能计算虫洞模型的算筹数字计算机
能计算虫洞模型的算筹数字计算机
能计算虫洞模型的算筹数字计算机是一种可以按照商高定理，把形成虫洞的暗能量记录下来的计算机。该计算机可以根据算筹，太一算，两仪算，三才算记录的数据，形成一个图形，同时根据这个图像预估形成虫洞的暗能量。同时还可以根据素数的分布，来预估形成虫洞的暗能量。
把两个金箔放入充满氮气的水晶球中，给两个金箔上面接上数亿伏特数亿安培的高压直流电，用高频开关不断切换连个金箔带电的正负性。这样高电压就会击穿氮气，两个金箔中间就会形成方向相反的电子流，这两个电子流相互碰撞产生弱相互作用，吸引暗物质，产生激光，激光会吸引暗能量。这些暗能量就会在宇宙空周形成一个虫洞。相关资料下载网址：
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算筹计算机
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这个虫洞的模型可以用下面的公示表示
2 2 2
dσ =c dt -ds
上式中，dσ表示形成虫洞的暗能量的导数，dt表示时间的导数，ds表示虫洞横截面积的导数. 先将上面的公式通过商高定理，化简为关于ds的函数，注：商高为我国西周数学家商高。再将下面得到的实数的分布函数代入到ds的函数中，就得到虫洞横截面积的分布函数。将这个面积的分布函数值记录在算筹上，就可以得到一个函数图像，根据这个函数图像就可以预测虫洞的面积分布规律。根据我国东汉数学家徐岳的《数术记遗》，南北朝北周数学家甄鸾注解，中记录的太一，两仪，三才计算工具，记录上面的面积分布函数值，根据我国东汉数学家徐岳的《数术记遗》，南北朝北周数学家甄鸾注解，中记录的太一，两仪，三才计算工具，记录上面的面积分布函数值。就可以得到一个函数图像，根据这个函数图像就可以预测虫洞的面积分布规律。
我们只要找到素数分布的规律，根据陈景润证明的哥德巴赫猜想，可以得到某个函数值在定义域上的分布状况。再将这个分布数值用算筹表示出来，这些算筹组成的数据就可以形成一个图像，利用这个图像可以分析函数的数值取值。这样就达到利用函数图像推断函数取值的目的。陈景润定理如下：任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和。素数的分布和偶数的分布情况可以近似的反应整个实数的分布情况。1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”。所以用偶数和质数的分布情况就可以反映整个实数的分布情况。也就是用陈景润定理和维诺拉朵夫定理的证明可以反应整个实数的分布规律。
我们还可以根据古希腊数学家欧几里得的《几何原本》数论卷中的命题Ⅶ.6，来用几个素数构成整个实数。这样，我们通过素数的分布规律，就得到整个实数的分布规律。《几何原本》数论卷中的命题Ⅶ.6如下：如果一小数是一大数的几部分，另一小数是另一大数的相同部分，那么小数之和也是大数之和的相同部分。再根据上面推导出的计算积分的三角函数公式,斜率公式，把上面函数的积分计算出来。三角函数积分计算公式可查阅三角函数积分页，斜率积分计算公式可查阅斜率积分计算页。
再根据《相对论》奥地利物理学家W.泡利著，凌德洪，周万生译，上海科技出版社1979年出版，里面描述的空间曲率内容计算虫洞的空间曲率。上面得到的虫洞的空间曲率公式可以用实数的分布函数描述，这样就可以预估一个虫洞的形成。再根据《引力论和宇宙论-广义相对论的原理和应用》，美国S.温伯格著，邹振隆，张历宁等译，科学出版社1980年出版。把白洞、黑洞的空间曲率描述出来。同时，根据上面得到的实数分布规律，我们就推测计算虫洞的数学模型。
第一部分 素数的分布
下面的内容可见《华罗庚文集》数论卷一堆垒素数论，华罗庚著，科学出版社，2010年出版。
说明
本文并无一般的引言，各章的第一段有主要结果的叙述。对于实数z,[z]表示不大于z的最大整数，而{z}表示由z到最近整数的距离。
2πiz 2πiz
e(z)=e , e (x)=e ,
q
k表示一正整数；P是充分大的正数，而L=logP。
max(a,b,…,g)表示a,b,…,g中最大的一个，而min(a,b,…,g)表示其中最小的一个。
如习常所用：a|b表示a整除b,a | b表示a不整除b。
l l l+1
本文中常用p表示素数，p ||n表示p |n而p |/n 。
c(a,b,…,g)表示某一依存于a,b,…,g的正数；
ε是任意小正数，但不一定在每次出现时都是一样的。
f(x)=O(φ(x))或f(x)<<φ(x)表示|f(x)|≤c(a,b,…,g)φ(x)。
在陈述定理时我们不用符号<<及O，而用如以上形式的不等式。
在证明中或引理中如果到符号<<或O, 而用如以上形式的不等式，在证明中或引理中如果用到符号<<或O，则其所包有的常数仅依赖于定理叙述中所涉及的a,b,…,g。如有特别声明，符号的含义可能有局部性的改变。
第3章 素数分布及与之相关的Riemann ζ-函数的性质
3.1素数定理
命π(x)表示不超过x的素数个数，从π(x)的最初几个函数值看来，π(x)似乎很不规则，但是随着数据的增加，可以看到，对于函数π(x)，可能有一渐进表示式。Legendre(119)猜想，对于充分大的x，π(x)渐进等于
x/（logx-1.08366） (58)
此处logx表示x的自然对数。Gauss(120)又独立地建议了一个类似而并不与它相等的公式，以一千个连续整数为单位，Gauss的方法在于计算每个单位中的素数个数，
[120]C.F.Gauss,Werke 2,2.Aufl,Gottingen,444-447,1976
他建议用函数1/logx来表示在大整数x附近的素数分布的平均密度（“单位区间中素数的百分率”），因此他用
x
∫ (du/logu) (59)
2
来渐进表示π(x),为了方便起见，常常用“对数积分”
x
lix=∫ (dx/logx)
2
1-η x du
lix= lim (∫ +∫ )
η→0 0 1+η logu
来代替上面的函数，这两个函数之差为一常数li2=1.4…。如果我们仅仅考虑主阶，则这两个猜想都可以陈述为
π(x)
lim =1 (60)
x→∞ x/logx
这就是通常所称的“素数定理”。这是素数分布理论中的中心定理。近百年来，决定素数定理真伪的问题，吸引了不少数学家的注意。首先在这个方向上作出重要贡献的是Чебьппев（121),
[121]П.Л.Чебышев(P.L.Tschebyschev),Sur la fonction qui determine la totalits des nombres premiers inferieurs a une limite donnee,
Memoires presentes a LAcademie Imperiale des sciences des St. Petersbourg par divers savants 6,141-157,1848-1851; J.Math.pur.appl.ser.I,17,341-365,1852;ceUVRES,i.27-48,1899; Memoire sur les nombres premiers,Memoires presentes a LAcademie Imperials des sciences de St.Petersbourg par divers savants,7,15-33,1850-1854.
J.Math.pur.appl.ser.I,17.366-390;1852;CEuvres,1,49-70,1899.
他在1848年与1850年证明了
π(x) π(x) 6
a≤ lim ≤1≤ lim ≤ a (61)
x→∞ x/logx x→∞ x/logx 5
此处a=0.92129,亦即他证明了：如果极限存在，则极限必定为1；而且当x充分大时，这个比例界于两个正常数之间。
注释：
lim 表示上极限， x→∞
给定无穷序列{Xn},由它的一切收敛子序列的极限值所成之几何中元素的最大值，称为该无穷序列的上极限。
lim 表示下极限， x→∞
有界数列的最大聚点就是它的上极限，而最小聚点就是它的下极限。比如通项为(-1)的n次方乘以n/(n+1)的点列，它的上极限为1，下极限为-1.
