坐标系转换--三维七参数大地坐标系转换模型变换关系理解

三维七参数大地坐标系转换模型变换关系理解

[ Δ L Δ B Δ H ] = [ − sin ⁡ L ( N + H ) cos ⁡ B ρ cos ⁡ L ( N + H ) cos ⁡ B ρ 0 − sin ⁡ B cos ⁡ L M + H ρ − sin ⁡ B sin ⁡ L M + H ρ cos ⁡ B M + H ρ cos ⁡ B cos ⁡ L sin ⁡ B sin ⁡ L sin ⁡ B ] [ T x T y T z ] + [ N ( 1 − e 2 ) + H N + H tan ⁡ B cos ⁡ L N ( 1 − e 2 ) + H N + H tan ⁡ B sin ⁡ L − 1 − ( N + H ) − N e 2 sin ⁡ 2 B M + H sin ⁡ L ( N + H ) − N e 2 sin ⁡ 2 B M + H cos ⁡ L 0 − N e 2 sin ⁡ B cos ⁡ B sin ⁡ L ρ N e 2 sin ⁡ B cos ⁡ B cos ⁡ L ρ 0 ] [ R x R y R z ] + [ 0 − N M e 2 sin ⁡ B cos ⁡ B ρ ( N + H ) − N e 2 sin ⁡ 2 B ] D + [ 0 0 N M a e 2 sin ⁡ B cos ⁡ B ρ 2 − e 2 s i n 2 B 1 − f sin ⁡ B cos ⁡ B ρ − N a ( 1 − e 2 sin ⁡ 2 B ) M 1 − a ( 1 − e 2 sin ⁡ 2 B ) sin ⁡ 2 B ] [ Δ a Δ f ] (1) \tag{1} \begin{bmatrix} \varDelta L \\ \varDelta B \\ \varDelta H \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{ \sin{L} }{ (N+H)\cos{B} }\rho & \frac{ \cos{L} }{ (N+H)\cos{B} }\rho & 0 \\ \\ -\frac{\sin{B}\cos{L}}{M+H}\rho & -\frac{\sin{B}\sin{L}}{M+H}\rho & \frac{\cos{B}}{M+H}\rho \\ \\ \cos{B}\cos{L} & \sin{B}\sin{L} & \sin{B} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_x \\ T_y \\ T_z \end{bmatrix} + \\ \begin{bmatrix} \frac{N(1-e^2)+H}{N+H}\tan{B}\cos{L} & \frac{N(1-e^2)+H}{N+H}\tan{B}\sin{L} & -1 \\ \\ -\frac{(N+H)-Ne^2\sin^2{B}}{M+H}\sin{L} & \frac{(N+H)-Ne^2\sin^2{B}}{M+H}\cos{L} & 0 \\ \\ -\frac{Ne^2\sin{B}\cos{B}\sin{L}}{\rho} & \frac{Ne^2\sin{B}\cos{B}\cos{L}}{\rho} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_x \\ R_y \\ R_z \end{bmatrix} + \\ \begin{bmatrix} 0 \\ \\ -\frac{N}{M}e^2\sin{B}\cos{B}\rho \\ \\ (N+H)-Ne^2\sin^2{B} \end{bmatrix}D + \\ \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \\ \frac{N}{Ma}e^2\sin{B}\cos{B}\rho & \frac{2-e^2sin^2B}{1-f}\sin{B}\cos{B}\rho \\ \\ -\frac{N}{a}(1-e^2\sin^2{B}) & \frac{M}{1-a}(1-e^2\sin^2{B})\sin^2{B} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varDelta{a} \\ \varDelta{f} \end{bmatrix} ⎣ ⎡​ΔLΔBΔH​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​−(N+H)cosBsinL​ρ−M+HsinBcosL​ρcosBcosL​(N+H)cosBcosL​ρ−M+HsinBsinL​ρsinBsinL​0M+HcosB​ρsinB​⎦ ⎤​⎣ ⎡​Tx​Ty​Tz​​⎦ ⎤​+⎣ ⎡​N+HN(1−e2)+H​tanBcosL−M+H(N+H)−Ne2sin2B​sinL−ρNe2sinBcosBsinL​​N+HN(1−e2)+H​tanBsinLM+H(N+H)−Ne2sin2B​cosLρNe2sinBcosBcosL​​−100​⎦ ⎤​⎣ ⎡​Rx​Ry​Rz​​⎦ ⎤​+⎣ ⎡​0−MN​e2sinBcosBρ(N+H)−Ne2sin2B​⎦ ⎤​D+⎣ ⎡​0MaN​e2sinBcosBρ−aN​(1−e2sin2B)​01−f2−e2sin2B​sinBcosBρ1−aM​(1−e2sin2B)sin2B​⎦ ⎤​[ΔaΔf​](1)

