【知识点】（一）函数

目录

• • 函数
  • • 1. 垂线检验函数
    • 2. 求定义域
    • 3. 求值域
  • 反函数
  • • 1. 水平线检验反函数
    • 2. 求反函数
    • 3. 限制定义域
  • 常见函数及图像
  • • 1. 线性函数
    • 2. 多项式函数
    • 3. 有理函数
    • 4. 指数函数和对数函数
    • 5. 绝对值函数
  • 函数基本特性
  • • 1. 复合、奇函数和偶函数
    • 2. 单调函数
    • 3. 周期函数
    • 4. 有界函数
  • 三角函数
  • • 1. 弧度和三角函数
    • 2. 三角函数的值
    • 3. 三角函数的图像
    • 4. 三角恒等式
  • 参考资料

函数

函数 $f$：对象转化规则。 \quad $f(x)$：函数 $f$ 应用于对象 $x$ \quad 区间表示法: $[a,b]$

1. 垂线检验函数

如果存在落在 $x$ 轴的垂线和图像相交多于一次，那么该图像不是函数图像。

2. 求定义域

(1) 分母不为 $0$；(2) 负数不能取平方根； (3) 负数和零不能取对数

3. 求值域

画出函数图像，想象从图像左右两侧朝 $y$ 轴水平射入两束光纤，曲线会在 $y$ 轴左右两侧留下影子，值域 就是影子的并集。

例： F ( x ) = x 2 ， x ∈ [ − 2 ， 1 ] F(x) = x^2，x ∈ [-2，1] F(x)=x2，x∈[−2，1]

左侧影子的范围是 $[0，4]$，右侧影子的范围是 $[0，1]$，值域为并集 $[0，4]$

反函数

反函数 f − 1 f^{-1} f−1：如果$f(x)=y$，那么 f − 1 ( y ) = x f^{-1}(y) = x f−1(y)=x。
(1) $f$ 值域的任意 $y$，只有一个 $x$ 值满足 $f(x)=y$
(2) f − 1 f^{-1} f−1 的定义域是 $f$ 的值域， f − 1 f^{-1} f−1 的值域是 $f$ 的定义域

1. 水平线检验反函数

如果每一条水平线和一个函数的图像相交至多一次，那么该函数有一个反函数。

2. 求反函数

(1) 解出 $x$： f ( x ) = x 3 f(x) = x^3 f(x)=x3 即 y = x 3 y = x^3 y=x3，所以 $x$ = y 3 \sqrt[3]{y} 3y ​ 即 f − 1 ( y ) = y 3 f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} f−1(y)=3y ​
(2) 作图 $y=x$：反函数图像为原函数图像关于 $y=x$ 的镜像。

3. 限制定义域

如果水平线检验失败证明没有反函数，可以限制函数的定义域（即删除部分曲线）通过水平线检验。

常见函数及图像

1. 线性函数

(1) 点斜式： y − y 0 = m ( x − x 0 ) y-y_0 = m(x-x_0) y−y0​=m(x−x0​)
(2) 两点式： y − y 1 = y 2 − y 1 x 2 − x 1 ( x − x 1 ) y-y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) y−y1​=x2​−x1​y2​−y1​​(x−x1​)

2. 多项式函数

(1) p ( x ) = x n p(x) = x^n p(x)=xn

(2) p ( x ) = a n x n + . . . + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 p(x) = a_nx^n+...+a_2x^2+a_1x^1+a_0 p(x)=an​xn+...+a2​x2+a1​x1+a0​

二次函数 p ( x ) = a x 2 + b x + c p(x) = ax^2+bx+c p(x)=ax2+bx+c \qquad − b ± − b 2 − 4 a c 2 a \frac{-b±\sqrt{-b^2-4ac}}{2a} 2a−b±−b2−4ac ​​ 或 配方

3. 有理函数

4. 指数函数和对数函数

y = 2 x y=2^x y=2x 满足水平线检验，所以反函数 y = l o g 2 ( x ) y=log_2(x) y=log2​(x)

5. 绝对值函数

f ( x ) = ∣ x ∣ = { x x≥0 − x x＜0 f(x)=|x|= \begin{cases} x& \text{x≥0}\\ -x& \text{x＜0} \end{cases} f(x)=∣x∣={x−x​x≥0x＜0​

