泛函分析笔记07：L^\infty空间、赋范空间的进一步性质及有穷维赋范空间特征

文章目录

• 2.3 L ∞ ( E ) L^\infty (E) L∞(E)空间
• 2.4赋范空间的进一步性质
• • 赋范空间的完备化
  • 商空间
  • 乘积空间
  • 基
  • 等价范数
• 2.5 有限维赋范空间

2.3 L ∞ ( E ) L^\infty (E) L∞(E)空间

定义3.8（ L ∞ ( E ) L^\infty (E) L∞(E)空间）：设 $E$ 为 $\mathbb{R}$ 中Lebesgue可测集, 记 L ∞ ( E ) L^{\infty}(E) L∞(E) 为 $E$ 上可测且 本性有界 $(\exists M<\infty$ 使 $|x(t)|\le M$, a.e $t\in E$, 亦可 称 $M$ 为 $x$ 的一个本性上界 $)$ 的函数 $x$ 全体组成的空间,其中几乎处处相等的函数视为同一元, 在通常加 法和数乘下是一个线性空间，
定义

∥ x ∥ = inf ⁡ m ( E 0 ) = 0 sup ⁡ t ∈ E \ E 0 ∣ x ( t ) ∣ , ∀ x ∈ L ∞ ( E ) \|x\|=\inf _{m\left(E_{0}\right)=0} \sup _{t \in E \backslash E_{0}}|x(t)|, \quad \forall x \in L^{\infty}(E) ∥x∥=m(E0​)=0inf​t∈E\E0​sup​∣x(t)∣,∀x∈L∞(E)

• 注1: 上述下确界是可达的, 即存在零测集 E 0 ⊆ E_{0} \subseteq E0​⊆ $E$ 使得 sup ⁡ t ∈ E \ E 0 ∣ x ( t ) ∣ = ∥ x ∥ \sup _{t\in E \backslash E_0}|x(t)|=\|x\| supt∈E\E0​​∣x(t)∣=∥x∥;

• 注2：$|x(t)|\le \Vert x\Vert ,\text{ a.e }t\in E$

• 注3： ∥ x ∥ = inf ⁡ { M ≥ 0 : ∣ x ( t ) ∣ ≤ M , \|x\|=\inf \{M \geq 0:|x(t)| \leq M, \quad ∥x∥=inf{M≥0:∣x(t)∣≤M, a.e $t\in E\}$, 称 $\Vert x\Vert$ 为 $x$ 的本性界，记为 e s s s u p t ∈ E ∣ x ( t ) ∣ ess\ sup_{t\in E} |x(t)| ess supt∈E​∣x(t)∣

关于 L ∞ L^\infty L∞空间的性质：

• ( L ∞ ( E ) , ∥ ⋅ ∥ ) \left(L^{\infty}(E),\|\cdot\|\right) (L∞(E),∥⋅∥) 是一个 $(B)$ 空间

• 当 $m(E)>0$ 时, L ∞ ( E ) L^{\infty}(E) L∞(E) 是不可分的

2.4赋范空间的进一步性质

赋范空间的完备化

设 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 为赋范空间, 定义 X ~ = { x ~ = { x n } n = 1 ∞ : { x n } n = 1 ∞ \widetilde{X}=\left\{\tilde{x}=\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}:\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\right. X ={x~={xn​}n=1∞​:{xn​}n=1∞​ 为 $X$ 中 Cauchy 列 $\}$。

当 { x n } n = 1 ∞ \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} {xn​}n=1∞​ 为 Cauchy列时 { ∥ x n ∥ } n = 1 ∞ \left\{\left\|x_{n}\right\|\right\}_{n=1}^{\infty} {∥xn​∥}n=1∞​ 也是Cauchy列, 由此定义
∥ x ~ ∥ = lim ⁡ n → ∞ ∥ x n ∥ , ∀ x ~ = { x n } n = 1 ∞ ∈ X ~ \begin{aligned} &\|\tilde{x}\|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_{n}\right\|, \quad \forall \tilde{x}=\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \in \tilde{X} \\ \end{aligned} ​∥x~∥=n→∞lim​∥xn​∥,∀x~={xn​}n=1∞​∈X~​
则有：

x ~ + y ~ = { x n + y n } n = 1 ∞ , α x ~ = { α x n } n = 1 ∞ \tilde{x}+\tilde{y}=\left\{x_{n}+y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}, \quad \alpha \tilde{x}=\left\{\alpha x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} x~+y~​={xn​+yn​}n=1∞​,αx~={αxn​}n=1∞​

零元 θ ~ = { x n } n = 1 ∞ ( \tilde{\theta}=\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \quad\left(\right. θ~={xn​}n=1∞​( 其中 ∥ x n ∥ → 0 ) \left.\left\|x_{n}\right\| \rightarrow 0\right) ∥xn​∥→0)
x ~ = y ~ ⟺ ∥ x n − y n ∥ → 0 \tilde{x}=\tilde{y} \Longleftrightarrow\left\|x_{n}-y_{n}\right\| \rightarrow 0 \quad x~=y~​⟺∥xn​−yn​∥→0 (其中 x ~ = { x n } n = 1 ∞ , y ~ = { y n } n = 1 ∞ \tilde{x}=\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}, \quad \tilde{y}=\left\{y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} x~={xn​}n=1∞​,y~​={yn​}n=1∞​ )