$式中：$
e 2 ：第一偏心率的平方，无量纲 e 2 = 2 f − f 2 ； e^2：第一偏心率的平方，无量纲e^2=2f-f^2； e2：第一偏心率的平方，无量纲e2=2f−f2；
M ：地球椭球子午圈曲率半径，单位为米 ( m ) ， M = a ( 1 − e 2 ) ( 1 − e 2 sin ⁡ 2 B ) 3 2 ； M：地球椭球子午圈曲率半径，单位为米(m)，M=\frac{a(1-e^2)}{(1-e^2\sin^2{B})^{\frac{3}{2}}}； M：地球椭球子午圈曲率半径，单位为米(m)，M=(1−e2sin2B)23​a(1−e2)​；
N ：地球椭球卯酉圈曲率半径，单位为米 ( m ) ， N = a ( 1 − e 2 sin ⁡ 2 B ) 1 2 ； N：地球椭球卯酉圈曲率半径，单位为米(m)，N=\frac{a}{(1-e^2\sin^2{B})^{\frac{1}{2}}}； N：地球椭球卯酉圈曲率半径，单位为米(m)，N=(1−e2sin2B)21​a​；
$B,L,H：点位纬度、经度、大地高，经纬度单位为弧度(rad)，大地高单位为米(m)；$
Δ B , Δ L , Δ H ：点位在两个坐标系下的纬度差、经度差、大地高差，经纬度差值单位为角秒 ( ′ ′ ) ， 大地高差值单位为米 ( m ) ； \varDelta{B},\varDelta{L},\varDelta{H}：点位在两个坐标系下的纬度差、经度差、大地高差，经纬度差值单位为角秒('')，\\ 大地高差值单位为米(m)； ΔB,ΔL,ΔH：点位在两个坐标系下的纬度差、经度差、大地高差，经纬度差值单位为角秒(′′)，大地高差值单位为米(m)；
ρ ：角度与弧度间转换量，单位为角秒 ( ′ ′ ) ， ρ = 180 × 3600 π ； \rho：角度与弧度间转换量，单位为角秒('')，\rho=180 \times \frac{3600}{\pi}； ρ：角度与弧度间转换量，单位为角秒(′′)，ρ=180×π3600​；
$a,\Delta a：椭球长半轴和长半轴差，单位为米(m)；$
$f,\Delta f：椭球扁率和扁率差，无量纲；$
T x , T y , T z ：平移参数，单位为米 ( m ) ； T_x,T_y,T_z：平移参数，单位为米(m)； Tx​,Ty​,Tz​：平移参数，单位为米(m)；
R x , R y , R z ：旋转参数，单位为角秒 ( ′ ′ ) ； R_x,R_y,R_z：旋转参数，单位为角秒('')； Rx​,Ry​,Rz​：旋转参数，单位为角秒(′′)；
$D：尺度参数，无量纲。$