尽管Чебышеа所得到的数值上界被以后的数学家不断地加以改进，但这些数学家所用的方法，似乎是不可能导致问题的最终解决的。
我们只要找到素数分布的规律，根据陈景润证明的哥德巴赫猜想，可以得到某个函数值在定义域上的分布状况。再将这个分布数值用算筹表示出来，这些算筹组成的数据就可以形成一个图像，利用这个图像可以分析函数的数值取值。这样就达到利用函数图像推断函数取值的目的。
陈景润定理如下：任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和。
Чебышеа引进了两个函数：
v(x)= ∑ logp (62)
p≤x
及 1/2 1/3
v(x)= ∑ logp= ∑ A(n)=v(x)+v(x )+v(x )+000 (63)
m
p ≤x n≤x
此处
log p,若n为素数p的方幂；
A(n)={
0，其他情形
他证明了下面两个公式都等价于素数定理：
v(x)~x (64)
与
ψ(x)~x (65)
最后，我们引证Sylvester(122)的话来说明Чебышев贡献的意义以及他对这个问题的展望：
注释：上面两个函数v(x),ψ(x)都是用来描述素数定理的函数，也就是说这两个函数的取值和素数定理中极限的取值是等价的。
[122]J.JSylvester,On Tschbyschev`s theory of the totality of Prime numbers comprised within given limits,Amer.J.Math.,4,230-247,1881
"但是要确立这种可能性的存在，我们或许要等待在世界上产生这样一个人，他的智慧与洞察力象Чебышев一样，证明自己是超人一等的“。当Sylvester写下这些东西的时候，Hadamard出生了，但是我们不应该仅仅归功于个别人的才华，前人的劳动，特别是Riemann的工作，为他证明素数定理开辟了道路。
3.2Riemann的解析方法
Riemann[123]在1859年提出的新思想是解决这个问题的钥匙，他的名著的意义不仅在于素数论，而且亦影响着一般函数论的发展，他引入了处理复变函数Ricmann ζ-函数。
∞ 1
ζ(s)= ∑ ,s=σ+it (66)
n=1 s
n
的想法。Euler在1737年将ζ(s)作为实变函数来研究。他亦得到在素数分不论上的若干应用。虽然Riemann的考虑主要并不在于π(x)的渐进表示，但他的分析已经明确指出了，在这个函数与ζ(s)的性质间有着密切的联系，特别与它在s平面上的零点分布有关。但是在大多数情况下，Rieann仅仅只给出了证明的不充分的指示。为了说明他的名著的价值，我们在这里概述一下他已经证明了的与猜想的结果。
由恒等式
2
∞ (s/2)-1 -n πx Γ(s/2) 1
∫ x e dx= ,σ>0
0 s/2 s
π n
注释：Γ(s/2)=(s/2-1)!, Γ(x)表示伽马函数
1.在实数域上伽马函数定义为：
+∞ x-1 -t
Γ(x)= ∫ t e dt(x>0)
0
2.在复数域上伽马函数定义为：
+∞ z-1 -t
Γ(x)= ∫ t e dt
0
注释完.
出发，我们得到：当σ>0时
2
Γ(s/2)ζ(s) ∞ ∞ (s/2)-1 -n πx ∞ (s/2)-1
= ∑ ∫ x e dx=∫ x ψ(x)dx
s/2 n=1 0 0
π
成立，此处
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
由于当x>0时，
1
2ψ(x)+1= { 2ψ(1/x)+1}
√x
因此
2
-s/2 1 (s/2)-1 -n πx ∞ (s/2)-1
π Γ(s/2)ζ(s)=∫ x e dx+ ∫ x ψ(x)dx
0
1 ∞ (-s/2)-(1/2) (s/2)-1 = + ∫ (x +x )ψ(x)dx (67)s(s-1) 1
最后的积分对于全体s都收敛，故由解析延拓可知。这个公式对于全体s都成立。由于当s换为1-s时，公式(67)的右端不改变，故得函数方程
2 1
ζ(1-s)= cos πsΓ(s)ζ(s) (68)
s 2
(2π)
由(67)可见，ζ(s)除了在s=1处有一个残数为1的一次极外，它在整个平面上是正则的。又因为σ>1时，
注释：正则函数，（regularfunction)又称全纯函数、解析函数，属于高等数学中的函数，可展开为幂级数的（实变）函数，称为正则函数。上述定义还适合于复变函数。在定义域内处处可微的复变（复值）函数，称为正则函数。
因为
∞ 1
ζ(s)= ∑ ,s=σ+it
n=1 s
n
2 ∞ z -1 1 zΓ(s)= ∏ [(1+ ) (1+ ) ]z n n
(伽马函数的欧拉无穷乘积定义)
所以
1 -1
ζ(s)= ∏ (1- ) (69)
p s
p
此处p经过全体素数，故当σ>1时，ζ(s)没有零点。因此由(68)可知，当σ<0时，ζ(s)除了在s=-2,-4,…处有一次零点之外，它没有其他零点。我们称这些零点为ζ(s)的“无聊零点”，ζ(s)可能有的其他零点ρ ,ρ ,…,都位于带状区域0≤σ≤1之中，因为
1 2
1-s 1 1 1
(1-2 )ζ(s)=1- + - +… >0,0
2 3 4
及ζ(0)≠0,所以ζ(s)在0与1之间的实轴段上没有零点，亦即ρ ,ρ ,…都是复数。
1 2
这些就是Rieman名著上已经证明了的关于函数ζ(s)的性质。他还提出了如下的猜想：
1)ζ(s)在带状区域0≤σ≤1中有无穷多个零点；
2)若N(T)表示ζ(s)在矩形0≤σ≤1，0
N(T)= TlogT- T+O(logT);
2π 2π
3)若以ρ=β+iγ来一般标记ζ(s)的非无聊零点，则
-2
∑ |ρ|
收敛，而
-1
∑ |ρ|
发散；
4)整函数
-s/2
ξ(s)=π (s-1)ζ(s)Γ((s/2)+1)
可以表为
bs s/ρ
ae ∏ (1-s/ρ)e
ρ
此处∏为绝对收敛的无穷乘积，其中ρ经过ζ(s)的全体非无聊零点；
ρ
5)ζ(s)的全体非无聊零点都位于直线σ=1/2上；
6)命
A(n)
∏(x)= ∑
2≤n≤x logn
及
1
∏(x)= (∏(x+0)+∏(x+0))
2
则有公式
ρ ∞ du
∏(x)= lix- ∑ lix +∫ -log2, x>1
ρ x 2
(u -1)ulogu
ρlogx
此处li x-li e
及
z w u+vi e dzli e =∫ ,w=u+iv, v≠0 -∞+vi z
这就是Riemann的素数公式。
实数分布公式的推导
由恒等式
2
∞ (s/2)-1 -n πx Γ(s/2) 1
∫ x e dx= ,σ>0
0 s/2 s
π n
1ζ(s)= sn
出发，我们得到：当σ>0时
2
Γ(s/2)ζ(s) ∞ ∞ (s/2)-1 -n πx ∞ (s/2)-1
= ∑ ∫ x e dx= ∫ x ψ(x)dx
s/2 n=1 0 0
π
成立，此处
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
由于当x>0时，
1
2ψ(x)+1= {2ψ(1/x)+1}
√x
因此
2
-s/2 1 (s/2)-1 -n πx ∞ (s/2)-1
π Γ(s/2)ζ(s)= ∫ x e dx+∫ x ψ(x)dx
0 0
1 ∞ (-s/2)-(1/2) (s/2)-1 = + ∫ (x +x )ψ(x)dx (67)s(s-1) 1
所以,
由恒等式
2
∞ s/2 -n πx Γ(s/2+1) 1
∫ x e dx= ,σ>0
0 s/2+1 s+1
π n
出发，我们得到：当σ>0时
2
Γ(s/2+1)ζ(s) ∞ ∞ s/2 -n πx ∞ (s/2)+1
=n ∑ ∫ x e dx= ∫ x ψ(x)dx
s/2 n=1 0 0
π
成立，此处
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
由于当x>0时，
1
2ψ(x)+1= {2ψ(1/x)+1}
√x
因此
2
-s/2 1 (s/2)+1 -n πx ∞ (s/2)+1
π Γ[(s/2)+1]ζ(s)= ∫ x e dx+∫ x ψ(x)dx
0 0
1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 = + ∫ (x +x )ψ(x)dx s(s+1) 1
根据黎曼的素数公式有
4)整函数
-s/2
ξ(s)=π (s-1)ζ(s)Γ((s/2)+1)
由上面的推导可知
2
-s/2 1 (s/2)-1 -n πx ∞ (s/2)-1
π Γ(s/2)ζ(s)=∫ x e dx+ ∫ x ψ(x)dx
0
1 ∞ (-s/2)-(1/2) (s/2)-1 = + ∫ (x +x )ψ(x)dx (67)s(s-1) 1
所以
2
-s/2 1 (s/2)+1 -n πx ∞ (s/2)+1
π Γ[(s/2)+1]ζ(s)= ∫ x e dx+∫ x ψ(x)dx
0 0
1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 = + ∫ (x +x )ψ(x)dx s(s+1) 1 -s/2
ξ(s)=π (s-1)ζ(s)Γ((s/2)+1)
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 = +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx 2 1
上式中ζ(s)表示黎曼素数公式中的素数分布函数，
我们只要找到素数分布的规律，根据陈景润证明的哥德巴赫猜想，可以得到某个函数值在定义域上的分布状况。再将这个分布数值用算筹表示出来，这些算筹组成的数据就可以形成一个图像，利用这个图像可以分析函数的数值取值。这样就达到利用函数图像推断函数取值的目的。
陈景润定理如下：任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和。素数的分布和偶数的分布情况可以近似的反应整个实数的分布情况。1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”。所以用偶数和质数的分布情况就可以反映整个实数的分布情况。也就是用陈景润定理和维诺拉朵夫定理的证明可以反应整个实数的分布规律。
我们还可以根据古希腊数学家欧几里得的《几何原本》数论卷中的命题Ⅶ.6，来用几个素数构成整个实数。这样，我们通过素数的分布规律，就得到整个实数的分布规律。《几何原本》数论卷中的命题Ⅶ.6如下：如果一小数是一大数的几部分，另一小数是另一大数的相同部分，那么小数之和也是大数之和的相同部分。
再根据上面推导出的计算积分的三角函数公式,斜率公式，把上面函数的积分计算出来。三角函数积分计算公式可查阅三角函数积分页，斜率积分计算公式可查阅斜率积分计算页。
再根据《相对论》奥地利物理学家W.泡利著，凌德洪，周万生译，上海科技出版社1979年出版，里面描述的空间曲率内容计算虫洞的空间曲率。上面得到的虫洞的空间曲率公式可以用实数的分布函数描述，这样就可以预估一个虫洞的形成。再根据《引力论和宇宙论-广义相对论的原理和应用》，美国S.温伯格著，邹振隆，张历宁等译，科学出版社1980年出版。把白洞、黑洞的空间曲率描述出来。
同时，根据上面得到的实数分布规律，我们就推测计算虫洞的数学模型。可以用下面的公式描述一个重洞的能量，时间和面积的关系。2 2 2 2 dσ =c dt -ds
上式中，dσ表示形成虫洞的暗能量的导数，dt表示时间的导数，ds表示虫洞横截面积的导数。先将上面的公式通过商高定理，化简为关于ds的函数，
注：商高为我国西周数学家商高。
再将上面得到的实数的分布函数代入到ds的函数中，就得到虫洞横截面积的分布函数。将这个面积的分布函数值记录在算筹上，就可以得到一个函数图像，根据这个函数图像就可以预测虫洞的面积分布规律。根据我国东汉数学家徐岳的《数术记遗》，南北朝北周数学家甄鸾注解，中记录的太一，两仪，三才计算工具，记录上面的面积分布函数值，就可以得到一个函数图像，根据这个函数图像就可以预测虫洞的面积分布规律。
下面的内容，可参阅古希腊数学家欧几里得所著《几何原理》数论卷。
命题Ⅶ.6
如果小数是一大数的几部分，另一小数是另一大数的相同部分，那么小数之和也是大数之和的相同部分。
f
D H E cA G B
. 设：数AB是数c的几部分，另一个数DE是另一个数f的几部分，其比值与前者相等。 那么我说：AB与DE之和也是d与f之和的部分。因为：无论AB是c的怎样的几部分，DE也是f的同样的几部分。所以在AB中有c的多少个一部分，那么在DE中就有f的多少个一部分。分AB为c的几个一部分，即AG和GB；分DE为f的几个一部分，即DH和HE，那么，AG和GB的倍数量等于DH和HE的倍数量。又因为DH是f的部分，等于AG是c的部分。所以：AG与DH之和与c与f之和相等于AG与c的部分。
同理：GB与HE之和是c与f之和的相同部分，等于GB是c的部分（命题Ⅶ.5)。所以：AB与DE之和是c与f之和的相等部分，等于AB是c的部分。所以：如果一小数是一大数的几部分，另一小数是另一大数的相同部分，那么小数之和也是大数之和的相同部分。
证完。
注解：
这一命题述及分数的乘法，用代数表示即为：
如果a=(m/n)b,d=(m/n)c,那么a+d=(m/n)(b+e)，也可以表示为如下方程式：
(m/n)b+(m/n)e=(m/n)(b+e)
本命题调用了命题Ⅶ.9.
