数学知识(算法模板)

数学知识

文章目录

• 数学知识
• 一、质数
• • • 一、试除法判定质数
    • 二、试除法分解质因数
    • 三、朴素筛法求素数
    • 四、线性筛法求素数
• 二、约数
• • • 一、试除法求所有约数
    • 二、约数个数约数之和
    • 三、欧几里得算法
• 三、欧拉函数
• • • 一、欧拉函数的定义
    • 二、筛法求欧拉函数
• 四、快速幂
• • • 一、快速幂
    • 二、快速幂求逆元
• 扩展欧几里得
• • • 一、扩展欧几里得算法
    • 二、线性同余方程
• 高斯消元
• • • 一、高斯消元解线性方程组
    • 二、高斯消元解异或线性方程组
• 组合数
• • • 一、求组合数 I
    • 二、组合数 II
    • 三、求组合数 III
    • 四、求组合数 IV
    • 五、卡特兰数
• 容斥原理

一、质数

在大于1的整数中，如果只包含1和本身这两个约数，就称为质数，或者叫素数。

一、试除法判定质数

bool is_prime(int x)
{if (x < 2) return false;for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )if (x % i == 0)return false;return true;
}

二、试除法分解质因数

x中最多只包含一个大于sqrt(x)的质因子
void divide(int x)
{for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )if (x % i == 0)  //一定是质数{int s = 0;while (x % i == 0) x /= i, s ++ ;cout << i << ' ' << s << endl;}if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;cout << endl;
}

三、朴素筛法求素数

思想

埃氏筛法（nloglogn）
int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉void get_primes(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (st[i]) continue;primes[cnt ++ ] = i;for (int j = i + i; j <= n; j += i)st[j] = true;}
}

四、线性筛法求素数

多用

n只会被最小质因子筛掉
1、i%pj==0   pj一定是i的最小质因子，pj一定是pj*i的最小质因子
2、i%pj!=0pj一定小于i的所有质因子，pj也一定是pj*i的最小质因子
对于一个合数x,假设pj是x的最小质因子，当i枚举到x/pj的时候，就一定会筛掉
int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉void get_primes(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ){st[primes[j] * i] = true;if (i % primes[j] == 0) break;  //primes[j]一定是i的最小质因子}}
}

二、约数

一、试除法求所有约数

vector<int> get_divisors(int x)
{vector<int> res;for (int i = 1; i <= x / i; i ++ )if (x % i == 0){res.push_back(i);if (i != x / i) res.push_back(x / i);}sort(res.begin(), res.end());return res;
}

二、约数个数约数之和

int范围内约数个数最多的数有约数1500左右
如果 N = p1^c1 * p2^c2 * ... *pk^ck   //pi为质因数
约数个数： (c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1)
约数之和： (p1^0 + p1^1 + ... + p1^c1) * ... * (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ck)

三、欧几里得算法

int gcd(int a,int b)
{ return b?gcd(b,a%b):a;
}int gcd(int a,int b)
{if(a%b==0) return b;return gcd(b,a%b);
}

三、欧拉函数

欧拉定理：若a与n互质，则a^ϕ(n)≡1(mod n)

一、欧拉函数的定义

1∼N 中与 N 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为 ϕ(N)。
若在算数基本定理中，N=p1^a1p2a2…pm^am，则：
ϕ(N) = N×(1-1/p1)×(1−1/p2)×…×(1−1/pm)

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个正整数 ai。

输出格式

输出共 n 行，每行输出一个正整数 ai 的欧拉函数。

数据范围

1≤n≤100,
1≤ai≤2×10^9

输入样例：

3
3
6
8

输出样例：

2
2
4

容斥原理
从1~N中去掉p1,p2...pk的所有倍数
加上pi*pj的倍数
减去pi*pj*pk的倍数
以此类推 
#include
using namespace std;
int main()
{int n;cin>>n;while(n--){int a;cin>>a;int res=a;for(int i=2;i<=a/i;i++){if(a%i==0){while(a%i==0) a/=i;res=res/i*(i-1); //res=res*(1-1/i);}}if(a>1) res=res/a*(a-1);cout<<res<<endl;}return 0;
}

二、筛法求欧拉函数

给定一个正整数 n，求 1∼n 中每个数的欧拉函数之和。

输入格式

共一行，包含一个整数 n。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示 1∼n中每个数的欧拉函数之和。

