【几何学笔记】共形映射

2023-11-24 07:02:34

复分析研究的是复数域之间的映射，在几何上相当于平面到平面的映射。

如果复数域上的映射 $f:D\rightarrow C$ 在点 $z\in D$ 处，无论从哪个方向求导，其结果 $f'(x)$ 都相等，即满足柯西黎曼条件，则说 $f$ 在 $z$ 点处全纯/解析。

由于 $f$ 在 $z$ 点处全纯，则过 $z$ 点的两条曲线在 $f$ 下的像对 $z$ 的导数 $f'(z)$ 都相等，与两条曲线本身的选择无关，如果 $f'(z)\neq 0$ ，则称 $f$ 在该点是共形的。

由于 $f(z + \Delta z) - f(z) = f'(z)\Delta z$ ，所以两条曲线在 $z$ 点的弧伸缩是相同的，都是 $\left | f'(z) \right |$ ，此谓共形映射 $f$ 的圆性质。

对上式取对数可以获得其角关系： $arg(f(z + \Delta z) - f(z)) =arg(f'(z)) + arg(\Delta z)$ 。所以映射像的角度与原像的角度是一个固定的差值。

$arg(f(z + \Delta z_{0}) - f(z)) - arg(f(z + \Delta z_{1}) - f(z)) =arg(\Delta z_{0}) - arg(\Delta z_{1})$ ，原像中两条曲线的角度与映射后两条曲线的角度差相同，此谓共形映射的保角性质。

如果 $f$ 在某个非临界点 $z$ 将图形变成相似形但改变了定向，则 $f$ 称该映射在该点的第二类共形映射或者反共形映射。

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