求稳定误差系数的关键

稳定误差系数定义

假设单位负反馈开环传递函数:
Φ open ( s ) = G ( s ) H ( s ) \Phi_\text {open} (s)=G(s)H(s) Φopen​(s)=G(s)H(s)
则闭环传递函数为：
Φ ′ ( s ) = C ( s ) R ( s ) = G ( s ) H ( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) \Phi '(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)H(s)}{1+G(s)H(s)} Φ′(s)=R(s)C(s)​=1+G(s)H(s)G(s)H(s)​
容易求得，从输入信号到误差信号的传递函数为
E ( s ) = R ( s ) − C ( s ) = R ( s ) [ 1 − Φ ′ ( s ) ] = R ( s ) 1 1 + G ( s ) ⋅ H ( s ) = R ( s ) 1 1 + Φ ( s ) \begin{aligned} E(s)&=R(s)-C(s)\\ &=R(s)\left[1-\Phi '(s)\right] \\ &=R(s)\frac{1}{1+G(s) \cdot H(s)}\\ &=R(s)\frac{1}{1+\Phi(s)} \end{aligned} E(s)​=R(s)−C(s)=R(s)[1−Φ′(s)]=R(s)1+G(s)⋅H(s)1​=R(s)1+Φ(s)1​​
如果e(t)是有终值的，根据拉普拉斯变换的终值定理¹。

e s t = lim ⁡ t → ∞ e ( t ) = lim ⁡ s → 0 s E ( s ) = lim ⁡ s → 0 s 1 1 + Φ open ( s ) R ( s ) \begin{aligned} e_{s t}&=\lim _{t \rightarrow \infty} e(t)\\ &=\lim _{s \rightarrow 0} s E(s)\\ &=\lim _{s \rightarrow 0} s \frac{1}{1+\Phi_\text {open}(s)}R(s) \end{aligned} est​​=t→∞lim​e(t)=s→0lim​sE(s)=s→0lim​s1+Φopen​(s)1​R(s)​

可以看出，对于给定的输入量$r(t)$，关于输入量的静态误差 e s t e_{st} est​，只取决于系统的开环传递函数$\Phi (s)$。
当输人信号为三种典型信号之一时，上式化为
对于单位阶跃函数 R ( s ) = 1 s R(s)=\frac{1}{s} R(s)=s1​:
e s t = lim ⁡ s → 0 1 1 + Φ open ( s ) (1) e_{s t}=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{1}{1+\Phi_{\text {open}}(s)}\tag{1} est​=s→0lim​1+Φopen​(s)1​(1)
对于单位斜坡函数 R ( s ) = 1 s 2 R(s)=\frac{1}{s^2} R(s)=s21​:
e s t = lim ⁡ s → 0 1 s 1 1 + Φ open ( s ) = lim ⁡ s → 0 1 s Φ open ( s ) (2) \begin{aligned} e_{s t}&=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{1}{s}\frac{1}{1+\Phi_{\text {open}}(s)}\\ &=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{1}{s \Phi_{\text {open}}(s)}\tag{2} \end{aligned} est​​=s→0lim​s1​1+Φopen​(s)1​=s→0lim​sΦopen​(s)1​​(2)
对于单位加速度函数 R ( s ) = 1 s 3 R(s)=\frac{1}{s^3} R(s)=s31​:
e s t = lim ⁡ s → 0 1 s 2 1 1 + Φ open ( s ) = lim ⁡ s → 0 1 s 2 Φ open ( s ) (3) \begin{aligned} e_{s t}&=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{1}{s^2}\frac{1}{1+\Phi_{\text {open}}(s)}\\ &=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{1}{s^2 \Phi_{\text {open}}(s)}\tag{3} \end{aligned} est​​=s→0lim​s21​1+Φopen​(s)1​=s→0lim​s2Φopen​(s)1​​(3)

由此,定义静态误差系数如下：
位置误差系数： K p = lim ⁡ s → 0 Φ open ( s ) (4) K_{p}=\lim _{s \rightarrow 0} \Phi_{\text {open}}(s)\tag{4} Kp​=s→0lim​Φopen​(s)(4)
速度误差系数： K v = lim ⁡ s → 0 s Φ open ( s ) (5) K_{v}=\lim _{s \rightarrow 0} s\Phi_{\text {open}}(s)\tag{5} Kv​=s→0lim​sΦopen​(s)(5)
加速度误差系数： K a = lim ⁡ s → 0 s Φ open ( s ) (6) K_{a}=\lim _{s \rightarrow 0} s\Phi_{\text {open}}(s)\tag{6} Ka​=s→0lim​sΦopen​(s)(6)
把式（4）、（5）、（6）分别代人式（1）、（2）、（3）中，得
对于单位阶跃函数： e s t = 1 / ( 1 + K p ) (7) e_{s t}=1 /\left(1+K_{p}\right)\tag{7} est​=1/(1+Kp​)(7)
对于单位斜坡函数： e s t = 1 / ( K v ) (8) e_{s t}=1 /\left(K_{v}\right)\tag{8} est​=1/(Kv​)(8)
对于单位加速度函数： e s t = 1 / ( K a ) (9) e_{s t}=1 /\left(K_{a}\right)\tag{9} est​=1/(Ka​)(9)
通常有，于是式(7)化为，与另外两个公式形式上相似。这表明：采用静态误差系数概念后可以认为，系统在三种典型输入信号作用下的静态误差等于或近似等于相应的误差系数的倒数。

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