Python金融大数据分析——第10章 推断统计学 笔记1

• 第10章 推断统计学
  • 10.1 随机数
  • 10.2 模拟
    • 10.2.1 随机变量
    • 10.2.2 随机过程
      • 几何布朗运动
      • 平方根扩散
      • 随机波动率
      • 跳跃扩散
    • 10.2.3 方差缩减

第10章 推断统计学

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Python金融大数据分析——第10章 推断统计学 笔记2
Python金融大数据分析——第10章 推断统计学 笔记3

10.1 随机数

import numpy as np
import numpy.random as random
import matplotlib.pyplot as plt# rand 函数返回开区间［O, 1 ）内的随机数,随机数的个数由参数指定
random.rand(10)
# array([ 0.43812444,  0.34411735,  0.23250114,  0.76714005,  0.20759936,
#         0.70901672,  0.95422155,  0.08556689,  0.59033963,  0.84513443])random.rand(5, 5)
# array([[ 0.95942423,  0.91671855,  0.33619313,  0.37931534,  0.59388659],
#        [ 0.84503838,  0.92572621,  0.57089753,  0.84832724,  0.6923007 ],
#        [ 0.0257402 ,  0.73027026,  0.07831274,  0.85126426,  0.43927961],
#        [ 0.31733426,  0.0367936 ,  0.26154412,  0.68299204,  0.06117947],
#        [ 0.3355343 ,  0.72317741,  0.95397264,  0.91341195,  0.8424168 ]])# 如果想生成区间［5, 10 ）内的随机数， 可以这样转换 rand 的返回值
a = 5.
b = 10.
random.rand(10) * (b - a) + a
# array([ 7.72031281,  9.49373699,  7.26951207,  5.08434385,  7.07330462,
#         5.5169059 ,  7.93266969,  9.59174389,  7.55476132,  9.07963314])# 由于 NumPy 的广播特性， 这也适合于多维数组
random.rand(5, 5) * (b - a) + a
# array([[ 6.56262146,  6.58686089,  9.25527619,  7.36295298,  8.10034672],
#        [ 9.51719011,  8.79297476,  7.32629772,  8.85443737,  6.95337673],
#        [ 9.87850678,  8.87835651,  5.55394611,  9.09984161,  7.46512384],
#        [ 8.54888728,  8.34351926,  7.95810147,  6.20483389,  8.86515313],
#        [ 9.37562883,  5.81284007,  8.34719867,  6.14204529,  7.31620939]])

简单随机数生成函数

sample_size = 500
rn1 = random.rand(sample_size, 3)
rn2 = random.randint(0, 10, sample_size)
rn3 = random.sample(size=sample_size)
a = [0, 25, 50, 75, 100]
rn4 = random.choice(a, size=sample_size)fig, ((ax1, ax2), (ax3, ax4)) = plt.subplots(nrows=2, ncols=2, figsize=(7, 7))ax1.hist(rn1, bins=25, stacked=True)
ax1.set_title('rand')
ax1.set_ylabel('frequency')
ax1.grid(True)ax2.hist(rn2, bins=25)
ax2.set_title('randint')
ax2.grid(True)ax3.hist(rn3, bins=25)
ax3.set_title('sample')
ax3.set_ylabel('frequency')
ax3.grid(True)ax4.hist(rn4, bins=25)
ax4.set_title('choice')
ax4.grid(True)

根据不同分布生成随机数的函数

虽然在金融学中使用（标准）正态分布遭到了许多批评 ， 但是它们是不可或缺的工具，在分析和数值应用中仍然是最广泛使用的分布类型。 原因之一是许多金融模型直接依赖于正态分布或者对数正态分布。 另一个原因是许多不直接依赖（对数）正态假设的金融模型可以离散化， 从而通过使用正态分布进行近似模拟。

sample_size = 500
rn1 = random.standard_normal(sample_size)  # 均值为0, 标准差为l的标准正态分布
rn2 = random.normal(100, 20, sample_size)  # 均值为 100 ， 标准差为 20 的正态分布
rn3 = random.chisquare(df=0.5, size=sample_size)  # 自由度为 0.5 的卡方分布
rn4 = random.poisson(lam=1.0, size=sample_size)  # λ 值为 1 的泊松分布fig, ((ax1, ax2), (ax3, ax4)) = plt.subplots(nrows=2, ncols=2, figsize=(7, 7))
ax1.hist(rn1, bins=25)
ax1.set_title('standard normal')
ax1.set_ylabel('frequency')
ax1.grid(True)ax2.hist(rn2, bins=25)
ax2.set_title('normal(100,20)')
ax2.grid(True)ax3.hist(rn3, bins=25)
ax3.set_title('chi square')
ax3.set_ylabel('frequency')
ax3.grid(True)ax4.hist(rn4, bins=25)
ax4.set_title('Poisson')
ax4.grid(True)