根据素数的分布定理推导出。
素数的分布函数ξ(s)可以用下面的公式进行计算。
-s/2
ξ(s)=π (s-1)ζ(s)Γ[(s/2)+1)]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 = +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx 2 1 s
根据陈景润定理的证明过程,
下面的内容可参见《纯粹数学与应用数学专著》第7号《哥德巴赫猜想》，潘承洞，潘承彪著，科学出版社1981年出版
225页。
在引言中我们已经详细叙述了利用筛法和算术数列中素数分布的均值定理来研究命题{1,b}，即一个大偶数表为一个素数和一个素数因子个数不超过b个的数之和这一重要问题的发展历史。1966年陈景润首先宣布他证明了命题{1,2} [18],并在1973年发表了全部证明[13]。
注释[18]：《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》，科学通报，17（1966），385-386。
注释[19]：On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. Sei.Sin,.16(1973),157-176,
这一结果通常称为陈景润定理。最近，他进一步发展了证明命题{1,2}的方法，改进了关于一个偶数表为二个素数之和的表法的个数D(N)(见第七章4（41））的上界估计，这是一个重要的改进，本章的目的就是要利用第七章和第八章所得到的的结果来证明陈景润的这二个重要定理。
1.命题{1，2}
首先，我们将证明命题{1,4}和{1,3}。
设N为一大偶数，集合
Α=A(N)={a:a=N-p,p≤N} (1)
以及集合
Ρ={p:p|N}, (2)
这就是第七章1例2所讨论的。
所以为了利用Selberg筛选来估计筛函数S(A;P,z),我们可取
N
X=Li N ~
log N
d
w(d)= ,μ(d)≠0，(d，N)=1φ(d)
注释：Li x表示对数积分
∞ dx
lix=∫
0 logx
且有,
d
r =π(N;d,N)- Li N=E (N;d,N),
d φ(d) 0
μ(d)≠0,(d,N)=1,
这时第七章的条件(8)及条件（33）均成立，且(33)式中的k=1, 所以这是线性的情形。这样，我们就可以利用第七章6的定理9和定理10来估计筛函数S(A;P,z)，这时所对应的余项就是我们第八章定理1的推论1所讨论的。再设b为一正整数，集合
[b] [b]
Α =A (N)={a:a∈A,v (a)≤b}, (3)
2
[b]
其中v (a)表示a的全部因子个数（按重数计），所以Α 是集合A中所有集合因子个数不
2
超过b个的元素所组成的子集。，这样，命题{1,b}就是要证明：对充分大的偶数N必有
[b]
|A |>0 (4)
定理1，命题{1,4}成立，且有
[4] N
|A |>3.24c(N)
2
log N
其中,
1 p-1
c(N)= ∏ (1- ) ∏ (5)
p>2 2 p|N p-2
(p-1) p>2
注释：p|N表示自然数p整除于自然数N,c(N)表示关于p的函数的无穷乘积
所以，设实数的分布函数是F(s)，它约等于偶数的分布函数，可以用它来表示偶数的分布函数。
根据陈景润定理
陈景润定理如下：任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和。
[2]
F(s)=ξ(s)+2ξ(s)[A ]
[2]
F(s)=ξ(s)[1+2[A ]]
或
[3]
F(s)=ξ(s)+3ξ(s)[A ]
[3]
F(s)=ξ(s)[1+3[A ]]
或
[4]
F(s)=ξ(s)+4ξ(s)[A ]
[4]
F(s)=ξ(s)[1+4[A ]]
因为
-s/2
ξ(s)=π (s-1)ζ(s)Γ[(s/2)+1)]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 = +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx 2 1 s
231页
由此及（11），（16）式即得
[3] N
|A |≥4(1+6log3-10log2)(1+o(1))c(N)
2
log N
这就证明了我们的定理。
[3]
上式中，[A ]代表是集合A中所有集合因子个数不超过3个的元素所组成的子集。
注释:o()表示高阶无穷小，O()表示同阶无穷小。
14.Ramanujan和：
C (m)=G (m),
q 0
X
q
0
X 为模q的主特征。
q
所以
[3] N
|A |≥8(1+6log3-10log2))c(N)
2
log N
[3] N
|A |≥8(1+6log3-10log2))c(N) ∑ eN
2 N=1
log N
所以
[3]
F(s)=ξ(s)[1+3[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)]dx{1+3[8(1+6log3-10log2) ∑ es ]}
2 1 2 s=1
s log s
227页
在这里最佳可能是取b=4，故由(7),(9)及第七章(52）即得
[4] 3 N
|A |≥(1+o(1))8log c(N)
2 2
log N
这就证明了我们的定理。
[4]
上式中，[A ]代表是集合A中所有集合因子个数不超过4个的元素所组成的子集。
注释:o()表示高阶无穷小，O()表示同阶无穷小.
14.Ramanujan和：
C (m)=G (m),q 0Xq
0
X 为模q的主特征。
q
所以
[4] 3N
|A |≥16log ∑ eN
2 N=1
2log N
所以
[4]
F(s)=ξ(s)[1+4[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 3s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+4[16log ∑ es ]}
2 1 2 s=1
s 2log s
下面的内容可参见《纯粹数学与应用数学专著》第7号《哥德巴赫猜想》，潘承洞，潘承彪著，科学出版社1981年出版。
227页
在这里最佳可能是取b=4，故由(7),(9)及第七章(52）即得
[4] 3 N
|A |≥(1+o(1))8log c(N)
2 2
log N
这就证明了我们的定理。
[4]
上式中，[A ]代表是集合A中所有集合因子个数不超过4个的元素所组成的子集。
注释:o()表示高阶无穷小，O()表示同阶无穷小.