数据范围

1≤n≤106

输入样例：

6

输出样例：

12

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1000010;
int prime[N],cnt;
int phi[N];
bool st[N];LL get_eulars(int n)
{phi[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!st[i]){prime[cnt++]=i;phi[i]=i-1;   //i为质数，则与i互质的个数为i-1}for(int j=0;prime[j]<=n/i;j++){st[prime[j]*i]=true;if(i%prime[j]==0){phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];  //pi与pj*i的质因子的种类是相同的break;}phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);  //pj*pi的质因子种类比pi多一个pj}}LL res=0;for(int i=1;i<=n;i++) res+=phi[i];return res;
}
int main()
{int n;cin>>n;cout<<get_eulars(n)<<endl;return 0;
}

四、快速幂

一、快速幂

给定 n组 ai,bi,pi，对于每组数据，求出 ai^bi mod pi的值。

//O(logn)
typedef long long LL;
LL qmi(int a, int b, int p)
{LL res = 1 % p;while (b){if (b & 1) res = res * a % p;a = a * (LL)a % p;b >>= 1;}return res;
}

二、快速幂求逆元

给定 n 组 ai,pi，其中 pi 是质数，求 ai 模 pi 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。

注意：请返回在 0∼p−1之间的逆元。

乘法逆元的定义

若整数 b，m互质，并且对于任意的整数 a，如果满足 b|a，则存在一个整数 x，使得 a/b≡a×x(mod m)，则称 x为 b的模 m 乘法逆元，记为 b^-1(mod m)。
b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。当模数 m 为质数时，b^m−2 即为 b的乘法逆元。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个数组 ai,pi，数据保证 pi是质数。

输出格式

输出共 n 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

若 ai模 pi 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤10^5,
1≤ai,pi≤2∗10^9

输入样例：

3
4 3
8 5
6 3

输出样例：

1
2
impossible

费马小定理
b与m互质，则b^m-1 ≡ 1 (mod m)
#include 
#include using namespace std;typedef long long LL;LL qmi(int a, int b, int p)
{LL res = 1;while (b){if (b & 1) res = res * a % p;a = a * (LL)a % p;b >>= 1;}return res;
}int main()
{int n;scanf("%d", &n);while (n -- ){int a, p;scanf("%d%d", &a, &p);if (a % p == 0) puts("impossible");else printf("%lld\n", qmi(a, p - 2, p));}return 0;
}

扩展欧几里得

一、扩展欧几里得算法

给定 n 对正整数 ai , bi，对于每对数，求出一组 xi,yi，使其满足 ai×xi+bi×yi=gcd(ai,bi)。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n行，每行包含两个整数 ai,bi。

输出格式

输出共 n 行，对于每组 ai,bi，求出一组满足条件的 xi,yi，每组结果占一行。

本题答案不唯一，输出任意满足条件的 xi,yi 均可。

数据范围

1≤n≤10^5,
1≤ai,bi≤2×10^9

输入样例：

2
4 6
8 18

输出样例：

-1 1
-2 1

#include
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{if(!b){x=1,y=0;return a;}int d=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return d;
}int main()
{int n;cin>>n;while(n--){int a,b,x,y;cin>>a>>b;exgcd(a,b,x,y);cout<<x<<" "<<y<<endl;}return 0;
}

二、线性同余方程

给定 n组数据 ai,bi,mi，对于每组数求出一个 xi，使其满足 ai × xi≡bi (mod mi)，如果无解则输出 impossible。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一组数据 ai,bi,mi。

输出格式

输出共 n 行，每组数据输出一个整数表示一个满足条件的 xi，如果无解则输出 impossible。

每组数据结果占一行，结果可能不唯一，输出任意一个满足条件的结果均可。

输出答案必须在 int 范围之内。

数据范围

1≤n≤105,
1≤ai,bi,mi≤2×109

输入样例：

2
2 3 6
4 3 5

输出样例：

impossible
-3

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{if(b==0){x=1,y=0;return a;}int d=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return d;
}int main()
{int n;cin>>n;while(n--){int a,b,m;cin>>a>>b>>m;int x,y;int d=exgcd(a,m,x,y);if(b%d) puts("impossible");else cout<<(LL)b/d*x%m<<endl;}return 0;
}

高斯消元

一、高斯消元解线性方程组

输入一个包含 n个方程 n 个未知数的线性方程组。

方程组中的系数为实数。

求解这个方程组。

下图为一个包含 m 个方程 n 个未知数的线性方程组示例：

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含 n+1 个实数，表示一个方程的 n 个系数以及等号右侧的常数。

输出格式

如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共 n 行，其中第 i 行输出第 i 个未知数的解，结果保留两位小数。