则 ( X ~ , ∥ ⋅ ∥ ) (\tilde{X},\|\cdot\|) (X~,∥⋅∥) 是一个 $(\mathrm{B})$ 空间,
且 $X$ 与 X ~ \widetilde{X} X 的稠子空间 X ~ 0 = { x ~ ∈ X ~ : x ~ = { x n } n = 1 ∞ \widetilde{X}_{0}=\left\{\tilde{x} \in \widetilde{X}: \tilde{x}=\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\right. X 0​={x~∈X :x~={xn​}n=1∞​ 为常驻列 $\}$ 等价, 称 X ~ \widetilde{X} X 为 $X$ 的完备化。

注：赋范空间的完备化空间在等价的意义下是唯一 的, 即: 如果 $X$ 为赋范空间, $E$ 和 $F$ 为 $(\mathrm{B})$ 空间且 $X$ 等 价于 $E$ 和 $F$ 的稠子空间, 则 $E$ 和 $F$ 等价。

商空间

设 $M$ 是线性空间 $X$ 的(线性)子空间。 对 $\forall x,y\in$ $X$, 定义 x ∼ y ⟺ def  x − y ∈ M x \sim y \stackrel{\text { def }}{\iff} x-y \in M x∼y⟺ def ​x−y∈M, 则 “ $\sim$ ”为 $X$ 上的一个 等价关系。 $X$ 被分为两两不交的等价类, 记 X ~ \widetilde{X} X 为所有 这些等价类组成的集合。 记 $x$ 所在的等价类为 x ~ \tilde{x} x~, 易 知 x ~ = x + M = { x + y : y ∈ M } \tilde{x}=x+M=\{x+y: y \in M\} x~=x+M={x+y:y∈M} 。定义：
x ~ + y ~ = x + y ~ , α x ~ = α x ~ , 零元  θ ~ = M \tilde{x}+\tilde{y}=\widetilde{x+y}, \quad \alpha \tilde{x}=\widetilde{\alpha x}, \quad \text { 零元 } \tilde{\theta}=M x~+y~​=x+y ​,αx~=αx , 零元 θ~=M
则 X ~ \widetilde{X} X 成为一个线性空间, 称之为 $X$ 关于 $M$ 的商空间, 记为 $X/M$ 。
如果 $X$ 是赋范空间, $M$ 为 $X$ 的闭子空间, 可以在 $X/M$ 上 定义范数
∥ x ~ ∥ = inf ⁡ y ∈ x ~ ∥ y ∥ , ∀ x ~ ∈ X / M \|\tilde{x}\|=\inf _{y \in \tilde{x}}\|y\|, \quad \forall \tilde{x} \in X / M ∥x~∥=y∈x~inf​∥y∥,∀x~∈X/M
使其成为一个赋范空间。称 $(X/M,\Vert \cdot \Vert )$ 为赋 范商空间。

定理 3.9： 设 $X$ 为 $(B)$ 空间, $M\subseteq X$ 为闭子空间, 则 $X/M$ 是 $(B)$ 空间; 反之, 如果 $X/M$ 和 $M$ 为 $(B)$ 空间, 则 $X$ 是 $(B)$ 空间。

乘积空间

设 $X,Y$ 为赋范空间, $X\times Y$ 按坐标定义 加法和数乘成为一个线性空间, 定义
$$\Vert (x,y)\Vert =\Vert x\Vert +\Vert y\Vert ,\forall (x,y)\in X\times Y$$
则 $X\times Y$ 是一个赋范空间。

关于其完备性和可分性有以下直觉，并可证明其成立：

$X$ 和 $Y$ 完备 $⟺X\times Y$ 完 备。

$X$ 和 $Y$ 可分 $⟺X\times Y$ 可分。

基

设 $X$ 为线性空间, $A\subseteq X$, 则 $X$ 中所有包含 $A$ 的 线性子空间的交仍为 $X$ 的线性子空间，称这个交为 由 $A$ 生成的线性子空间, 记为 $\mathrm{span}(A)$ 。事实上
span ⁡ ( A ) = { ∑ j = 1 n ξ j x j : n ∈ N , ξ j ∈ K , x j ∈ A } \operatorname{span}(A)=\left\{\sum_{j=1}^{n} \xi_{j} x_{j}: n \in \mathbb{N}, \xi_{j} \in \mathbb{K}, x_{j} \in A\right\} span(A)={j=1∑n​ξj​xj​:n∈N,ξj​∈K,xj​∈A}