$令$
a 0 = − sin ⁡ L ( N + H ) cos ⁡ B ρ ， a 1 = cos ⁡ L ( N + H ) cos ⁡ B ρ ， a_0=-\frac{ \sin{L} }{ (N+H)\cos{B} }\rho，a_1=\frac{ \cos{L} }{ (N+H)\cos{B} }\rho， a0​=−(N+H)cosBsinL​ρ，a1​=(N+H)cosBcosL​ρ，
a 3 = − sin ⁡ B cos ⁡ L M + H ρ ， a 4 = − sin ⁡ B sin ⁡ L M + H ρ ， a 5 = cos ⁡ B M + H ρ ， a_3=-\frac{\sin{B}\cos{L}}{M+H}\rho，a_4=-\frac{\sin{B}\sin{L}}{M+H}\rho，a_5=\frac{\cos{B}}{M+H}\rho， a3​=−M+HsinBcosL​ρ，a4​=−M+HsinBsinL​ρ，a5​=M+HcosB​ρ，
a 6 = cos ⁡ B cos ⁡ L ， a 7 = sin ⁡ B sin ⁡ L ， a 8 = sin ⁡ B a_6=\cos{B}\cos{L}，a_7=\sin{B}\sin{L}，a_8=\sin{B} a6​=cosBcosL，a7​=sinBsinL，a8​=sinB
b 0 = N ( 1 − e 2 ) + H N + H tan ⁡ B cos ⁡ L ， b 1 = N ( 1 − e 2 ) + H N + H tan ⁡ B sin ⁡ L ， b_0=\frac{N(1-e^2)+H}{N+H}\tan{B}\cos{L}，b_1=\frac{N(1-e^2)+H}{N+H}\tan{B}\sin{L}， b0​=N+HN(1−e2)+H​tanBcosL，b1​=N+HN(1−e2)+H​tanBsinL，
b 3 = − ( N + H ) − N e 2 sin ⁡ 2 B M + H sin ⁡ L ， b 4 = ( N + H ) − N e 2 sin ⁡ 2 B M + H cos ⁡ L ， b_3=-\frac{(N+H)-Ne^2\sin^2{B}}{M+H}\sin{L}，b_4=\frac{(N+H)-Ne^2\sin^2{B}}{M+H}\cos{L}， b3​=−M+H(N+H)−Ne2sin2B​sinL，b4​=M+H(N+H)−Ne2sin2B​cosL，
b 6 = − N e 2 sin ⁡ B cos ⁡ B sin ⁡ L ρ ， b 7 = N e 2 sin ⁡ B cos ⁡ B cos ⁡ L ρ ， b_6=-\frac{Ne^2\sin{B}\cos{B}\sin{L}}{\rho}，b_7=\frac{Ne^2\sin{B}\cos{B}\cos{L}}{\rho}， b6​=−ρNe2sinBcosBsinL​，b7​=ρNe2sinBcosBcosL​，
c 1 = − N M e 2 sin ⁡ B cos ⁡ B ρ c_1=-\frac{N}{M}e^2\sin{B}\cos{B}\rho c1​=−MN​e2sinBcosBρ
c 2 = ( N + H ) − N e 2 sin ⁡ 2 B c_2=(N+H)-Ne^2\sin^2{B} c2​=(N+H)−Ne2sin2B
d 2 = N M a e 2 sin ⁡ B cos ⁡ B ρ ， d 3 = 2 − e 2 s i n 2 B 1 − f sin ⁡ B cos ⁡ B ρ d_2=\frac{N}{Ma}e^2\sin{B}\cos{B}\rho，d_3=\frac{2-e^2sin^2B}{1-f}\sin{B}\cos{B}\rho d2​=MaN​e2sinBcosBρ，d3​=1−f2−e2sin2B​sinBcosBρ
d 4 = − N a ( 1 − e 2 sin ⁡ 2 B ) ， d 5 = M 1 − a ( 1 − e 2 sin ⁡ 2 B ) sin ⁡ 2 B d_4=-\frac{N}{a}(1-e^2\sin^2{B})，d_5=\frac{M}{1-a}(1-e^2\sin^2{B})\sin^2{B} d4​=−aN​(1−e2sin2B)，d5​=1−aM​(1−e2sin2B)sin2B