231页
由此及（11），（16）式即得
[3] N
|A |≥4(1+6log3-10log2)(1+o(1))c(N)
2
log N
这就证明了我们的定理。
[3]
上式中，[A ]代表是集合A中所有集合因子个数不超过3个的元素所组成的子集。
注释:o()表示高阶无穷小，O()表示同阶无穷小。
234页
证：在引理2中取b=3,v=10,并利用（16），（17）式可得
[2] 9/10
|A |≥ ∑ (1-ρ (a)/2)-Q /2+O(N )
a∈A, 1 2
1/10
(a,P(N ))=1
N N
≥4(1+6log3-10log2)(1+o(1))c(N) -Q /2+O( ) (19)
2 3
log N log N
其中,
Q = ∑ ρ (a)= ∑ ∑1 (20)
2 a∈A,(a,N)=1 2 1/10 1/3 1/2 a∈A,a=p p p
1/10 N ≤p
1 2
[2]
上式中，[A ]代表是集合A中所有集合因子个数不超过2个的元素所组成的子集。
解法1：
根据上面的推导，详细内容见斜率积分推导页
因为
2 4 6
a a a 6
f(x)=-lncosa+C= + + +o(a )
2 12 45
推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译
推导过程可参见《无穷小分析基础》,苏联，И.И普里瓦诺夫，C.A加里别伦著
上式中
tga=y=f(x)=u(x)=y/x,
a=arctgy`,
所以
sina d(cosa)
f(x)= ∫tgada=∫ da=-∫ =-lncosa+C
cosa cosa
2 4 6 arctg y` arctg y` arctg y` 6
f(x)=-lncosa+C= + + +o(arctg y` )
2 12 40
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
[4]
F(s)=ξ(s)[1+4[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 3s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+4[16log ∑ es ]}
2 1 2 s=1
s 2log s
2 4 6s-1 arctg y` arctg y` arctg y`
= +(s-1) {1+2[ + + +o(arctg y`) ]
2 2 12 40
s
3s *{1+4[16log ∑ es ]}2 s=1 2log s
上式中y=tga，a=arctgy，
(-s/2)+(1/2) (s/2)+1
y`=(x +x )ψ(x)
2 ∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
[3]
F(s)=ξ(s)[1+3[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+3[8(1+6log3-10log2) ∑ es ]}
2 1 2 s=1
s log s
2 4 6s-1 arctg y` arctg y` arctg y`
= +(s-1) ( + + +o(arctg y`) ]
2 2 12 40
s
s
*{1+3[8(1+6log3-10log2) ∑ es ]}
2 s=1
log s
上式中
(-s/2)+(1/2) (s/2)+1
y`=(x +x )ψ(x)
2 ∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
解法2：
推导过程可参见《古今算学丛书，割圆密率捷法》，清光绪戊戌六月算学书局印成，清咸丰壬子年，蒙古族数学家明安图，湖北人戴煦识，夏鸾翔编写，1898年刘铎整理
f(x)=ln sec a+C=
2 4 6 8
a a 2 a 2 16 a 2 16 272
+ + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
f(x)=ln sec a+C=
2 4 6 8
arctg y arctg y 2 arctg y 2 16 arctg y 2 16 272
+ + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
推导过程参见《高等混合算学下册》，商务印书馆1925年出版，梧兹（Woods），巴雷（Bailey）著，长沙易俊元译
上式中
tga=y=f(x)=u(x)=y/x,
a=arctgy`,
lnsinθ=-lncscθ, lncosθ=-lnsecθ, lgtgθ=lgsecθ-lgcscθ, lgctgθ=lgcscθ-lgsecθ,
所以
sina d(cosa)
f(x)= ∫tgada=∫ da=-∫ =-lncosa+C=lnseca+C
cosa cosa
cos d(sina)
f(x)= ∫cotda=∫ da=-∫ =-lnsina+C
sina cosa
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
[4]
F(s)=ξ(s)[1+4[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 3s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+4[16log ∑ es ]}
2 1 2 s=1
s 2log s
s-1
={ +(s-1) [
2
s
2 4 6 8
arctg y arctg y 2 arctg y 2 16 arctg y 2 16 272
+ + + ]}
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
3s {1+4[16log ∑ es ]} 2 s=1 2log s
上式中y=tga，a=arctgy，
(-s/2)+(1/2) (s/2)+1
y`=(x +x )ψ(x)
2 ∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
解法3：
根据上面的推导，详细内容见斜率积分推导页
y=x*tga=
3 3
2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
x*tg{ + + + - +
2 4 27 2 4 27
或,
y=x*tga=
3 3
2 2 3t 9t 27 2 3t 9t 27
xtg{ε + + +ε - + }
2 4 27 2 4 27
或,
y=xtga=
3 3 2 2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
x*tg{ε + + +ε - - + }
2 4 27 2 4 27
上式中，
3
a 4
t=a+ +o(a )
3
这样就得到由导数的斜率tga构成的原函数y, 也就是通过上面的办法通过导数u(x)计算得到原函数f(x)。
上式中
y=tga， a=arctgy，
3
arctg y 4 t=arctgy+ +o(a )
3
2 ∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
[4]
F(s)=ξ(s)[1+4[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 3s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+4[16log ∑ es ]}
2 1 2 s=1
s 2log s
s-1
={ +(s-1)
2
s
3 3 2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
stg{ + + + - + }}
2 4 27 2 4 27
3s *{1+2[16log ∑ es ]}1 2 s=1 2log s
上式中
y=tga， a=arctgy，
3
arctg y 4 t=arctgy+ +o(a )
3
3 arctg y` 4
t=arctgy+ +o(arctgy)
3
2 ∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
[3]
F(s)=ξ(s)[1+3[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+3[8(1+6log3-10log2) ∑ es ]}
2 1 2 s=1
s log s
s-1
={ +(s-1)
2
s
3 3 2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
stg{ + + + - + }}
2 4 27 2 4 27
s {1+3[8(1+6log3-10log2) ∑ es ]}{2 s=1 log s
上式中y=tga，a=arctgy，
3 arctg y` 4
t=arctgy`+ +o(a )
3
3 arctg y` 4
t=arctgy+ +o(arctgy)
3
2 ∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
用三素数定理的推导过程
下面的资料可参见《数学学报》1977年3期，数学学报编辑委员会编辑，科学出版社1977年出版
定理：设,
N
T (x,N)= ∑ Λ(n)log e(nx) (5)
1 n≤N n
注释：Λ()表示数论中的卡迈克尔(carmichael)函数.
定义：
当n为1、2、4、奇质数次幂、奇质数的次幂的两倍时为欧拉函数。当n为2，4以外的2的次幂时为它的一半。
φ(n), n=1,2,3,4,5,6,7,9,10,11
λ(n)={
φ(n)/2, n=8,16,32,64,128,256…
k k-1
欧拉函数有φ(p )=p (p-1)
由算术基本定理，正整数n可写为质数的积
a a a
1 2 w(n)
n=p p …p
1 2 w(n)
对于所有n,λ(n)是它们最小公倍数：
a a a
1 2 w(n)
λ(n)=lcm[λ(p ),λ(p ),…,λ(p )]
1 2 w(n)
例子：
λ(8)=2,
2
7 ≡1
注释结束.
若(a,h)=1,1≤q≤N，则
-1/2 10 3/4 1/4 13/2
T (h/q.N)<
由我们的定理就可推出（4），因而就证明了三素数定理。为此需要下面熟知的引理（见[4]定理6.2）
上式中T (h/q,N)表示实数N的最小公倍数中素数的个数
1
因为三素数定理
所以实数的分布函数可以表示为
F(s)=sξ(s)T (h/q,N)
1
-1/2 10 3/4 1/4 13/2
=sξ(s)(N*3 log N+N 3 log N)
因为,
-s/2
ξ(s)=π (s-1)ζ(s)Γ((s/2)+1)
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 = +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx 2 1
所以
-1/2 10 3/4 1/4 13/2 s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1
F(s)=s(N*3 log N+N 3 log N)[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]
2 1
s
解法1：
因为
2 4 6
a a a 6
f(x)=-lncosa+C= + + +o(a )
2 12 45
上式中
tga=y=f(x)=u(x)=y/x,
a=arctgy`,
2 4 6 arctg y` arctg y` arctg y` 6
f(x)=-lncosa+C= + + +o(arctg y` )
2 12 40
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
-1/2 10 3/4 1/4 13/2 s-1
F(s)=s(N*3 log N+N 3 log N)[ +(s-1)[
2
s
2 4 6 arctg y` arctg y` arctg y` 6+ + +o(arctg y` ) ]2 12 40
上式中
(-s/2)+(1/2) (s/2)+1
y`=(x +x )ψ(x)
2 ∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
解法2：
f(x)=ln sec a+C=
2 4 6 8
a a 2 a 2 16 a 2 16 272
+ + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
f(x)=ln sec a+C=
2 4 6 8
arctg y arctg y 2 arctg y 2 16 arctg y 2 16 272
+ + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
上式中y=tga, a=arctgy
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
-1/2 10 3/4 1/4 13/2 s-1
F(s)=s(N3 log N+N 3 log N)[ +(s-1)[
2
s
2 4 6 8
arctg y` arctg y` 2 arctg y` 2 16 arctg y` 2 16 272
+ + + ]
2 2 34 2 34 56 2 34 56 7*8
上式中
(-s/2)+(1/2) (s/2)+1
y`=(x +x )ψ(x)
2 ∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
解法3：
根据上面的推导，详细内容见斜率积分推导页
y=x*tga=
3 3
2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
x*tg{ + + + - +
2 4 27 2 4 27
或,
y=x*tga=
3 3 2 2 3t 9t 27 2 3t 9t 27
xtg{ε + + +ε - + }
2 4 27 2 4 27
或,
y=xtga=
3 3 2 2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
x*tg{ε + + +ε - - + }
2 4 27 2 4 27
上式中，
3
a 4
t=a+ +o(a )
3
这样就得到由导数的斜率tga构成的原函数y, 也就是通过上面的办法通过导数u(x)计算得到原函数f(x)。
上式中
y=tga， a=arctgy，
3
arctg y 4 t=arctgy+ +o(a )
3
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
-1/2 10 3/4 1/4 13/2 s-1
F(s)=s(N*3 log N+N 3 log N)[ +(s-1)[
2
s
3 3 2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
s*tg{ + + + - + ]
2 4 27 2 4 27
上式中
3
arctg y 4 t=arctgy+ +o(a )
3
(-s/2)+(1/2) (s/2)+1
y`=(x +x )ψ(x)
2 ∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
上面得到的实数的分布函数可以用来描述虫洞模型，详细过程可参见虫洞分布函数页
第二部分 虫洞的空间曲率
下面的内容可参见《相对论》奥地利物理学家W.泡利著，凌德洪，周万生译，上海科技出版社1979年出版，
16.空间曲率
空间曲率的概念最初是由黎曼71）作为高斯曲面曲率推广到n维流形而引入的（参阅17）。
注释71：E.B.Christoffel,J. reine angew. Math.,70(1869)40.也可参阅R.Lipschitz,J.reine angew.Match.,70(1869).
