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模运算即为取余运算，运算符为mod或%，程序当中运算优先级低于加减运算。
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等式简写：
a mod p = b mod p 可简写为 a≡b mod p -
基本运算
| 公式 | 举例 |
|---|---|
| 正数取模 | 12 mod 23 = 12、56 mod 23 = 10、672 mod 23 = 5 |
| 负数取模 | -12 mod 23 = 11、-56 mod 23 = 13 |
| 分数取模（逆元） | 1/3 mod 23 = 16、因 1/3 = 3^-1，故16可以称为3在模23下的逆元 |
- 四则运算
| 法则 | 公式 | 举例 |
|---|---|---|
| 加法 | a+b mod p = (a mod p) + (b mod p) mod p | 12+44 mod 23 = 56 mod 23 = 10、(12 mod 23) + (44 mod 23) mod 23 = 12+21 mod 23 = 33 mod 23 = 10 |
| 减法 | a-b mod p = (a mod p) – (b mod p) mod p | 68-12 mod 23 = 56 mod 23 = 10、(68 mod 23) – (12 mod 23) mod 23 = 22-12 mod 23 = 10 mod 23 = 10 |
| 乘法 | a*b mod p = (a mod p) * (b mod p) mod p | 12×56 mod 23 = 672 mod 23 = 5、(12 mod 23) × (56 mod 23) mod 23 = 12*10 mod 23 = 120 mod 23 = 5 |
| 次方 | a^b mod p = (a mod p)^b mod p | 56^2 mod 23 = 3136 mod 23 = 8、(56 mod 23)^2 mod 23 = 10^2 mod 23 = 100 mod 23 = 8 |
- 运算定律
| 定律 | 内容 | 举例 |
|---|---|---|
| 加法交换律 | a+b mod p = b+a mod p | 44+12 mod 23 = 56 mod 23 = 10、12+44 mod 23 = 56 mod 23 = 10 |
| 乘法交换律 | ab mod p = ba mod p | 7×8 mod 23 = 56 mod 23 = 10、8×7 mod 23 = 56 mod 23 = 10 |
| 加法结合律 | (a+b mod p) + c mod p = a + (b+c mod p) mod p | (672+12 mod 23) + 44 mod 23 = (684 mod 23) + 44 mod 23 = 17+44 mod 23 = 61 mod 23 = 15、672 + (12+44 mod 23) mod 23 = 672 + (56 mod 23) mod 23 = 672+10 mod 23 = 682 mod 23 = 15 |
| 乘法结合律 | (ab mod p) * c mod p = a * (bc mod p) mod p | (7×8 mod 23) × 12 mod 23 = (56 mod 23) × 12 mod 23 = 1012 mod 23 = 120 mod 23 = 5、7 * (812 mod 23) mod 23 = 7 * (96 mod 23) mod 23 = 7*4 mod 23 = 28 mod 23 = 5 |
| 分配率 | (a+b mod p) * c mod p = (ac mod p) + (bc mod p) mod p | (7×8 mod 23) × 12 mod 23 = (56 mod 23) × 12 mod 23 = 10×12 mod 23 = 120 mod 23 = 5、7 × (8×12mod 23) mod 23 = 7 × (96 mod 23) mod 23 = 7×4 mod 23 = 28 mod 23 = 5 |
- 运算定理
| 定理 | 举例 |
|---|---|
| 若a≡b mod p，则对于任意c，都有(a+c)≡(b+c) mod p | 28+10 mod 23 = 38 mod 23 = 15、120+10 mod 23 = 130 mod 23 = 15 |
| 若a≡b mod p，则对于任意c，都有(ac)≡(bc) mod p | 28×10 mod 23 = 280 mod 23 = 4、120×10 mod 23 = 1200 mod 23 = 4 |
| 若a≡b mod p，c≡d mod p，则 a+c ≡ b+d mod p，a-c ≡ b-d mod p | 280+38 mod 23 = 318 mod 23 = 19、1200+130 mod 23 = 1330 mod 23 = 19 ；280-38 mod 23 = 242 mod 23 = 12、1200-130 mod 23 = 1070 mod 23 = 12 |
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