MDCT\IMDCT可逆性问题

MDCT\IMDCT可逆性问题

最近学习MDCT，用matlab做仿真时发现数据经过MDCT-IMDCT流程后失真严重，在网上搜索相关的解释很少，目前问题已经解决，大概分享一下收获。

MDCT基于DCT发展而来，为解决DCT将数据分块后带来的边界效应。基于MDCT的编码方式多种多样，这些编码无一例外需要进行时域混叠。时域混叠不是MDCT的可选择步骤，而是必须步骤。我们可以对比MDCT和DCT的基向量来直观看出原因。

如果一个变换是可逆的，这个变换的正变换矩阵和逆变换矩阵相乘应当是一个单位矩阵。（注意运算顺序）我们先来看DET-IV正，逆变换矩阵相乘的结果（为方便观察我只取了8*8的矩阵，并把过小的数据置为0）

这是一个很标准的单位阵，而MDET的结果：

不仅仅是倍数的差距，矩阵的左上和右下非对角线部分有非0区域。这些区域有一个突出的特点：左上和右下是对称的，并且互为相反数。实际上MDCT就是利用这个特殊的矩阵，让时域混叠能够很简单地实现。时域混叠的原理很简单：对原本由M个采样点构成的一组数据，把这一组相邻两个组的各一半叠加，得到2M个采样点。数据经过变换和逆变换之后，相邻两组数据错位对齐直接相加，就可得到原始数据。

下面附上一段matlab代码，简单实现了一段音频经过MDCT-IMDCT还原为原始信号。

clear
clc
x0=audioread('XX.wav');
N=512;
p=mod(length(x0),N/2);
x1=x0(1:length(x0)-p);
m=length(x1)/(N/2);
x=zeros(m-1,N);
for i=1:(length(x1)/(N/2)-1)x(i,:)=x1((N/2*(i-1)+1):N/2*(i+1));
end
X=zeros(m-1,N/2);
for i=1:(m-1)for k=1:N/2for n=1:NX(i,k)=X(i,k)+x(i,n)*cos(pi*2/(N)*(k-1+0.5)*(n-1+0.5+N/4));endend
endx_IMDCT=zeros(m-1,N);
%imdct
for i=1:(m-1)for n=1:Nfor k=1:N/2x_IMDCT(i,n)=x_IMDCT(i,n)+X(i,k)*cos(pi*2/N*(k-1+0.5)*(n-1+0.5+N/4));endx_IMDCT(i,n)=x_IMDCT(i,n)*2/N;end
end
x_fi=zeros(length(x1),1);
x_fi(1:N/2)=x_IMDCT(1,1:N/2);
for i=2:(m-1)x_fi(N/2*(i-1)+1:N/2*i)=x_IMDCT(i-1,N/2+1:N)+x_IMDCT(i,1:N/2);
end
x_fi(N/2*(m-1)+1:N/2*(m))=x_IMDCT((m-1),N/2+1:N);audiowrite('XX.wav',x_fi,44100)

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