黎曼的有关的推导见于1861年的一篇得奖论文中（Paris),直到1876年才出版，见于黎曼论文集的第一版，370页。
他对这个问题的分析研究，直到他的巴黎奖金论文集72）出版为止，
注释72：B.B.Christoffel,J.reine angew. Math., 70(1869)46.也可参阅R.Lipechitz,J. reine angew. Math.,70(1869)71.
黎曼的有关的推导见于1861年的一篇得奖论文中（Paris)，直到1876年才出版，见于黎曼论文集的第一版，370页。
一直没有被人知道：这个文集包含了他在这一方面用消去法和变分法的全部研究工作。
但是，在这以前，Christoffel73)和Lipschitz74)通过列出一定的二次型。
i k
g dx dx (g 为x的函数)
ik ik
变换为
i 2
∑ (dx ) (62)
i
所应满足的条件，已得到相同的结果。这表明它本身就是微分二次形式等价问题的特殊情况，
注释73）：见注释72）
注释74）：R.Lipschitz,J. reine angew. Math.,70(1869) 71,71 (1870)244及288，及72（1870）1，以及82（1877）316.
上列论文中的最后一篇在黎曼的得奖论文集发表以后才发表。这个问题Christoffel也曾研究过，就是，在什么条件下，两个二次型
i k i k
g dx dx 和g dx dx ik ik 可以相互转换，这个等价的普遍性问题，以前一直没有弄清楚是一个物理学上的重要问题。 Ricel和Levi-Civita75)用纯粹形式的方法推导了曲率张量， 注释75）：参见注释56 这方法比Christoffel的相当冗长的计算方法要简便得多，并为爱因斯坦76）所继承。 注释76）：参见注释56 后来，海森堡77）和Levi-Oivita78)从矢量平行位移的概念出发得出了曲率张量的、直观的几何解释。 注释77）：参见注释58a) 注释78）：参见注释65，同前，也可参阅Weyl在Raum-Zeit-Materie(第一版及第二版）中的讨论。 在14中，一个矢量的平行位移总是沿着一个给定的曲线的，从未涉及从一点P到另一任意点P的平行位移。
实际上，仅在欧几里得几何中，这个位移才与路径的选择无关。
i
然而，假使有一个矢量ξ 沿着封闭的曲线作平行位移，
*i i
我们所得到的一个矢量ξ 是与开始时的矢量ξ 不同的。这一事实可用来作为曲率张量的定义。
k k h
令具有两个参量的曲线族x =x (u,v)为已知，并令任意矢量ξ 从点P (u,v)开始，
00
交替地沿着v等于常数和u等于常数的曲线，经
P (u+△u,v),P ((u+△u,v+△v),P (u+△u,v),
10 11 01
*h h h
再回到P (u,v),显然两矢量之差ξ -ξ =△ξ 的数量级为△u△v,
00
因为当△u或△v有一个为零时，它也是零。这里显得重要的极限
h
△ξ
lim
△u→0 △u△v
△v→0
借助于（64）式立刻可以算出，结果为
h j k
△ξ h i Әx Әx
lim =R ξ (85) （Ә表示偏微分符号）
△u△v ijk Әu Әv
式中
h h
h ӘΓ ӘΓ
h ij ik h α h α
R = - +Γ Γ -Γ Γ (86)
ijk k j kα ij jα ik
Әx Әv
注释：Γ（）表示伽马函数，即Γ（n+1）=n！
h
公式（85）的左边具有矢量性质，由此可知右边也是一个矢量（应该注意的是△ξ 是同一
h
点的两个矢量的差）。因此，量R 是一个张量的分量。这个张量就是“混合”曲率张量，
ijk
或者用发现者的人名字来叫，称为Riemann-Christoffel张量。假如我们用微分来代替微分系数的话，公式（85）的意义就更明白一些，
j
Әx j
记 du为dx ,
Әu
k Әx k dv为δx , , Әv
并引入面张量↑
注释1↑：这个术语并未见之于文献。一个面张量的秩应与张量指标的数目不同这一点，对于今天的读者来说是特别不习惯的。例如曲率张量在这里被称为“二阶秩面张量”，
而它的指标的数目却为4.
jk j k k j
dσ =dx δx -dx δx
h
（因R 对j及k而言是反对称的），公式（85）可以写成78a)
ijk
h 1 h i jk
△ξ = R ξ dσ , ,(87)
2 ijk
注释78a):对于一个二维流形，这方法导致高斯曲率与在一短程三角形三角之和过度（缺陷）之间的关系。这个关系已被高斯所证明。
导出公式（86）的同一步骤可以用来求出对于沿着上述封闭回路的平行位移的协变分量的变化。借助于公式（70），得
1 i jk
△ξ = R ξ dσ , ,(88)
h 2 ijk
式中,
h
ӘΓ ӘΓ
i,hk i,hj
R = - +g(Γ Γ -Γ Γ )
hijk j k α,hj β,ik α,hk β,ij
Әx Әx
2 2 2 2
Ә g Ә g Ә g Ә g
1 hj ik hk ij
= ( + - -
2 i k h j i j
Әx Әx Әx Әx Әx Әx Әx Әx
αβ)+g (Γ Γ -Γ Γ ) (89)α,hj β,ik α,hk β,ij
并且，不难证明
α
△ξ =g △ξ (90)
h hα
因此，R 是与R相联的协变分量，
hijk
α
R =g R (91)
hijk hα ijk
由公式（89）可知R 满足对称条件
hijk
R =-R =-R =R
hijk hikj ihjk jihi
} (92)
R +R +R =0
hijk hjki hkij
按照11，[协变]曲率张量就可以看做二秩“面”张量2↑。
注释2↑：见注释1↑
如海森堡79）所曾证明的，关系（92）也可以从曲率张量的定义（87）式直接求得。
注释79）：见注释58a)
因为黎曼用(hijk)代替R ,这些量有时也称为四指标符号。
hijk
在欧几里得空间中华，它们都是零，因为它们在那些g 等于常数的坐标系中一定为零，
ik
那么，根据它们的张量性质，在所有的坐标系中必须是零。
i k i 2
所以R 等于零就是g d d 可变换到∑(dx` ) 的必要条件。
ik
h
由二秩“面”张量R 经过收缩可以得到二秩“线”张量R ,
ijk ik
α αβ αβ
R =R =g R =g R (93)ik iαk αiβk iαkβ
它的对称性质可以从下式看出：
αβ αβ αβ
g R =g R =g R
αiβk βkαi αkβi
借助于公式（86），它的分量可写出如下：
α α
ӘΓ ӘΓ
iα ik β α α β
R = - +Γ Γ -Γ Γ (94)
ik k α iα kβ ik αβ
Әx Әx
进一步收缩就导致曲率不变量79a)
ik
R=g R (95)
ik
应该注意的是Herglotz80)和Wyel在他最近的论文81）里用跟这里和其他作者相反的符号来规定曲率张量。
注释80）：G.Herglotz,“Zur Einstrinschen (Gravitationstheorie”,S.b.naturf.Ges.,Lpe.,math.phys/Ki.,
68(1916)199
注释81）：H.Weyl,Math.Z.,2(1918)384;Raum-Zeit-Materie(第三版，Berlin 1920),100~102页。
17.黎曼坐标及其应用
有许多地方，用黎曼所用的坐标系比较方便。
i
设有一已知的任意坐标系x ，并令所有的短程线是从一任意点P 开始画出的。
0
k
它们的方向用在P 的具有分量（dx /ds) 的切向矢量来表征。
0
在P 的某一邻域中，经过给定点P以及P 仅存在一根短程线。
0 0
若短程线的弧长PP 为s,则点P可用以下的量确切地定出：
0
k dx
y =( ) s （96）
ds 0
k
y 称为黎曼坐标。显然，坐标系y与坐标系x在P 点相切，
0
因此，在这一点，张量g (并且，由于这个原因，任意张量的分量）在两个坐标系中是
ik 。
相等的。我们用一个零上标来区别它们，例如g .
ik
坐标系x中的任一变换在坐标系y中有一仿射变换与之对应。现在我们撇开坐标系x来研究黎曼坐标系中线元所取的形式。
i
首先，在P 点，Γ 必须为零，按照公式(80), 所有从P 开始的短程线具有线性方程
0 rs 0
。 iΓ =0 （97）rs
换句话说，黎曼坐标系在P 点是短程的。在任意点P,除了那一条经过P 的短程线以外，
0 0
没有从P点开始的其他短程线有线性方程，这可表示为
i r s
Γ (y)y y =0 （98）
rs
i
式中Γ (y)是点的坐标为y时短程分量的数值。这个方程必须对多有的y都成立。
rs
反之，若关系（97）和（98）对于一给定坐标系成立，则这个坐标系是黎曼坐标系。
2
可以证明81a),作为这些关系的结果，线元ds 必须有以下形式：
2 。 i k k i i h j k k j
ds =g dy dy + ∑ p (y)(y dy -y dy )(y dy -y dy ) (99)
ik (hi)(jk) hijk
注释81a)参阅Weber在黎曼论文集中的注释（第二版），405页，及F,Schur,Match,Ann.,27(1886)537/
求和对每一对指标（hi)和(jk)的所有可能的n(n-1)/2个组合进行。反之，方程（97）和（98)可以从方程（99）得出，所以，线元的这种形式是y坐标系为黎曼坐标系的充分和必要条件。p (y)是坐标y的正则函数，在y作线性变换时，
hijk
它具有二秩“面”张量的性质↑；它们总是可以用这样的方法确定81b)，
注释1↑：这个术语并未见之于文献。一个面张量的秩应与张量指标的数目不同这一点，对于今天的读者来说是特别不习惯的。例如曲率张量在这里被称为“二阶秩面张量”，而它的指标的数目却为4.
