蓝桥杯——包子凑数（JAVA）

题目：

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有 N 种蒸笼，其中第 i 种蒸笼恰好能放Ai​ 个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。

每当有顾客想买 X 个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有 X 个包子。比如一共有 3 种蒸笼，分别能放 3、4 和 5 个包子。当顾客想买 11 个包子时，大叔就会选 2 笼 3 个的再加 1 笼 5 个的（也可能选出 1 笼 3 个的再加 2 笼 4 个的）。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有 3 种蒸笼，分别能放 4、5 和 6 个包子。而顾客想买 7 个包子时，大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入描述

第一行包含一个整数 N （1≤N≤100)。

以下 N 行每行包含一个整数 Ai​ (1≤Ai​≤100)。

输出描述

一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出 INF。

输入输出样例

示例 1

输入

2
4
5

输出

6

样例说明

凑不出的数目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。

示例 2

输入

2
4
6

输出

INF

样例说明

所有奇数都凑不出来，所以有无限多个

运行限制

• 最大运行时间：1s
• 最大运行内存: 256M

代码： 

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();              //n笼包子int sum=0;                         //记录有多少数求不出来int[] A = new int[n + 1];          //每笼包子的包子数boolean[] dp = new boolean[10001];  //dp[i]=true表示i个包子可以拿出来for (int i = 1; i <= n; i++) {A[i] = sc.nextInt();dp[A[i]] = true;}int yue = A[1];                    //求最大公约数for (int i = 1; i <= n-1; i++) {yue=yueshu(yue,A[i+1]);}if (yue!=1){                       //若最大公约数为1则这些数互为质数，若不互为质数，则会有无数种凑不出来的情况。System.out.println("INF");return;}for (int i=1;i<=n;i++){for (int j=1;j<10001;j++){if (dp[j]&&j+A[i]<=10000){  //动态规划若j个可以拿出来那么j+A[i]个包子也可以拿出来dp[j+A[i]]=true;}}}for (int i=1;i<10001;i++){if (!dp[i]){sum++;}}System.out.println(sum);}public static int yueshu(int x, int y) {  //求最大公约数if (y == 0) {return x;}else {return yueshu(y, x % y);}}
}

思路：本题采用动态规划思想，先介绍一下互为质数

互为质数：两个或多个数，最大公因数只有1，则称为互为质数。

互为质数有一条性质：两个互质的数a和b最小不能表示的数就是(a-1)*(b-1)-1，也就是说两个互质的数a，b可以表示(a-1)*(b-1)之后的所有数字。

所以我们通过判断这些数是否互为质数来判断是否有无限个结果。

dp的长度我们设为10001，因为如果dp长度过长会导致超时，而题目中A[i]<=100所以10001完全够用。

最后通过遍历如果j个包子可以拿出来，那么j+A[i]个包子也一定可以拿出来，最后将不能拿出来的数进行统计输出即可。

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