如果给定线性方程组存在无数解，则输出 Infinite group solutions。

如果给定线性方程组无解，则输出 No solution。

数据范围

1≤n≤100,
所有输入系数以及常数均保留两位小数，绝对值均不超过 100。

输入样例：

3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00

输出样例：

1.00
-2.00
3.00

1.枚举每一列c
2.找到绝对值最大的一行
3.将该行交换到最上面
4.将该行第一个数变成1
5.将下面的所有行的第c列消成0
#include
#include
#include
#includeusing namespace std;const int N=110;
const double eps=1e-6;double a[N][N];
int n;int guass()
{int r,c;for(r=c=0;c<n;c++){int t=r;for(int i=r;i<n;i++)if(fabs(a[i][c])>fabs(a[t][c]))t=i;if(fabs(a[t][c])<eps) continue;for(int i=c;i<n+1;i++) swap(a[t][i],a[r][i]); //交换两行for(int i=n;i>=c;i--) a[r][i]/=a[r][c];   //将该行第一个数变成1for(int i=r+1;i<n;i++)if(fabs(a[i][c])>eps)for(int j=n;j>=c;j--)a[i][j]-=a[r][j]*a[i][c]; //将下面的所有行的第c列消成0r++;}if(r<n){for(int i=r;i<n;i++)if(fabs(a[i][n])>eps) return 2;return 1;}for(int i=n-1;i>=0;i--)for(int j=i+1;j<n;j++)a[i][n]-=a[i][j]*a[j][n];return 0;
}int main()
{cin>>n;for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n+1;j++)cin>>a[i][j];int t=guass();if(t==0){for(int i=0;i<n;i++) printf("%.2lf\n",a[i][n]);}else if(t==1) puts("Infinite group solutions");else puts("No solution");return 0;
}

二、高斯消元解异或线性方程组

输入一个包含 n 个方程 n 个未知数的异或线性方程组。

方程组中的系数和常数为 0 或 1，每个未知数的取值也为0或 1。

求解这个方程组。

异或线性方程组示例如下：

M[1][1]x[1] ^ M[1][2]x[2] ^ … ^ M[1][n]x[n] = B[1]
M[2][1]x[1] ^ M[2][2]x[2] ^ … ^ M[2][n]x[n] = B[2]
…
M[n][1]x[1] ^ M[n][2]x[2] ^ … ^ M[n][n]x[n] = B[n]

其中 ^ 表示异或(XOR)，M[i] [j]表示第 i个式子中 x[j] 的系数，B[i]是第 ii个方程右端的常数，取值均为 0或 1。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含 n+1 个整数 0或 1，表示一个方程的 n 个系数以及等号右侧的常数。

输出格式

如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共 n 行，其中第 i 行输出第 i 个未知数的解。

如果给定线性方程组存在多组解，则输出 Multiple sets of solutions。

如果给定线性方程组无解，则输出 No solution。

数据范围

1≤n≤100

输入样例：

3
1 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1

输出样例：

1
0
0

#include
using namespace std;
const int N=110;
int n;
int a[N][N];int guass()
{int r,c;for(r=c=0;c<n;c++){int t=r;for(int i=r;i<n;i++)if(a[i][c])t=i;if(!a[t][c]) continue;for(int i=c;i<n+1;i++) swap(a[t][i],a[r][i]);for(int i=r+1;i<n;i++)if(a[i][c])for(int j=n;j>=c;j--)a[i][j]^=a[r][j];r++;}if(r<n){for(int i=r;i<n;i++)if(a[i][n]) return 2;return 1;}for(int i=n-1;i>=0;i--)for(int j=i+1;j<n;j++)a[i][n]^=a[i][j]*a[j][n];return 0;
}int main()
{cin>>n;for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n+1;j++)cin>>a[i][j];int t=guass();if(t==0){for(int i=0;i<n;i++) cout<<a[i][n]<<endl;}else if(t==1) puts("Multiple sets of solutions");else puts("No solution");return 0;
}

组合数

一、求组合数 I

   递推（n^2） 
for(int i=0;i<N;i++)for(int j=0;j<=i;j++)if(!j) c[i][j]=1;else c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%MOD;

二、组合数 II

给定 n 组询问，每组询问给定两个整数 a，b，请你输出 Ca bmod(109+7)的值。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一组 a 和 b。

输出格式

共 n 行，每行输出一个询问的解。

数据范围

1≤n≤10000,
1≤b≤a≤10^5

输入样例：

3
3 1
5 3
2 2

输出样例：

3
10
1

预处理/逆元(nlogn）
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100010, mod = 1e9 + 7;
int fact[N], infact[N];
int qmi(int a, int k, int p)
{int res = 1;while (k){if (k & 1) res = (LL)res * a % p;a = (LL)a * a % p;k >>= 1;}return res;
}int main()
{fact[0] = infact[0] = 1;for (int i = 1; i < N; i ++ ){fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;}int n;scanf("%d", &n);while (n -- ){int a, b;scanf("%d%d", &a, &b);printf("%d\n", (LL)fact[a] * infact[b] % mod * infact[a - b] % mod);}return 0;
}