注释81b);H.Vermeil,Math.Ann,79(1918)289
即它们满足对称条件（53）（参阅11）。在原点["极“]的曲率张量与那里的p 的数值有一
hijk
很简单的关系连在一起，
。 。R =3p (100)hijk hijk
因此，这个表示法中的R 可以直接量度这种几何学与欧几里得几何学之间的偏离。
hijk
而且，黎曼认为在一个二维流形的情况（其中线元由下式给出：
2 2 2
ds =γ du +2γ dudv+γ dv )
11 12 23
注释：γ表示洛伦兹系数, 洛伦兹系数是一个重要的物理概念，在相对论中有着重要的应用。它描述了两个不同参照系之间的时间与空间的变换关系。洛伦兹系数的定义如下：设有两个相对运动的参考系S和S，则S中的一个时间间隔t和空间距离x，与S中对应的时间间隔t和空间距离x,之间满足以下变换关系：
2
t=γ(t-vx/c )
x=γ(x-vt)
其中，v为参考系S`相对于S的相对速度，c为光速，γ为洛伦兹因子，其表达式为：
2 2 γ=1/ (1-v /c )
洛伦兹系数的引入解决了相对论中的一系列问题，例如时间的相对性、长度的相对性、同时性的相对性等。它也为狭义相对论奠定了基础。
注释完。
曲率张量的唯一独立分量R ，可按照以下公式来确定曲面的高斯曲率K:
1212
R
1212
K=-
2
γ γ -γ
11 22
这可以将公式（89）直接与高斯公式比较来证明。
例如，若u,v为曲面的黎曼坐标，则线元的形式为
2 。 2 。 。 2 2
ds =γ du +2γ dudv+γ dv +π(u,v)(udv-vdu)
11 12 22
可以将上式化简为
2 。 。 。 2
ds =[γ +π(u,v)]du +2[γ -π(u,v)]dudv+[γ +π(u,v)]dv
11 12 22
上式中，素数分布函数π()，表示小于等于n的素数的数目。
例如：π(10)=4,(2,3,5,7是素数），π(a，b)表示a,b中素数的个数的和，字符上面的(。)符号表示两个坐标系在P点相切，P点的张量，u,v坐标，洛伦兹因子等各种参数。s表示短程线的最小弧长。
那么，由于公式（100）和（101），在P 点的高斯曲率也可以写成
0
。
3π
K=- （102）
。 。 。 2
γ γ -γ
11 22 12
关于K的符号的选择是有历史原因的，因为它与包围它的三维欧几里得空间R 有关而
3
与曲面本身的度规性质无关。
从线元的形式（99）看来，似乎选择相反的符号更自然一些，这样，以球为例，曲率将是负的。借助于黎曼坐标，空间R 的曲率概念可以与曲面的曲率概念联系起来。
n
i i
事实上，黎曼最初所想到的就是这种方法令两个方向分别由矢量ξ 和η 所表征。
这两个矢量的长度是无关紧要的。因而，这两个矢量可以确定线束
i i
ξ u+η v
和面方向
ik i k k i
ξ =ξ η -ξ η
沿着线束中的每一方向，我们从P 开始给出短程线。
0
这些短程线的集形成了一个曲面，它的曲率就是我们要决定的曲率，
曲面上的线元可以将
i i i
y =ξ u+η v
。
代入公式（99）求出，它将具有公式（102）的形式，其中γ 和π取以下数值
i
。 。 i k i
γ = g ξ ξ -ξ ξ ,
11 ik i
。 。 i k k i i γ =[ g (ξ η +ξ η )]/2=ξ η12 ik i。 。 i k i γ = g η η =η η22 ik ihi hi π= ∑ p ξ ξ(hi)(jk) hijk
公式（100）和（103）直接得出曲率的表达式（略去上标0）
hi hi hi hi ∑ p ξ ξ ∑ p ξ ξ
(hi)(jk) hijk (hi)(jk) hijk
-K= =
ik hi jk
( ξ ξ )/2 ∑ (g g -g g )( ξ ξ )
ik (hi)(jk) hi jk hj ij
所以线元ds可以化简为
2 。 2 。 。 2 2
ds =γ du +2γ dudv+γ dv +π(u,v)(udv-vdu)
11 12 22
。 。 i k i i i hi hi 2
ds =( g ξ ξ -ξ ξ )du+2ξ η +η η dv+∑ p ξ ξ (udv-vdu)
11 ik i i i (hi)(jk) hijk
ik
这个结果已经不再与黎曼坐标系有任何关系。ξ 的量值显然可以约去，因而我们得出的是与每一面方向有关的不变高斯曲率。这个曲率依照黎曼的说法称为在给定的面方向（在给它以相反符号以后）的空间R 的"截面“曲率。
n
这里量R 是二秩“面”张量的分量也变得显而易见了。↑
hijk
注释1↑：这个术语并未见之于文献。一个面张量的秩应与张量指标的数目不同这一点，对于今天的读者来说是特别不习惯的。例如曲率张量在这里被称为“二阶秩面张量”，而它的指标的数目却为4.
关于黎曼所导出的公式（104），Herglotz82)证明了收缩的曲率张量和曲率不变量也可以用几何方法来解释。
注释82）：参阅注80，在Herglots之前，H.A.Lorentz早已作了曲率不变量的解释，Veral,gewone Vergad.Akad.Amat.,24(1916)1389
他的结论如下，给定了n个正交方向，可定出(n/2)个面方向，假定K(r,s)是第r个和第s个矢量所张的曲面的“截面”曲率，则曲率不变量R等于累和的两倍，
R=2 ∑ K(rs) (105)(rs)
[对所有的指标组合(rs)求和]。这个曲率和n个方向1，2，3.。。，n的选择无关，可以描述为
i
在特定的一点上的平均曲率R 。现在，若再有一个矢量ξ 决定的另一方向0，则
n
i k
R ξ ξ
2 ik
∑ K(or)sin (o,r)= （106）
(rs) i
ξ ξ
i
决定收缩的曲率张量（这个累和计算出来也与n个方向选择无关）。
这就是R 的张量性质和R的不变性的几何证明，而这两个性质以前都是用代数方法确定的。
ik
例如，若令正交方向中的一个，譬如1，与方向o重合，则
i k R ξ ξik n= ∑ K(1r) （107）i r=2ξ ξi
最后，从公式（105）和（107）可以得出R 的平均曲率的表达式。
n-1
i
R 与方向1垂直并由矢量ξ 表征，
n-1
i k i k R ξ ξ G ξ ξn 1 ik ik ∑ K(rs) = R- =- （108）r=2 2 i iξ ξ ξ ξi i
式中
G =R -g R/2 (109)
ik ik ik
在广义相对论中，这个张量是很重要的，并称为爱因斯坦张量。此外，我们提一下Vermeil83)的一个简单定理，它是以线元的表达式99）为依据的。
注释83）：H.Vermeil,"Notiz uber das mittlere Krummungsmass einer n-fach ausgedehnten Riemannschen Mannigfaltgkeir``,Nachr.Ges.Wiss,Gottingen(1917)334
在欧几里得空间R 中，半径为r的[超越]球的体积有简单值
n
n
V =C r
n n
式中C 为一数值因子，它的大小在这里是无关重要的。
n
在任意的黎曼流形中，V是r的复杂函数。
n
我们假定这个函数可以展成r的幂级数并仅保留C r 的后面的项，那么
n
2
n R r
V =C r {1+ +…} (110)
n n 6 n+2
式中R为球心的曲率不变量，微分上式，我们就得到球的表面S 的表达式
n
2
n-1 R r
S =nC r {1+ +…} (111)
n n 6 n
这个关系式可以用来作为曲率不变量的一个新的几何定义，
V
n 6(n+2)
R= lim ( -1)
r→∞ n 2
C r r
n
Sn 6n
= lim ( -1) (112)
r→∞ n-1 2
nC r r
n
黎曼坐标的引入，使一般坐标变换中的不变量问题简化为线性变换中的不变量问题84a）。
注释84a）：参阅在E. Noother,"Invarianten beliebiger Differentialausdrucke"文中的一般评论：Nachr. Ges.Wiss,Gottingen(1918)37,也可参阅H.Vermeil(参阅注81b)
因而可以证明，除了一个并不重要的常数因子以外，R为唯一的不变量。
这个不变量仅含有g 以及g 的一阶和二阶导数，并仅为后者的线性函数84b).