$则(1)式变换为：$
[ Δ L Δ B Δ H ] = [ a 0 a 1 0 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 ] [ T x T y T z ] + [ b 0 b 1 − 1 b 3 b 4 0 b 6 b 7 0 ] [ R x R y R z ] + [ 0 c 1 c 2 ] D + [ 0 0 d 2 d 3 d 4 d 5 ] [ Δ a Δ f ] = [ a 0 T x + a 1 T y + 0 T z + b 0 R x + b 1 R y − 1 R z + 0 D a 3 T x + a 4 T y + a 5 T z + b 3 R x + b 4 R y + 0 R z + c 1 D a 6 T x + a 7 T y + a 8 T z + b 6 R x + b 7 R y + 0 R z + c 2 D ] + [ 0 d 2 Δ a + d 3 Δ f d 4 Δ a + d 5 Δ f ] (2) \tag{2} \begin{bmatrix} \varDelta L \\ \varDelta B \\ \varDelta H \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_0 & a_1 & 0 \\ a_3 & a_4 & a_5 \\ a_6 & a_7 & a_8 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_x \\ T_y \\ T_z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_0 & b_1 & -1 \\ b_3 & b_4 & 0 \\ b_6 & b_7 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_x \\ R_y \\ R_z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ c_1 \\ c_2 \end{bmatrix}D + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ d_2 & d_3 \\ d_4 & d_5 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varDelta{a} \\ \varDelta{f} \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} a_0T_x+a_1T_y+ 0T_z+b_0R_x+b_1R_y-1R_z+0D \\ a_3T_x+a_4T_y+a_5T_z+b_3R_x+b_4R_y+0R_z+c_1D \\ a_6T_x+a_7T_y+a_8T_z+b_6R_x+b_7R_y+0R_z+c_2D \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ d_2\varDelta{a} + d_3\varDelta{f} \\ d_4\varDelta{a} + d_5\varDelta{f} \\ \end{bmatrix} ⎣ ⎡​ΔLΔBΔH​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​a0​a3​a6​​a1​a4​a7​​0a5​a8​​⎦ ⎤​⎣ ⎡​Tx​Ty​Tz​​⎦ ⎤​+⎣ ⎡​b0​b3​b6​​b1​b4​b7​​−100​⎦ ⎤​⎣ ⎡​Rx​Ry​Rz​​⎦ ⎤​+⎣ ⎡​0c1​c2​​⎦ ⎤​D+⎣ ⎡​0d2​d4​​0d3​d5​​⎦ ⎤​[ΔaΔf​]=⎣ ⎡​a0​Tx​+a1​Ty​+0Tz​+b0​Rx​+b1​Ry​−1Rz​+0Da3​Tx​+a4​Ty​+a5​Tz​+b3​Rx​+b4​Ry​+0Rz​+c1​Da6​Tx​+a7​Ty​+a8​Tz​+b6​Rx​+b7​Ry​+0Rz​+c2​D​⎦ ⎤​+⎣ ⎡​0d2​Δa+d3​Δfd4​Δa+d5​Δf​⎦ ⎤​(2)