三、求组合数 III

给定 n组询问，每组询问给定三个整数 a,b,p，其中 p 是质数，请你输出 Ca bmodp 的值。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一组 a,b,p。

输出格式

共 n 行，每行输出一个询问的解。

数据范围

1≤n≤20,
1≤b≤a≤10^18,
1≤p≤105

输入样例：

3
5 3 7
3 1 5
6 4 13

输出样例:

3
3
2

卢卡斯定理
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
int qmi(int a, int k, int p)
{int res = 1;while (k){if (k & 1) res = (LL)res * a % p;a = (LL)a * a % p;k >>= 1;}return res;
}int C(int a, int b, int p)
{if (b > a) return 0;int res = 1;for (int i = 1, j = a; i <= b; i ++, j -- ){res = (LL)res * j % p;res = (LL)res * qmi(i, p - 2, p) % p;}return res;
}int lucas(LL a, LL b, int p)
{if (a < p && b < p) return C(a, b, p);return (LL)C(a % p, b % p, p) * lucas(a / p, b / p, p) % p;
}int main()
{int n;cin >> n;while (n -- ){LL a, b;int p;cin >> a >> b >> p;cout << lucas(a, b, p) << endl;}return 0;
}

四、求组合数 IV

输入 a,b，求 Ca b的值。

注意结果可能很大，需要使用高精度计算。

输入格式

共一行，包含两个整数 a 和 b。

输出格式

共一行，输出 Ca b的值。

数据范围

1≤b≤a≤5000

输入样例：

5 3

输出样例：

10

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 5010;
int primes[N], cnt;
int sum[N];
bool st[N];void get_primes(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ){st[primes[j] * i] = true;if (i % primes[j] == 0) break;}}
}int get(int n, int p)
{int res = 0;while (n){res += n / p;n /= p;}return res;
}vector<int> mul(vector<int> a, int b)
{vector<int> c;int t = 0;for (int i = 0; i < a.size(); i ++ ){t += a[i] * b;c.push_back(t % 10);t /= 10;}while (t){c.push_back(t % 10);t /= 10;}return c;
}int main()
{int a, b;cin >> a >> b;get_primes(a);for (int i = 0; i < cnt; i ++ ){int p = primes[i];sum[i] = get(a, p) - get(a - b, p) - get(b, p);}vector<int> res;res.push_back(1);for (int i = 0; i < cnt; i ++ )for (int j = 0; j < sum[i]; j ++ )res = mul(res, primes[i]);for (int i = res.size() - 1; i >= 0; i -- ) printf("%d", res[i]);puts("");return 0;
}

五、卡特兰数

给定 n 个 0 和 n 个 1，它们将按照某种顺序排成长度为 2n 的序列，求它们能排列成的所有序列中，能够满足任意前缀序列中 0 的个数都不少于 1 的个数的序列有多少个。

输出的答案对 109+7 取模。

输入格式

共一行，包含整数 n。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示答案。

数据范围

1≤n≤10^5

输入样例：

3

输出样例：

5

#include
using namespace std;
const int MOD=1e9+7;
typedef long long LL;
int qmi(int a,int k,int p)
{int res=1;while(k){if(k&1) res=(LL)res*a%MOD;a=(LL)a*a%MOD;k>>=1;}return res;
}
int main()
{int n;cin>>n;int res=1;for(int i=2*n;i>n;i--) res=(LL)res*i%MOD;for(int i=1;i<=n;i++) res=(LL)res*qmi(i,MOD-2,MOD)%MOD;res=(LL)res*qmi(n+1,MOD-2,MOD)%MOD;cout<<res<<endl;return 0;
}

容斥原理

给定一个整数 n 和 m 个不同的质数 p1,p2,…,pm。

请你求出 1∼n中能被 p1,p2,…,pm中的至少一个数整除的整数有多少个。

输入格式

第一行包含整数 n 和 m。

第二行包含 m 个质数。

输出格式

输出一个整数，表示满足条件的整数的个数。

数据范围

1≤m≤16
1≤n,pi≤10^9

输入样例：

10 2
2 3

输出样例：

7

#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 20;
int p[N];
int main()
{int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 0; i < m; i ++ ) cin >> p[i];int res = 0;for (int i = 1; i < 1 << m; i ++ ){int t = 1, s = 0;for (int j = 0; j < m; j ++ )if (i >> j & 1){if ((LL)t * p[j] > n){t = -1;break;}t *= p[j];s ++ ;}if (t != -1){if (s % 2) res += n / t;else res -= n / t;}}cout << res << endl;return 0;
}

本文来自互联网用户投稿，文章观点仅代表作者本人，不代表本站立场，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处。 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请点击【内容举报】进行投诉反馈！