ik ik
注释84b):H.Vermeil(参阅注83)及H.Weyl,Raum-Zeit-Materie(第四版）附录。还有，对于g 有这种性质的所有的二秩“线”张量具有以下形式：
c R +c R +c g (113)
1 ik 2 ik 3 ik
(c ,c ,c 是常数）84a)。
1 2 3
下面的资料可参见《引力论和宇宙论-广义相对论的原理和应用》，美国S.温伯格著，邹振隆，张历宁等译，科学出版社1980年出版。
第六章 曲率
我们现在着手把等效原理应用到引力本身来建立引力场方程。上一章已经看到，应用这个原理的最方便的作法就是寻找广义协变的、又能在弱场时变成适当形式的场方程。因而必须提出这样的问题：由度规张量和它的导数能造出什么样的张量？在本章中我们把它作为纯粹的数学问题来处理，就像当年由Gauss和Riemann所作的那样；这里所汇集的知识将在下一章里用来指导我们去探索引力场方程。
1.曲率张量的定义
我们要从度规张量和它的导数造出一个张量。如果只用到g 和它的一阶导数，
μν
那么就不能造出任何新的张量，因为在任一点我们都可以找到一个坐标系，使其中的度规张量的一阶导数为零，因而在这样的坐标系里，所要的张量一定等于仅由度规张量所能构造的
μν μνλη
张量中的一个9例如，g 或g 或ε /√g等等），
μν
又因为这是张量之间的等式，故在所有坐标系中也必然成立。下一个简单的办法就是由度规张量以及它的一阶和二阶导数来造出一个张量，为此，让我们先回忆仿射联络的变换规则：
λ ρ σ λ 2 τ
λ Әx Әx Әx λ Әx Ә x Γ = Γ + (6.1.1)
μν τ μ ν ρσ τ μ ν
Әx Әx Әx Әx Әx Әx
（这就是方程（4.5.2），将其中带撇符号互换,)
λ
正是右边的非齐次项使Γ 不能成为一个张量，让我们把这一项孤立出来。
μν
2 τ τ σ ρ σӘ x` Әx` λ Әx` Әx` τ= Γ` - Γ` (6.1.2)μ ν λ μν μ ν ρσӘx Әx Әx Әx Әx κ
为了去掉左边的项，我们利用偏微商的可交换性，对x 求微商得到
3 τ τ ρ σ
Ә x λ Әx η Әx Әx τ
=Γ ( Γ - Γ )
κ μ ν μν η κλ κ λ ρσ
Әx Әx Әx Әx Әx Әx
ρ σ η ξ τ Әx` Әx` η Әx` Әx` σ
-
Γ ( Γ
- Γ)
ρσ μ η κν κ ν ηξ
Әx Әx Әx Әxσ ρ η ξτ Әx
Әxη ӘxӘxρ -
Γ ( Γ
- Γ)
ρσ ν η κμ κ μ ηξ
Әx Әx Әx Әxλ ττ ӘΓ` ρ σ η ӘΓ`Әx
μν ӘxӘxӘxρσ
-
- λ κ μ ν κ ηӘx Әx Әx Әx Әx Әx
合并同类项并调整一下指标，便得到
λ
3 τ τ ӘΓ
Ә xӘxμν η λ
= ( +Γ Γ )
κ μ ν λ κ μν κη
Әx Әx Әx Әx Әxτρ σ η ӘΓ`Әx
ӘxӘx` ρσ η λ τ λ
-
( -Γ` Γ` -Γ` Γ` μ ν κ η ρλ ησ λσ ηρӘx Әx Әx Әx`
σ ρ ρ ρτ Әx
λ Әxλ ӘxӘx -
Γ (Γ
+Γ+Γ) (6.1.3) ρσ λ μν κ κν μ ν Әx Әx Әx Әx 减去ν和κ交换后的同一方程，我们便发现所有含Γ和Γ乘积的项都消去了，剩下的是
λ λ
τ ӘΓӘΓ
Әxμν μκ η λ η λ 0= ( - +ΓΓ-ΓΓ` )
λ κ ν μν κη μκ νη
Әx Әx Әxτ τρ σ η ӘΓ` ӘΓ`Әx
ӘxӘx` ρσ ρη η λ τ λ -
( - +Γ` Γ` -Γ` Γ` μ ν κ η σ ρλ ησ λσ ηρӘx Әx Әx Әx
Әx
它可以写成交换规则：
τ μ ν κ
τ ӘxӘxӘxӘxλ
R = R
ρση λ ρ σ η μνκ
Әx Әx Әx Әx
其中
λ λ
ӘΓӘΓ
λ μν μκ η λ η λ
R = - +ΓΓ-ΓΓ
μνκ κ ν μν κη μκ νη
Әx Әx
λ
方程（6.1.4）表明R 是一张量：它叫做Riemann Christoffel曲率张量。
μνκ
λ
张量R 的存在又引起了等效原理或广义协变原理是否唯一得决定了引力对任意物理系
μνκ
统的作用的问题。
比如我们问，自旋为S 的自由下落栗子的正确的运动方程是否也可写成如下的形式
n
2 2 μ ν μ ν
d x λ dx dx λ dx dx κ
0= +Γ +fR S (6.1.6)
2 μν μνκ
dτ dτdτ dτ dτ
(f是一未知标量)以代替熟悉的形式2 2 μ ν d x λ dx dx0= +Γ (6.1.7)
2 μν
dτ dτ dτ
方程(6.1.6)和(6.1.7)两者都是广义协变的，无引力场两者都正确的化为狭义相对论性方程dU /dτ=0。我们如何判别（6.1.6）或（6.1.7）哪一个正确。回答还是一个尺度问题。假设我们的粒子的特征线尺度为d，引力场的特征空-时尺度为D。Riemann-Christoffel张量比仿射联络多了一项度规的微商，所以（6.1.6）第三项和第二项之比是正比于1/D。量纲的考虑要求这个比例大致为d/D的量级。于是，除了这一项或那一项特别大或特别小的情况以外，只要我们的粒子和引力场的特征尺度相比是非常之小。我们总认为（6.1.6）的最后一项可以略去，而（6.1.7）是正确的运动方程。当然我们的粒子不是比引力场的尺度小很多（如月球在地球的引力场作用下的运动的情况），那么，我们还是必须把等效原理或广义协变原理应用到组成粒子的无限小的组元上，虽然（6.1.6）或（6.1.7）都可能对整个粒子的运动作出很好的唯象的解释。
下面的式子可以描述虫洞的空间曲率，虫洞是一个中心空洞，周围曲率密集的结构。
下面的内容可参见《相对论》奥地利物理学家W.泡利著，凌德洪，周万生译，上海科技出版社1979年出版，
例如，若u,v为曲面的黎曼坐标，则线元的形式为
2 。 2 。 。 2 2
ds =γ du +2γ dudv+γ dv +π(u,v)(udv-vdu)
11 12 22
可以将上式化简为
2 。 。 。 2
ds =[γ +π(u,v)]du +2[γ -π(u,v)]dudv+[γ +π(u,v)]dv
11 12 22
上式中，素数分布函数π()，表示小于等于n的素数的数目。
例如：π(10)=4,(2,3,5,7是素数），π(a，b)表示a,b中素数的个数的和，字符上面的(。)符号表示两个坐标系在P点相切，P点的张量，u,v坐标，洛伦兹因子等各种参数。s表示短程线的最小弧长。
所以线元ds可以化简为
2 。 2 。 。 2 2
ds =γ du +2γ dudv+γ dv +π(u,v)(udv-vdu)
11 12 22
。 。 i k i i i hi hi 2
ds =( g ξ ξ -ξ ξ )du+2ξ η +η η dv+∑ p ξ ξ (udv-vdu)
11 ik i i i (hi)(jk) hijk
用上面的式子描述虫洞的空间曲率。此时，ds表示虫洞中心孔洞的横截面的弧长，du表示形成虫洞中心孔洞的暗能量在x轴方向的大小，dv表示形成虫洞中心孔洞的暗能量在y轴上的大小。也可以用实数的分布函数F(x)描述虫洞中心孔洞的横截面弧长ds,这样根据实数的分布规律就会预计虫洞中心孔洞的横截面积。还可以使用商高定理将上面的公式变形以下，这样会更加方便利用实数分布函数F(x)进行计算。最后再将用实数分布函数F(x)计算的数字用算筹，太一，两仪，三才等计算工具表示出来，就会形成一个函数分布图像。利用这个函数分布图像就可以预估这个虫洞横截面弧长函数的取值。
有关算筹，太一，两仪，三才等计算工具的资料可参阅我国东汉数学家徐岳的《数术记遗》，南北朝北周数学家甄鸾注解，中的描写。
还可以用下面的公式描述虫洞，
2 (r/R )
u= v +(r/R -1)e s
s
2 (r/R )
u =v +(r/R -1)e s
s
上式中，u表示形成虫洞的暗能量强度，v表示形成虫洞的时间，r表示虫洞的横截面的圆的半径，R 表示黎曼 ζ-函数, 同时，也可以用上面推导的商高数，来近似求出u,v的解，
s
注释：
黎曼 ζ-函数可以表示成下面的形式：
1 1 1 1 ζ(s)= + + +... + s s s s 1 2 3 n
黎曼 ζ-函数在s=0时的导数可以表示成下面的形式：
dζ
ζ(s)= =-(ln(1)+ln(2)+…ln(n))
ds s=0
黎曼 ζ-函数和黎曼函数的导数的图像可以表示成下面形式：
由上图可知，黎曼函数的导数和y轴的交点等于(-ln√2π),
即
dζ
=-ln(√2π)
ds s=0
ln(1*2*3*...*n) ln(1)+ln(2)+ln(3)+... e =eln(√2π) 1*2*3*...*n=e
所以, 123*…*n=√2π
可参见高等教育出版社1953年出版，苏联菲赫金哥尔茨著《微积分教程》第二卷第二分册
下面的内容可参见无穷级数页。
注释：
∞ 1∑ =Ln=1 sn
例如，s=2,
11∞ 1 1 2∑ =1+ + =2.25n=1 2 2 1n 2 1- 12
[依s的值而决定的这个级数的和数，代表一个著名的黎曼函数ξ(s)，这个函数在数论中起着重要作用。]
下面的式子可以描述黑洞或白洞的空间曲率，黑洞洞是一个中心曲率无穷大，周围曲率为零的结构。
下面的资料可参见《引力论和宇宙论-广义相对论的原理和应用》，美国S.温伯格著，邹振隆，张历宁等译，科学出版社1980年出版。
比如我们问，自旋为S 的自由下落栗子的正确的运动方程是否也可写成如下的形式
n
2 2 μ ν μ ν
d x λ dx dx λ dx dx κ
0= +Γ +fR S (6.1.6)
2 μν μνκ
dτ dτdτ dτ dτ
(f是一未知标量)以代替熟悉的形式
用上面的式子描述黑洞的空间曲率。dx表示黑洞的x轴的曲率，dτ表示黑洞的y轴的曲率。也可以用实数的分布函数F(x)描述黑洞的曲率dx,dτ,这样根据实数的分布规律就会预计黑洞的横截面积的大小.