$又\because$
[ a 0 T x + a 1 T y + 0 T z + b 0 R x + b 1 R y − 1 R z + 0 D a 3 T x + a 4 T y + a 5 T z + b 3 R x + b 4 R y + 0 R z + c 1 D a 6 T x + a 7 T y + a 8 T z + b 6 R x + b 7 R y + 0 R z + c 2 D ] = [ P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P 10 P 11 P 12 P 13 P 14 P 15 P 16 P 17 P 18 P 19 P 20 P 21 ] [ T x T y T z R x R y R z D ] \begin{bmatrix} a_0T_x+a_1T_y+ 0T_z+b_0R_x+b_1R_y-1R_z+0D \\ a_3T_x+a_4T_y+a_5T_z+b_3R_x+b_4R_y+0R_z+c_1D \\ a_6T_x+a_7T_y+a_8T_z+b_6R_x+b_7R_y+0R_z+c_2D \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} P_1 & P_2 & P_3 & P_4 & P_5 & P_6 & P_7 \\ P_8 & P_9 & P_{10} & P_{11} & P_{12} & P_{13} & P_{14} \\ P_{15} & P_{16} & P_{17} & P_{18} & P_{19} & P_{20} & P_{21} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_x \\ T_y \\ T_z \\ R_x \\ R_y \\ R_z \\ D \end{bmatrix} ⎣ ⎡​a0​Tx​+a1​Ty​+0Tz​+b0​Rx​+b1​Ry​−1Rz​+0Da3​Tx​+a4​Ty​+a5​Tz​+b3​Rx​+b4​Ry​+0Rz​+c1​Da6​Tx​+a7​Ty​+a8​Tz​+b6​Rx​+b7​Ry​+0Rz​+c2​D​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​P1​P8​P15​​P2​P9​P16​​P3​P10​P17​​P4​P11​P18​​P5​P12​P19​​P6​P13​P20​​P7​P14​P21​​⎦ ⎤​⎣ ⎡​Tx​Ty​Tz​Rx​Ry​Rz​D​⎦ ⎤​
$$\Rightarrow$$
P 1 = a 0 ， P 2 = a 1 ， P 3 = 0 ， P 4 = b 0 ， P 5 = b 1 ， P 6 = − 1 ， P 7 = 0 ， P 8 = a 3 ， P 9 = a 4 ， P 10 = a 5 ， P 11 = b 3 ， P 12 = b 4 ， P 13 = 0 ， P 14 = c 1 P 15 = a 6 ， P 16 = a 7 ， P 17 = a 8 ， P 18 = b 6 ， P 19 = b 7 ， P 20 = 0 ， P 21 = c 2 P_1=a_0， P_2=a_1， P_3=0， P_4=b_0， P_5=b_1， P_6=-1， P_7=0， \\ P_8=a_3， P_9=a_4， P_{10}=a_5，P_{11}=b_3，P_{12}=b_4，P_{13}=0，P_{14}=c_1 \\ P_{15}=a_6，P_{16}=a_7，P_{17}=a_8，P_{18}=b_6，P_{19}=b_7，P_{20}=0，P_{21}=c_2 P1​=a0​，P2​=a1​，P3​=0，P4​=b0​，P5​=b1​，P6​=−1，P7​=0，P8​=a3​，P9​=a4​，P10​=a5​，P11​=b3​，P12​=b4​，P13​=0，P14​=c1​P15​=a6​，P16​=a7​，P17​=a8​，P18​=b6​，P19​=b7​，P20​=0，P21​=c2​
$\therefore (2)式变换为：$
[ Δ L Δ B Δ H ] = [ a 0 a 1 0 b 0 b 1 − 1 0 a 3 a 4 a 5 b 3 b 4 0 c 1 a 6 a 7 a 8 b 6 b 7 0 c 2 ] [ T x T y T z R x R y R z D ] + [ 0 d 2 Δ a + d 3 Δ f d 4 Δ a + d 5 Δ f ] (3) \tag{3} \begin{bmatrix} \varDelta L \\ \varDelta B \\ \varDelta H \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_0 & a_1 & 0 & b_0 & b_1 & -1 & 0 \\ a_3 & a_4 & a_5 & b_3 & b_4 & 0 & c_1 \\ a_6 & a_7 & a_8 & b_6 & b_7 & 0 & c_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_x \\ T_y \\ T_z \\ R_x \\ R_y \\ R_z \\ D \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ d_2\varDelta{a} + d_3\varDelta{f} \\ d_4\varDelta{a} + d_5\varDelta{f} \\ \end{bmatrix} ⎣ ⎡​ΔLΔBΔH​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​a0​a3​a6​​a1​a4​a7​​0a5​a8​​b0​b3​b6​​b1​b4​b7​​−100​0c1​c2​​⎦ ⎤​⎣ ⎡​Tx​Ty​Tz​Rx​Ry​Rz​D​⎦ ⎤​+⎣ ⎡​0d2​Δa+d3​Δfd4​Δa+d5​Δf​⎦ ⎤​(3)

