级数求和与Z变换

MIT数字信号处理

1. 基本原理–等比数列求和公式

前n项和公式： s n = a 1 1 − q n 1 − q s_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q} sn​=a1​1−q1−qn​

z变换定义

常见信号的z变换推导

1. 阶跃信号：
   x ( n ) = ∑ k = 0 n z − k = 1 + z − 1 + z − 2 + . . . + z − n = 1 − z − n 1 − z − 1 = z z − 1 x\left( n \right) =\sum_{k=0}^n{z^{-k}} \\ =1+z^{-1}+z^{-2}+...+z^{-n} \\ =\frac{1-z^{-n}}{1-z^{-1}}=\frac{z}{z-1} x(n)=∑k=0n​z−k=1+z−1+z−2+...+z−n=1−z−11−z−n​=z−1z​
2. 指数序列
   f ( n ) = a n , n = 0 ， 1 ， 2 ， . . . x ( n ) = ∑ k = 0 n a k z − k = 1 + a z − 1 + a 2 z − 2 + . . . + a n z − n = 1 − a n z − n 1 − a z − 1 = z z − a f\left( n \right) =a^n,n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}... \\ x\left( n \right) =\sum_{k=0}^n{a^kz^{-k}} \\ =1+az^{-1}+a^2z^{-2}+...+a^nz^{-n} \\ =\frac{1-a^nz^{-n}}{1-az^{-1}}=\frac{z}{z-a} f(n)=an,n=0，1，2，...x(n)=∑k=0n​akz−k=1+az−1+a2z−2+...+anz−n=1−az−11−anz−n​=z−az​
3. 脉冲序列
   δ ( n ) = { 1 , n = 0 ; 0 , n ≠ 0 ; \delta \left( n \right) =\begin{cases} 1,n=0;\\ 0,n\ne 0;\\ \end{cases} δ(n)={1,n=0;0,n=0;​

生词

Causality：因果性；
因果系统：n时刻的输出只与前n拍及第n拍的输入有关。

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