函数基本特性

1. 复合、奇函数和偶函数

复合函数：$f(x)=h(g(x))<=>f=h○g$ \quad 右移：$f(x-a)$ \quad 左移：$f(x+a)$
奇函数：$f(-x)=-f(x)$ \quad 关于原点$180°$点对称 \quad 奇·奇 = 偶 \quad 奇·偶 = 奇
偶函数：$f(-x)=f(x)$ \qquad 关于$y$ 轴镜面对称 \quad 偶·偶 = 偶

2. 单调函数

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$， ∀ x 1 ， x 2 ∈ D \forall x_1，x_2 ∈ D ∀x1​，x2​∈D，且 x 1 < x 2 x_1x1​<x2​：

(1) 若 f ( x 1 ) < f ( x 2 ) f(x_1) < f(x_2) f(x1​)<f(x2​)，则称函数 $f(x)$ 为区间 $D$ 的单调递增函数
(2) 若 f ( x 1 ) > f ( x 2 ) f(x_1) > f(x_2) f(x1​)>f(x2​)，则称函数 $f(x)$ 为区间 $D$ 的单调递减函数

3. 周期函数

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，$\exists$ 正数 $T$，$\forall x\in D$ 与 $(x\pm T)\in D$：

\qquad \qquad \qquad \qquad \quad $f(x+T)=f(x)$

恒成立，则该函数为周期函数，且最小的正数 $T$ 为函数 $f(x)$ 的最小正周期

4. 有界函数

有界：设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，$\exists$ 正数 $M$，$\forall x\in D$，恒有 $|f(x)|\le M$
无界：设函数有界，取反例证明无界

三角函数

1. 弧度和三角函数

弧 度 = π 180 ∗ 角 度 弧度 = \frac{π}{180} * 角度 弧度=180π​∗角度

s i n θ = 对 边 斜 边 c o s θ = 邻 边 斜 边 t a n θ = 对 边 邻 边 sinθ=\frac{对边}{斜边}\qquad cosθ=\frac{邻边}{斜边}\qquad tanθ=\frac{对边}{邻边} sinθ=斜边对边​cosθ=斜边邻边​tanθ=邻边对边​ c s c = 1 s i n θ s e c θ = 1 c o s θ c o t θ = 1 t a n θ csc=\frac{1}{sinθ}\qquad secθ=\frac{1}{cosθ}\qquad cotθ=\frac{1}{tanθ} csc=sinθ1​secθ=cosθ1​cotθ=tanθ1​

2. 三角函数的值

当 $x\in [0，\pi /2]$ 时，

当 $x\in [0，2\pi ]$ 时，

s i n θ = y r c o s θ = x r t a n θ = y x sinθ=\frac{y}{r}\qquad cosθ=\frac{x}{r}\qquad tanθ=\frac{y}{x} sinθ=ry​cosθ=rx​tanθ=xy​
画出象限图表，标出角的位置射线及找出射线与 $x$ 轴间最小的角，查上表可知该角的三角函数值，最后根据射线所在象限及使用的三角函数决定是否添加符号。

当 $x\notin [0，2\pi ]$ 时，弧度 $\pm 2n\pi$ 使其限定于 $[0，2\pi ]$ 再计算三角函数值。

3. 三角函数的图像

$$奇函数：y=sinxy=cscx$$


$$偶函数：y=cosxy=secx$$


$$奇函数：y=tanxy=cotx$$

4. 三角恒等式

(1) $tanx=sinx/cosx$ $cotx=cosx/sinx$

(2) s i n 2 x + c o s 2 x = 1 sin^2x + cos^2x = 1 sin2x+cos2x=1 两 边 同 除 cos ⁡ 2 x ， 1 + t a n 2 x = s e c 2 x \qquad两边同除\cos^2x，1+tan^2x=sec^2x 两边同除cos2x，1+tan2x=sec2x

三角函数 (x) = 互余三角函数(π/2-x)
$sinx=cos(\pi /2-x)$ $tanx=cot(\pi /2-x)$ $secx=csc(\pi /2-x)$