基于最小二乘与多对同名点对计算参数

设存在 n 对同名点对： ( L a , B a , H a ) 1 → ( L b , B b , H b ) 1 ， ⋯ ， ( L a , B a , H a ) n → ( L b , B b , H b ) n . 设存在n对同名点对：(L_a,B_a,H_a)_1 \rarr (L_b,B_b,H_b)_1，\cdots，(L_a,B_a,H_a)_n \rarr (L_b,B_b,H_b)_n. 设存在n对同名点对：(La​,Ba​,Ha​)1​→(Lb​,Bb​,Hb​)1​，⋯，(La​,Ba​,Ha​)n​→(Lb​,Bb​,Hb​)n​.
$令$
θ = [ T x T y T z R x R y R z D ] \theta =\begin{bmatrix} T_x \\ T_y \\ T_z \\ R_x \\ R_y \\ R_z \\ D \end{bmatrix} θ=⎣ ⎡​Tx​Ty​Tz​Rx​Ry​Rz​D​⎦ ⎤​
Δ L i = ( L b − L a ) i ， Δ B i = ( B b − B a ) i ， Δ H i = ( H b − H a ) i \varDelta{L}_i=(L_b-L_a)_i，\varDelta{B}_i=(B_b-B_a)_i，\varDelta{H}_i=(H_b-H_a)_i ΔLi​=(Lb​−La​)i​，ΔBi​=(Bb​−Ba​)i​，ΔHi​=(Hb​−Ha​)i​
v i = ( Δ L − 0 , Δ B − ( d 2 Δ a + d 3 Δ f ) , Δ H − ( d 4 Δ a + d 5 Δ f ) ) i T ， v_i=(\varDelta{L} - 0,\varDelta{B} - (d_2\varDelta{a} + d_3\varDelta{f}),\varDelta{H} - (d_4\varDelta{a} + d_5\varDelta{f}))^T_i， vi​=(ΔL−0,ΔB−(d2​Δa+d3​Δf),ΔH−(d4​Δa+d5​Δf))iT​，
P i = [ a 0 a 1 0 b 0 b 1 − 1 0 a 3 a 4 a 5 b 3 b 4 0 c 1 a 6 a 7 a 8 b 6 b 7 0 c 2 ] i ， P_i= \begin{bmatrix} a_0 & a_1 & 0 & b_0 & b_1 & -1 & 0 \\ a_3 & a_4 & a_5 & b_3 & b_4 & 0 & c_1 \\ a_6 & a_7 & a_8 & b_6 & b_7 & 0 & c_2 \end{bmatrix}_i， Pi​=⎣ ⎡​a0​a3​a6​​a1​a4​a7​​0a5​a8​​b0​b3​b6​​b1​b4​b7​​−100​0c1​c2​​⎦ ⎤​i​，
$$i=1,\cdots ,n$$

$根据式(3)，代入样本值得到方程组如下：$
{ P 1 θ = v 1 P 2 θ = v 2 ⋮ P n θ = v n \begin{dcases} P_1\theta = v_1 \\ P_2\theta = v_2 \\ \vdots \\ P_n\theta = v_n \end{dcases} ⎩ ⎨ ⎧​P1​θ=v1​P2​θ=v2​⋮Pn​θ=vn​​
$则变换为矩阵方程为：$
$$v=P\theta$$
P = [ P 1 P 2 ⋮ P n ] ， v = [ v 1 v 2 ⋮ v n ] P= \begin{bmatrix} P_1 \\ P_2 \\ \vdots \\ P_n \end{bmatrix}， v= \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} P=⎣ ⎡​P1​P2​⋮Pn​​⎦ ⎤​，v=⎣ ⎡​v1​v2​⋮vn​​⎦ ⎤​

$考虑v=P\theta 无解，需要从P的列空间中找出最接近v的向量u（u可以理解为v在P的列空间中的投影，理解如下图所示：）$

如上图所示， p 是 b 在 [ a 1 a 2 ] 列空间中的投影。 如上图所示，p是b在\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \end{bmatrix} 列空间中的投影。 如上图所示，p是b在[a1​​a2​​]列空间中的投影。
令 e = v − u ，最小二乘就是找到 ∥ e ∥ 2 最小的点，最小二乘就是指向量长度的最小平方。 令e=v-u，最小二乘就是找到\parallel e \parallel^2最小的点，最小二乘就是指向量长度的最小平方。 令e=v−u，最小二乘就是找到∥e∥2最小的点，最小二乘就是指向量长度的最小平方。

