 3 \mathbb{R}^{3} R3中包含$\mathbf{u}$，$\mathbf{v}$和$0$的平面。

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