MLAPP Chapter2 信息论

2.8 信息论

信息论关注的是以一种紧凑的方式表示数据(一种称为数据压缩或源代码编码的任务)，以及以一种对错误(一种称为错误修正或信道编码的任务)鲁棒性很好的方式传输和存储数据。

起初，这似乎与概率论和机器学习的关注点相去甚远，但实际上有一种亲密的联系。要了解这一点，请注意，紧凑地表示数据需要将短码字分配到可能性高的位字符串，并将较长的码字保留到不太可能的位字符串。

这与自然语言中的情况类似，在自然语言中，常见的词(如“a”、“the”、“and”)通常比罕见的词短得多。此外，要解码通过噪声信道发送的消息，需要有一个良好的关于人们发送的消息类型倾向的概率模型。在这两种情况下，我们都需要一个模型来预测哪种数据是可能的，哪种是不可能的，这也是机器学习中的一个核心问题(有关信息理论和机器学习之间的联系的更多细节，请参见MacKay 2003)。

显然，我们不能在这里深入了解信息理论的细节(参见封面和托马斯2006)，如果您有兴趣了解更多的话。然而，我们将在本书后面介绍一些基本概念。

2.8.1 熵（Entropy）

一个分布为P的随机变量X，他的熵用H(X)或H(p)表示，熵是不确定性的测度。特别地，对于有K个状态的离散变量，定义为：

$$H(X)\triangleq -\sum_{k=1}^Kp(X=k)log_2p(X=k)$$

通常我们用log_2，在这种情况下单位被称为位(bits)(二进制数字binary digits的缩写)。如果用log以e为底，单位称为nats。
均匀分布是熵最大的离散型分布。因此，对于k元随机变量，当$p(x = k) = 1/ k$时，熵最大，此时$H(X)=log_2K$ 。
相反，熵最小的分布（为0）是任何一个把质量都放在一个状态上的delta函数。这样的分布没有任何的不确定性。

2.8.2 KL散度

一种测量两个概率分布(p和q)的不相似性的方法被称为kullleibler散度(KL散度)或相对熵。定义如下：

$$KL(p||q)\triangleq \sum_{k=1}^Kp_klog\frac{p_k}{q_k}$$
将和替换成概率密度函数的积分，重写如下：
$$KL(p||q)=\sum_kp_k\log p_k - \sum_kp_k\log q_k=-H(p)+H(p,q)$$
$H(p,q)$ 被称为交叉熵：
$$H(p,q)\triangleq -\sum_kp_k\log q_k$$
交叉熵是当我们使用模型q定义我们的码本时，用分布为p的数据源进行编码所需的平均比特数。如果我们用真是模型，H(p)是期望的比特值，所以KL散度是它们之间的差。换句话说，KL散度是编码数据所需的额外比特的平均数，因为我们使用分布q来编码数据，而不是真正的分布p。
“额外的比特数”说明 $KL(p||q)≥0$ 并且仅当p=q时为0，现在给出一个重要结论：
定理2.8.1(信息不平等) KL(p||q)≥0除非p=q K L ( p | | q ) ≥ 0 除 非 p = q $KL(p||q)≥0 除非p=q$

2.8.3 互信息

（待续….）

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