方向余弦阵

\qquad 若 i b , j b , k b i_b,j_b,k_b ib​,jb​,kb​为$b$系坐标轴向的单位矢量， i i , j i , k i i_i,j_i,k_i ii​,ji​,ki​为$i$系坐标轴向的单位矢量，那么两坐标系间的基变换公式可表示为: { i b = ( i b ⋅ i i ) i i + ( i b ⋅ j i ) j i + ( i b ⋅ k i ) k i j b = ( j b ⋅ i i ) i i + ( j b ⋅ j i ) j i + ( j b ⋅ k i ) k i k b = ( k b ⋅ i i ) i i + ( k b ⋅ j i ) j i + ( k b ⋅ k i ) k i (1) \begin{cases}i_b &=(i_b\cdot i_i)i_i+(i_b\cdot j_i)j_i+(i_b\cdot k_i)k_i \\ j_b &=(j_b\cdot i_i)i_i+(j_b\cdot j_i)j_i+(j_b\cdot k_i)k_i \\ k_b &=(k_b\cdot i_i)i_i+(k_b\cdot j_i)j_i+(k_b\cdot k_i)k_i \\ \end{cases} \tag{1} ⎩⎪⎨⎪⎧​ib​jb​kb​​=(ib​⋅ii​)ii​+(ib​⋅ji​)ji​+(ib​⋅ki​)ki​=(jb​⋅ii​)ii​+(jb​⋅ji​)ji​+(jb​⋅ki​)ki​=(kb​⋅ii​)ii​+(kb​⋅ji​)ji​+(kb​⋅ki​)ki​​(1) \qquad 将其改写成矩阵形式，有: [ i b j b k b ] = [ i i j i k i ] [ i b ⋅ i i j b ⋅ i i k b ⋅ i i i b ⋅ j i j b ⋅ j i k b ⋅ j i i b ⋅ k i j b ⋅ k i k b ⋅ k i ] = [ i i j i k i ] P (2) \begin{bmatrix}i_b&j_b&k_b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} i_i&j_i&k_i\end{bmatrix}\begin{bmatrix} i_b\cdot i_i& j_b\cdot i_i& k_b\cdot i_i\\ i_b\cdot j_i& j_b\cdot j_i& k_b\cdot j_i \\ i_b\cdot k_i& j_b\cdot k_i& k_b\cdot k_i \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}i_i&j_i&k_i\ \end{bmatrix}P \tag{2} [ib​​jb​​kb​​]=[ii​​ji​​ki​​]⎣⎡​ib​⋅ii​ib​⋅ji​ib​⋅ki​​jb​⋅ii​jb​⋅ji​jb​⋅ki​​kb​⋅ii​kb​⋅ji​kb​⋅ki​​⎦⎤​=[ii​​ji​​ki​ ​]P(2) \qquad 其中$P$为从$i$到$b$系的过渡矩阵，有: P = [ i b ⋅ i i j b ⋅ i i k b ⋅ i i i b ⋅ j i j b ⋅ j i k b ⋅ j i i b ⋅ k i j b ⋅ k i k b ⋅ k i ] (3) P=\begin{bmatrix} i_b\cdot i_i& j_b\cdot i_i& k_b\cdot i_i\\ i_b\cdot j_i& j_b\cdot j_i& k_b\cdot j_i \\ i_b\cdot k_i& j_b\cdot k_i& k_b\cdot k_i \end{bmatrix} \tag{3} P=⎣⎡​ib​⋅ii​ib​⋅ji​ib​⋅ki​​jb​⋅ii​jb​⋅ji​jb​⋅ki​​kb​⋅ii​kb​⋅ji​kb​⋅ki​​⎦⎤​(3) \qquad 设三维矢量$V$在$i$系和$b$系下的投影分别为: V i = [ V x i V y i V z i ] V b = [ V x b V y b V z b ] (4) V^i=\begin{bmatrix} V_x^i\\V_y^i\\V_z^i \end{bmatrix} \qquad V^b=\begin{bmatrix} V_x^b\\V_y^b\\V_z^b \end{bmatrix} \tag{4} Vi=⎣⎡​Vxi​Vyi​Vzi​​⎦⎤​Vb=⎣⎡​Vxb​Vyb​Vzb​​⎦⎤​(4) \qquad 向量$V$的投影表示为: V = V x i i i + V y i j i + V z i k i = V x b i b + V y b j b + V z b k b (5) V=V_x^ii_i+V_y^ij_i+V_z^ik_i=V_x^bi_b+V_y^bj_b+V_z^bk_b \tag{5} V=Vxi​ii​+Vyi​ji​+Vzi​ki​=Vxb​ib​+Vyb​jb​+Vzb​kb​(5) \qquad 向量$V$的坐标表示为: [ i i j i k i ] [ V x i V y i V z i ] = [ i b j b k b ] [ V x b V y b V z b ] (6) \begin{bmatrix}i_i&j_i&k_i\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} V_x^i\\V_y^i\\V_z^i \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}i_b&j_b&k_b \end{bmatrix}\begin{bmatrix} V_x^b\\V_y^b\\V_z^b \end{bmatrix} \tag{6} [ii​​ji​​ki​ ​]⎣⎡​Vxi​Vyi​Vzi​​⎦⎤​=[ib​​jb​​kb​​]⎣⎡​Vxb​Vyb​Vzb​​⎦⎤​(6) \qquad 将式(2)带入式(6)得: [ i i j i k i ] [ V x i V y i V z i ] = [ i i j i k i ] P [ V x b V y b V z b ] (7) \begin{bmatrix}i_i&j_i&k_i\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} V_x^i\\V_y^i\\V_z^i \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}i_i&j_i&k_i\ \end{bmatrix}P\begin{bmatrix} V_x^b\\V_y^b\\V_z^b \end{bmatrix} \tag{7} [ii​​ji​​ki​ ​]⎣⎡​Vxi​Vyi​Vzi​​⎦⎤​=[ii​​ji​​ki​ ​]P⎣⎡​Vxb​Vyb​Vzb​​⎦⎤​(7) \qquad 则有: [ V x i V y i V z i ] = P [ V x b V y b V z b ] 即 V i = P V b = C b i V b (8) \begin{bmatrix} V_x^i\\V_y^i\\V_z^i \end{bmatrix}=P\begin{bmatrix} V_x^b\\V_y^b\\V_z^b \end{bmatrix}即\ V^i=PV^b=C_b^iV^b \tag{8} ⎣⎡​Vxi​Vyi​Vzi​​⎦⎤​=P⎣⎡​Vxb​Vyb​Vzb​​⎦⎤​即 Vi=PVb=Cbi​Vb(8) \qquad 记 C b i = P C_b^i=P Cbi​=P为$b$系到$i$系的坐标变换矩阵，或从$i$系到$b$系的坐标系变换矩阵。
\qquad 由矩阵$P$的几何意义可知，矩阵$P$的行向量分别表示$i$系坐标轴向单位矢量 i i , j i , k i i_i,j_i,k_i ii​,ji​,ki​在$b$系下的投影，故其任意行向量之间两两之间相互正交，因此过渡矩阵$P$是单位正交阵 ( P T P = I ) (P^TP=I) (PTP=I)。同时也可直接进行计算验证，如下:
P T P = [ i b ⋅ i i i b ⋅ j i i b ⋅ k i j b ⋅ i i j b ⋅ j i j b ⋅ k i k b ⋅ i i k b ⋅ j i k b ⋅ k i ] [ i b ⋅ i i j b ⋅ i i k b ⋅ i i i b ⋅ j i j b ⋅ j i k b ⋅ j i i b ⋅ k i j b ⋅ k i k b ⋅ k i ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] (9) P^TP=\begin{bmatrix} i_b\cdot i_i& i_b\cdot j_i& i_b\cdot k_i\\ j_b\cdot i_i& j_b\cdot j_i& j_b\cdot k_i \\ k_b\cdot i_i& k_b\cdot j_i& k_b\cdot k_i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} i_b\cdot i_i& j_b\cdot i_i& k_b\cdot i_i\\ i_b\cdot j_i& j_b\cdot j_i& k_b\cdot j_i \\ i_b\cdot k_i& j_b\cdot k_i& k_b\cdot k_i \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \tag{9} PTP=⎣⎡​ib​⋅ii​jb​⋅ii​kb​⋅ii​​ib​⋅ji​jb​⋅ji​kb​⋅ji​​ib​⋅ki​jb​⋅ki​kb​⋅ki​​⎦⎤​⎣⎡​ib​⋅ii​ib​⋅ji​ib​⋅ki​​jb​⋅ii​jb​⋅ji​jb​⋅ki​​kb​⋅ii​kb​⋅ji​kb​⋅ki​​⎦⎤​=⎣⎡​100​010​001​⎦⎤​(9) \qquad 由于 C b i = P C_b^i=P Cbi​=P的各个元素均表示$b$系与$i$系相应坐标轴间的夹角余弦值，因此我们又把 C b i C_b^i Cbi​称为方向余弦阵$(directioncosinematrix,DCM)$。

参考文献
[1] 严恭敏, 翁浚. 捷联惯导算法与组合导航原理[M]. 西安:西北工业大学出版社, 2020.

本文来自互联网用户投稿，文章观点仅代表作者本人，不代表本站立场，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处。 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请点击【内容举报】进行投诉反馈！