求和与倍角公式
(1) $\sin (a+b)=\sin (a)\cos (b)+\cos (a)\sin (b)$ $\sin (2x)=2sinxcosx$
(2) $\cos (a+b)=\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)$ cos ⁡ ( 2 x ) = 2 cos ⁡ 2 x − 1 = 1 − 2 sin ⁡ 2 x \qquad \cos(2x)=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x cos(2x)=2cos2x−1=1−2sin2x
(3) sin ⁡ 2 x = ( 1 − cos ⁡ 2 x ) / 2 cos ⁡ 2 x = ( 1 + cos ⁡ 2 x ) / 2 \sin ^2x = (1-\cos 2x)/2 \qquad \cos ^2x = (1+\cos 2x)/2 sin2x=(1−cos2x)/2cos2x=(1+cos2x)/2

和差化积：
sin ⁡ α + sin ⁡ β = 2 sin ⁡ α + β 2 cos ⁡ α − β 2 cos ⁡ α + cos ⁡ β = 2 cos ⁡ α + β 2 cos ⁡ α − β 2 \sin \alpha+\sin \beta = 2\sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \qquad \cos \alpha+\cos \beta = 2\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} sinα+sinβ=2sin2α+β​cos2α−β​cosα+cosβ=2cos2α+β​cos2α−β​

积化和差：

• sin ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 [ sin ⁡ ( α + β ) + sin ⁡ ( α − β ) ] \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] sinαcosβ=21​[sin(α+β)+sin(α−β)]
• cos ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 [ cos ⁡ ( α + β ) + cos ⁡ ( α − β ) ] \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] cosαcosβ=21​[cos(α+β)+cos(α−β)]

数列前 n 项和：

• ∑ 1 n k = 1 + 2 + 3 + . . . + n = n ( n + 1 ) 2 \sum_{1}^{n} k=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2} ∑1n​k=1+2+3+...+n=2n(n+1)​
• ∑ 1 n k 2 = 1 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 = n ( n + 1 ) 2 ⋅ ( 2 n + 1 ) 3 \sum_{1}^{n} k^2=1+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)}{2}·\frac{(2n+1)}{3} ∑1n​k2=1+22+32+...+n2=2n(n+1)​⋅3(2n+1)​
• ∑ 1 n k 3 = 1 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 = n ( n + 1 ) 2 ⋅ n ( n + 1 ) 2 \sum_{1}^{n} k^3=1+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n(n+1)}{2}·\frac{n(n+1)}{2} ∑1n​k3=1+23+33+...+n3=2n(n+1)​⋅2n(n+1)​
• ∑ 1 n k ( k + 1 ) = 1 ∗ 2 + 2 ∗ 3 + 3 ∗ 4 + . . . + n ( n + 1 ) = n ( n + 1 ) 2 ⋅ ( 2 n + 4 ) 3 \sum_{1}^{n} k(k+1)=1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}·\frac{(2n+4)}{3} ∑1n​k(k+1)=1∗2+2∗3+3∗4+...+n(n+1)=2n(n+1)​⋅3(2n+4)​
• ∑ 1 n 1 k ( k + 1 ) = 1 1 ∗ 2 + 1 2 ∗ 3 + 1 3 ∗ 4 + . . . + 1 n ( n + 1 ) = 1 − 1 n + 1 \sum_{1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{n+1} ∑1n​k(k+1)1​=1∗21​+2∗31​+3∗41​+...+n(n+1)1​=1−n+11​

阶乘：

• $n!=1\ast 2\ast 3\ast ...\ast n，规定0!=1$
• ( 2 n ) ! ! = 2 ∗ 4 ∗ 6 ∗ . . . ∗ ( 2 n ) = 2 n ∗ n ! (2n)!!=2*4*6*...*(2n)=2^n*n! (2n)!!=2∗4∗6∗...∗(2n)=2n∗n!
• $(2n+1)!!=1\ast 3\ast 5\ast ...\ast (2n-1)$

因式分解：

• ( a + b ) 3 = a 3 + b 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 (a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2 (a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2
• ( a − b ) 3 = a 3 − b 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 (a-b)^3=a^3-b^3-3a^2b+3ab^2 (a−b)3=a3−b3−3a2b+3ab2
• a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
• a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)

二项式定理： ( a + b ) n = ∑ k = 0 n C n k a k b n − k = a n + n a n − 1 b + n ( n − 1 ) 2 ! a n − 2 b 2 + . . . + n a b n − 1 + b n (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^{k}a^{k} b^{n-k} = a^n +na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^{2}+...+nab^{n-1}+b^n (a+b)n=∑k=0n​Cnk​akbn−k=an+nan−1b+2!n(n−1)​an−2b2+...+nabn−1+bn

参考资料

《普林斯顿微积分读本》

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