10.2 模拟

蒙特卡洛模拟（MCS）是金融学中最重要的数值技术之一（在重要性和使用广泛程度上也许没有 “之一” ｝。这主要是因为它是最灵活的数学表达式（如积分）求值方法，特别适合于金融、衍生品的估值。 但是，这种灵活性的代价是相对高的计算负担，估算一个值就可能需要数十万次甚至数百万次复杂计算。

10.2.1 随机变量

我们考虑期权定价所用的Black-Scholes-Meron设置。这种设置中，在今日股票指数水平$S_0$给定的情况下，未来某个日期T的股票指数水平$S_T$
公式：以Black-Scholes-Merton设置模拟未来指数水平

import numpy as np
import numpy.random as random
import matplotlib.pyplot as pltS0 = 100  # initial value
r = 0.05  # constant short rate
sigma = 0.25  # constant volatility
T = 2.0  # in years
I = 10000  # number of random draws
ST1 = S0 * np.exp((r - 0.5 * sigma ** 2) * T + sigma * np.sqrt(T) * random.standard_normal(I))plt.hist(ST1, bins=50)
plt.xlabel('index level')
plt.ylabel('frequency')
plt.grid(True)

( 通过 standard_normal ) 模拟的几何布朗运动

随机变量呈对数正态分布。因此 ， 我们还可以尝试使用 lognormal 函数直接得出随机变量值。在这种情况下，必须向函数提供均值和标准差：

ST2 = S0 * random.lognormal((r - 0.5 * sigma ** 2) * T, sigma * np.sqrt(T), size=I)
plt.hist(ST2, bins=50)
plt.xlabel('index level')
plt.ylabel('frequency')
plt.grid(True)

( 通过 lognormal ) 模拟的几何布朗运动

使用 scipy.stats子库和下面定义的助手函数 print_statistics 比较模拟结果的分布特性：

import scipy.stats as scsdef print_statistics(a1, a2):"""Print selected statistics"""sta1 = scs.describe(a1)sta2 = scs.describe(a2)print('%14s %14s %14s' % ('statistic', 'data set 1', 'data set 2'))print(45 * '-')print('%14s %14.3f %14.3f' % ('size', sta1[0], sta2[0]))print('%14s %14.3f %14.3f' % ('min', sta1[1][0], sta2[1][0]))print('%14s %14.3f %14.3f' % ('max', sta1[1][1], sta2[1][1]))print('%14s %14.3f %14.3f' % ('mean', sta1[2], sta2[2]))print('%14s %14.3f %14.3f' % ('std', np.sqrt(sta1[3]), np.sqrt(sta2[3])))print('%14s %14.3f %14.3f' % ('skew', sta1[4], sta2[4]))print('%14s %14.3f %14.3f' % ('kurtosis', sta1[5], sta2[5]))print_statistics(ST1, ST2)
#      statistic     data set 1     data set 2
# ---------------------------------------------
#           size      10000.000      10000.000
#            min         28.691         28.718
#            max        497.050        438.493
#           mean        110.298        111.023
#            std         40.380         40.577
#           skew          1.145          1.156
#       kurtosis          2.668          2.428

两个模拟结果的特性很类似， 差异主要是由于模拟中的所谓采样误差。在离散地模拟连续随机过程时会引人离散化误差， 但是由于模拟方法的特性，这种误差在此不起任何作用。

10.2.2 随机过程

粗略地讲， 随机过程是一个随机变量序列。在这个意义上， 我们应该预期， 在模拟一个过程时， 对一个随机变量的一序列重复模拟应该有某种类似之处。 这个结论大体上是正确的 ，但是随机数的选取一般不是独立的？而是依赖于前几次选取的结果。 不过，金融学中使用的随机过程通常表现出马尔科夫特性——主要的含义是：明天的过程值只依赖于今天的过程状态， 而不依赖其他任何 “历史” 状态． 甚至不依赖整个路径历史。 这种过程也被称做 “无记忆过程”。

几何布朗运动

现在我们考虑Black-Scholes-Merton模型的动态形式，这种形式由下面公式中的随机微分方程（SDE）描述。式中的$Z_t$是标准布朗运动，SDE 被称作几何布朗运动。$S_t$ 的值呈对数正态分布，（边际）收益$dS_t/St$ 呈正态分布。

公式 Black-Scholes-Merton设置中的随机微分方程

SDE可以由一个欧拉格式精确地离散化， 下面公式中介绍了一个这样的格式， 其中 Δ

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