• 如果 $A$ 中的任意有限个元均线性无关, 则称 $A$ 是线性无关的。

如果 $H\subseteq X$ 线性无关且 $\mathrm{span}(H)=X$, 则称 $H$ 为 $X$ 的 Hamel基。

此时, $\forall x\in X$, $\exists$! 系数 { ξ h } h ∈ H \left\{\xi_{h}\right\}_{h \in H} {ξh​}h∈H​ (其中非零项有限), 使得 x = ∑ h ∈ H ξ h h x=\sum_{h \in H} \xi_{h} h x=∑h∈H​ξh​h,称 H ‾ ‾ \overline{\overline{H}} H 为 $X$ 的Hamel维数（称 { ξ h } h ∈ H \left\{\xi_{h}\right\}_{h \in H} {ξh​}h∈H​ 为 $x$ 关于 Hamel 基 $H$ 的 Hamel 系 数）。
当 H ‾ ‾ < ℵ 0 \overline{\overline{H}}<\aleph_{0} H<ℵ0​ 时, 称 $X$ 是有限维的; 否则称 $X$ 是无穷维的。

• 任何(非平凡的)线性空间均存在 Hamel基。

• 设 { e n } n = 1 ∞ ⊆ X ( X \left\{e_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \subseteq X(X {en​}n=1∞​⊆X(X 为赋范空间 $)$, 如果 $\forall x\in X$, 存在 唯一的 { ξ n } n = 1 ∞ ⊆ K \left\{\xi_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \subseteq \mathbb{K} {ξn​}n=1∞​⊆K, 使得 x = ∑ n = 1 ∞ ξ n e n x=\sum_{n=1}^{\infty} \xi_{n} e_{n} x=∑n=1∞​ξn​en​ (按范数收敛), 则称 { e n } n = 1 ∞ \left\{e_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} {en​}n=1∞​ 为 $X$ 的Schauder 基。

注: Schauder基都是线性无关的; 如果 $X$ 具有 Schauder 基则 $X$ 可分。反之不成立。

等价范数

设 $X$ 上有两个范数 ∥ ⋅ ∥ 1 \|\cdot\|_{1} ∥⋅∥1​ 和 ∥ ⋅ ∥ 2 \|\cdot\|_{2} ∥⋅∥2​, 如果 存在 $\alpha ,\beta >0$ 使
α ∥ x ∥ 1 ≤ ∥ x ∥ 2 ≤ β ∥ x ∥ 1 , ∀ x ∈ X \alpha\|x\|_{1} \leq\|x\|_{2} \leq \beta\|x\|_{1}, \quad \forall x \in X α∥x∥1​≤∥x∥2​≤β∥x∥1​,∀x∈X
则称 ∥ ⋅ ∥ 1 \|\cdot\|_{1} ∥⋅∥1​ 与 ∥ ⋅ ∥ 2 \|\cdot\|_{2} ∥⋅∥2​ 等价,此时, ( X , ∥ ⋅ ∥ 1 ) \left(X,\|\cdot\|_{1}\right) (X,∥⋅∥1​) 与 ( X , ∥ ⋅ ∥ 2 ) \left(X,\|\cdot\|_{2}\right) (X,∥⋅∥2​) 线性同胚 (线性同构且同胚)。

• 范数的等价是一个等价关系

2.5 有限维赋范空间

定理 3.10： K n \mathbb{K}^{n} Kn 上的任意两个范数都等价。

推论 ：

• $n$ 维线性空间上的任意两个范数都等价;

• $\mathbb{K}$ 上任意两个 $n$ 维赋范空间均线性同胚;

• 有限维赋范空间均完备;

• 任意赋范空间的有限维子空间均是闭的;

• 有限维赋范空间中的有界集都是列紧的。

事实上， 有界集都列紧是有限维赋范空间的一个特征。

为证明上述结论，先给出一个引理：

引理 3.11：( Riesz $)$ 设 $X$ 赋范, X 0 X_{0} X0​ 为 $X$ 的真闭子空间, 则 ∀ ε > 0 , ∃ x 0 ∈ S X = { x ∈ X : ∥ x ∥ = 1 } \forall \varepsilon>0, \exists x_{0} \in S_{X}=\{x \in X:\|x\|=1\} ∀ε>0,∃x0​∈SX​={x∈X:∥x∥=1} (单位球面) 使
∥ x 0 − x ∥ > 1 − ε , ∀ x ∈ X 0 \left\|x_{0}-x\right\|>1-\varepsilon, \quad \forall x \in X_{0} ∥x0​−x∥>1−ε,∀x∈X0​
上述结果可写成 ∀ ε > 0 , ∃ x 0 ∈ S X \forall \varepsilon>0, \exists x_{0} \in S_{X} ∀ε>0,∃x0​∈SX​ 使 d ( x 0 , X 0 ) ≥ d\left(x_{0}, X_{0}\right) \geq d(x0​,X0​)≥

有限维赋范空间的等价刻画：

定理 3.12： $X$ 为有限维赋范空间 $⟺X$ 中的有界集都列紧 $⟺X$ 中的单位球面 S X S_{X} SX​ 列紧。

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