$由上可知，u位于P的列空间中，即u是P的各列的线性组合：$
令 P 的列空间为 P = [ C 1 C 2 ⋯ C m ] 令P的列空间为 P= \begin{bmatrix} C_1 & C_2 & \cdots & C_m \end{bmatrix} 令P的列空间为P=[C1​​C2​​⋯​Cm​​]
故存在 u = C 1 θ 1 ~ + C 2 θ 2 ~ + ⋯ + C m θ m ~ 故存在 u=C_1\tilde{\theta_1} + C_2\tilde{\theta_2} + \cdots + C_m\tilde{\theta_m} 故存在u=C1​θ1​~​+C2​θ2​~​+⋯+Cm​θm​~​
即 P θ ~ = u 有解。 即P\tilde{\theta}=u有解。 即Pθ~=u有解。

e = v − u = v − P θ ~ e=v-u=v-P\tilde{\theta} e=v−u=v−Pθ~
$e正交于P的列空间，存在：$
e ⊥ C 1 , e ⊥ C 2 , ⋯ , e ⊥ C m e \perp C_1,e \perp C_2,\cdots,e \perp C_m e⊥C1​,e⊥C2​,⋯,e⊥Cm​

$由向量点积关系式可得：$

⇒ { C 1 T ( v − P θ ~ ) = 0 C 2 T ( v − P θ ~ ) = 0 ⋮ C m T ( v − P θ ~ ) = 0 \Rarr \begin{dcases} C_1^T(v-P\tilde{\theta})=0 \\ C_2^T(v-P\tilde{\theta})=0 \\ \vdots \\ C_m^T(v-P\tilde{\theta})=0 \end{dcases} ⇒⎩ ⎨ ⎧​C1T​(v−Pθ~)=0C2T​(v−Pθ~)=0⋮CmT​(v−Pθ~)=0​

⇒ [ C 1 T C 2 T C 3 T ⋮ C m T ] ( v − P θ ~ ) = [ 0 0 0 ⋮ 0 ] \Rarr \begin{bmatrix} C_1^T \\ C_2^T \\ C_3^T \\ \vdots \\ C_m^T \end{bmatrix} (v-P\tilde{\theta})= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} ⇒⎣ ⎡​C1T​C2T​C3T​⋮CmT​​⎦ ⎤​(v−Pθ~)=⎣ ⎡​000⋮0​⎦ ⎤​

∵ P = [ C 1 C 2 ⋯ C m ] \because P= \begin{bmatrix} C_1 & C_2 & \cdots & C_m \end{bmatrix} ∵P=[C1​​C2​​⋯​Cm​​]
∴ P T = [ C 1 T C 2 T ⋮ C m T ] \therefore P^T = \begin{bmatrix} C_1^T \\ C_2^T \\ \vdots \\ C_m^T \end{bmatrix} ∴PT=⎣ ⎡​C1T​C2T​⋮CmT​​⎦ ⎤​

⇒ P T ( v − P θ ~ ) = 0 \Rarr P^T(v-P\tilde{\theta})=0 ⇒PT(v−Pθ~)=0
⇒ P T P θ ~ = P T v \Rarr P^TP\tilde{\theta}=P^Tv ⇒PTPθ~=PTv
⇒ θ ~ = ( P T P ) − 1 P T v \Rarr \tilde{\theta}=(P^TP)^{-1}P^Tv ⇒θ~=(PTP)−1PTv

即 θ ~ = ( P T P ) − 1 P T v 为基于最小二乘计算出来的最接近实际参数的转换值 即\tilde{\theta}=(P^TP)^{-1}P^Tv为基于最小二乘计算出来的最接近实际参数的转换值 即θ~=(PTP)−1PTv为基于最小二乘计算出来的最接近实际参数的转换值

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