高等数学 —— 映射与函数 —— 集合

1.函数关系与极限方法

函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法

2.集合与元素

一般的，所谓集合（简称集）是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素（简称元）。通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合，用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合的元素。

3.有限集与无限集

一个集合，若它只含有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。

4.列举法与描述法

表示集合的方法通常有以下两种：

1. 列举法：就是把集合的全体元素一一列举出来。例如，由元素 a 1 , a 2 , a 3 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n a_1,a_2,a_3,···,a_n a1​,a2​,a3​,⋅⋅⋅,an​组成的集合A可表示成
   A = { a 1 , a 2 , a 3 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n } ; A=\{a_1,a_2,a_3,···,a_n\}; A={a1​,a2​,a3​,⋅⋅⋅,an​};
2. 描述法：若集合M是由具体某种特性P的元素x的全体所组成的，就可表示成
   M = { x ∣ x 具有性质 P } . M=\{x|x具有性质P\}. M={x∣x具有性质P}.
   例： B = { x ∣ x 2 − 1 = 0 } 例：B=\{x|x^2-1=0\} 例：B={x∣x2−1=0}

5.集合约定俗成的表示方法

对于数集，有时我们在表示数集的字母的右上角标上 “ * ” 来表示该数集内排除0的集，标上 “ + ” 来表示该数集内排除0与负数的集

6.集合间的关系

规定：空集$\varnothing$是任何集合A的子集，即$\varnothing \subset A$

7.集合的运算

设有A、B两个集合

有时，我们研究某个问题限定在一个大的集合 I 中进行，所研究的其他集合A都是I的子集。此时，我们称集合I为全集或基本集，称 $I\setminus A$为A的余集或补集，记作 A C A^{C} AC。需要注意的是补集是差集的特殊形式（设想一下B是A的子集，然后A差B）。

8.集合运算法则

• 交换律
  $$A\cup B=B\cup A$$
  $$A\cap B=B\cap A$$
• 结合律
  $$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$$
  $$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$$
• 分配律
  $$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$$
  $$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)$$
• 对偶律
  ( A ∪ B ) C = A C ∩ B C (A \cup B)^{C} = A^{C} \cap B^{C} (A∪B)C=AC∩BC
  ( A ∩ B ) C = A C ∪ B C (A \cap B)^{C} = A^{C} \cup B^{C} (A∩B)C=AC∪BC

9.笛卡尔积（直积）

设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意去一个元素y，组成一个有序对（x,y）,把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的笛卡尔积，又称直积，记作$A\times B$，即
$$A\times B=\{(x,y)|x\in A且y\in B\}$$
例如，$R\times R=\{(x,y)|x\in R，y\in R\}$ 即为xOy面上全体点的集合，$R\times R$常记作 R 2 R^{2} R2

10.区间

区间是用的较多的一类数集

设a和b都是实数，且a

• 有限区间

  • 开区间

  ( a ， b ) = { x ∣ a < x < b } (a，b) = \{x | a < x < b \} (a，b)={x∣a<x<b}

  • 闭区间

  [ a ， b ] = { x ∣ a ≤ x ≤ b } [a，b] = \{x | a \le x \le b \} [a，b]={x∣a≤x≤b}

  • 半开区间

  （ a ， b ] = { x ∣ a < x ≤ b } （a，b] = \{x | a < x \le b \} （a，b]={x∣a<x≤b}
  [ a ， b ) = { x ∣ a ≤ x < b } [a，b) = \{x | a \le x < b \} [a，b)={x∣a≤x<b}

• 无限区间

  [ a ， + ∞ ) = { x ∣ a ≤ x } [a，+\infty) = \{x | a \le x \} [a，+∞)={x∣a≤x}
  ( − ∞ ， b ) = { x ∣ x < b } (-\infty，b) = \{x | x < b \} (−∞，b)={x∣x<b}
  全体实数的集合R也可记作$（-\infty ，+\infty ）$，它也是无限区间

在不需要辨明所论区间是否包含端点，以及是有限区间还是无限区间的场合，一般就简单地称它为“区间”，且用常数 I 表示。

11.邻域

以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作$U(a)$。
设$\delta$是任一正数，则开区间$(a-\delta ,a+\delta )$就是点a的一个领域，这个邻域称为点a的$\delta$邻域，记作$U(a,\delta )$,即
U ( a , δ ) = { x ∣ a − δ < x < a + δ } U(a,\delta) = \{x| a - \delta < x < a + \delta \} U(a,δ)={x∣a−δ<x<a+δ}
点a称为这邻域的中心，$\delta$称为这邻域的半径。

有时用到的领域需要把邻域的中心去掉，点a的$\delta$邻域去掉中心a后，称为点a的去心$\delta$邻域，记作 U ˚ ( a , δ ) \mathring{U}(a,\delta) U˚(a,δ)，即
U ˚ ( a , δ ) = { x ∣ 0 < ∣ x − a ∣ < δ } \mathring{U}(a,\delta) = \{x|0 < | x -a | < \delta \} U˚(a,δ)={x∣0<∣x−a∣<δ}

两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形区域

例如：
$$[a,b]\times [c,d]=\{(x,y)|x\in [a,b],y\in [c,d]\}$$

即为xOy平面上的一个矩形区域，这个区域在x轴与y轴上的投影分别为闭区间[a,b]和闭区间[c,d]

12.几个不等式

1. $$|x-a|<\delta \iff a-\delta <x<a+\delta$$

2. $$||x|-|y||⩽|x\pm y|⩽|x|+|y|$$

3. A-G不等式
   x 1 , x 2 , . . , x n 均为非负数 x_1,x_2,..,x_n均为非负数 x1​,x2​,..,xn​均为非负数
   x 1 x 2 x 3 ⋅ ⋅ ⋅ x n n ≤ x 1 + x 2 + x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + x n n \sqrt[n]{x_1x_2x_3···x_n}\leq \frac{x_1+x_2+x_3+···+x_n}{n} nx1​x2​x3​⋅⋅⋅xn​ ​≤nx1​+x2​+x3​+⋅⋅⋅+xn​​

4. Bernoulli不等式
   x ⩾ 0 , 且 n 为正整数，则 ( 1 + x ) n ⩾ 1 + n x x \geqslant 0,且n为正整数，则(1+x)^{n} \geqslant 1 + nx x⩾0,且n为正整数，则(1+x)n⩾1+nx

13. 实数集的界

上界

$设E为非空实数集，\exists M\in R,\forall x\in E:x⩽M,称M是E的一个上界$

$E即有上界又有下界称为有界的$

有界等价表述：$\exists M>0,\forall x\in E:|x|⩽M$

上确界

即最小上界

$E为非空实数集，\exists \beta \in R,$
( 1 ) ∀ x ∈ E : x ⩽ β ; ( 2 ) ∀ δ > 0 , ∃ x δ ∈ E : x δ > β − δ (1) \forall x \in E:x \leqslant \beta;(2) \forall \delta > 0,\exist x_{\delta} \in E:x_\delta > \beta - \delta (1)∀x∈E:x⩽β;(2)∀δ>0,∃xδ​∈E:xδ​>β−δ

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