用上面的式子描述白洞的空间曲率。dx表示白洞的x轴的曲率，dτ表示白洞的y轴的曲率。
也可以用实数的分布函数F(x)描述白洞的曲率dx,dτ,这样根据实数的分布规律就会预计白洞的横截面积的大小。
同时用商高定理推导的解的公式，实数的分布函数可以预测黑洞，白洞的形成。
第三部分 虫洞的分布函数
可以用下面的公式描述一个重洞的能量，时间和面积的关系。
2 2 2 2
dσ =c dt -ds
上式中，dσ表示形成虫洞的暗能量的导数，dt表示时间的导数，ds表示虫洞横截面积的导数。
下面的内容可见《华罗庚文集》数论卷Ⅱ，华罗庚著，科学出版社，2010年出版。
根据商高定理
定理1 不定方程
2 2 2
x +y =z (1)
之解适合
x>0,y>0,z>0,(x,y)=1,2 | x (2)
者，比可表为
2 2 2 2
x=2ab,y=a -b ,z=a +b (3)
如此之(x,y,z)与(a,b)成一一对应，即不同之(a,b)，对应于不同之(x,y,z)，且反之亦然。
引理1 不定方程
2 2 2
x +y =mz (1)
的解为
x=2ab√m
2 2 y=a √m-b √m2 2 z=a +b
证明：因为
2 2 2
x /m+y /m=mz
设w=x/√m，v=y/√m
所以
2 2 2
w +v =z
2 2 2 2 w=2ab,v=a -b ,z=a +b
根据上面的引理，得
2 2 2 2
dσ =c dt -ds
2 2 2 2 dσ +ds =c dt2 2 2 2 dσ=2ab√c,ds=a √c-b √c,dt=a +b (3)
设a=F(s ),b=F(s )，得
1 2
dσ=2√cF(s )F(s )1 22 2 ds=√cF (s )- √F (s )1 22 2 dt=F (s )+F (s ) 1 2
上式中c等于光速，即c=299792.458公里每秒。
这样就达到用两个实数分布函数F(s )和F(s )表示三个物理量dσ,ds,dt的目的。
1 2
通过函数F(s )和F(s )的函数图像就会得到三个物理量dσ,ds,dt的图像。
1 2
F(s)表示实数分布函数，如下所示。
在两个金箔之间通上几十亿伏特几十亿安培的高压直流电例，两个金箔放在充满氮气的水晶球里面。用高频开关控制电流的方向，让电流方向不断发生改变。不断改变金箔上面的电极的正负性，一会让这个金箔带正电，一会让这个金箔带负电，高电压使两个金箔之间的氮气被击穿释放激光，电子一会从这个金箔流向流向另外一个金箔，一会从另外一个金箔流向这个金箔。不同运动方向的电子在金箔中间发生碰撞，产生弱相互作用，吸引暗物质，产生激光，激光吸引暗能量，这些暗物质和暗能量就会产生虫洞。
在函数F(s)中，依次给s赋值，1，2，3.。。n等等，经过下面公式的计算得到对应的F(s)值，
2 2
调节电压，按照ds=√cF (s )- √F (s )值的数值从小到大变化，就会形成一个电
1 2
压波形，这个电压波形通过高频开关的切换不断改变方向就会有利于虫洞的形成。
同时要求F(s)满足下面的条件
2 2 ds=√cF (s )- √F (s )1 22 2 dt=F (s )+F (s ) 1 2
通过上面两个公式可以校准F(s)的数值。同时，用算筹，太一算，两仪算，三才算等古代计算工具，将上面的到的方程的解记录下来，就会形成一个方程解的曲线，按照这个曲线就会预判方程的根。可就是说，根据算筹，太一，两仪，三才记录的数据可以形成一个方程解的图形，根据这个图形可以预判方程的解。利用这个虫洞我们就会达到运动到宇宙另外一端的目的，也就达到超光速运动的目的。所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
[4]
F(s)=ξ(s)[1+4[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 3s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+4[16log ∑ es ]}
2 1 2 s=1
s 2log s
2 4 6s-1 arctg y` arctg y` arctg y`
={ +(s-1) [ + + +o(arctg y`) ]}
2 2 12 40
s
3s *{1+4[16log ∑ es ]}2 s=1 2log s
上式中y=tga，a=arctgy，
(-s/2)+(1/2) (s/2)+1
y`=(x +x )ψ(x)
2 ∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
[3]
F(s)=ξ(s)[1+3[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+3[8(1+6log3-10log2) ∑ es ]}
2 1 2 s=1
s log s
2 4 6s-1 arctg y` arctg y` arctg y`
=[ +(s-1) ( + + +o(arctg y`) ]
2 2 12 40
s
s *{1+3[8(1+6log3-10log2) ∑ es ]}2 s=1 log s
上式中
(-s/2)+(1/2) (s/2)+1
y`=(x +x )ψ(x)
2 ∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为so
[4]
F(s)=ξ(s)[1+4[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 3s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+4[16log ∑ es ]}
2 1 2 s=1
s 2log s
s-1
={ +(s-1)
2
s
3 3 2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
stg{ + + + - + }}
2 4 27 2 4 27
3s *{1+2[16log ∑ es ]}2 s=1 2log s
上式中
y=tga， a=arctgy，
3
arctg y 4 t=arctgy+ +o(a )
3
3 arctg y` 4
t=arctgy+ +o(arctgy)
3
2 ∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
[3]
F(s)=ξ(s)[1+3[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+3[8(1+6log3-10log2) ∑ es ]}
2 1 2 s=1
s log s
s-1
={ +(s-1)
2
s
3 3 2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
stg{ + + + - + }}
2 4 27 2 4 27
s *{1+3[8(1+6log3-10log2) ∑ es ]}{2 s=1 log s
上式中y=tga，a=arctgy，
3 arctg y` 4
t=arctgy`+ +o(a )
3
3 arctg y` 4
t=arctgy+ +o(arctgy)
3
2 ∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为so
-1/2 10 3/4 1/4 13/2 s-1
F(s)=s(N*3 log N+N 3 log N)[ +(s-1)[
2
s
2 4 6 arctg y` arctg y` arctg y` 6+ + +o(arctg y` ) ]2 12 40
上式中
(-s/2)+(1/2) (s/2)+1
y`=(x +x )ψ(x)
2 ∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
-1/2 10 3/4 1/4 13/2 s-1
F(s)=s(N*3 log N+N 3 log N)[ +(s-1)[
2
s
3 3 2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
s*tg{ + + + - + ]
2 4 27 2 4 27
上式中
3
arctg y 4 t=arctgy+ +o(a )
3
(-s/2)+(1/2) (s/2)+1
y`=(x +x )ψ(x)
2 ∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
下面的式子可以描述虫洞的空间曲率，虫洞是一个中心空洞，周围曲率密集的结构。
下面的内容可参见《相对论》奥地利物理学家W.泡利著，凌德洪，周万生译，上海科技出版社1979年出版，
例如，若u,v为曲面的黎曼坐标，则线元的形式为
2 。 2 。 。 2 2
ds =γ du +2γ dudv+γ dv +π(u,v)(udv-vdu)
11 12 22
可以将上式化简为
2 。 。 。 2
ds =[γ +π(u,v)]du +2[γ -π(u,v)]dudv+[γ +π(u,v)]dv
11 12 22
上式中，素数分布函数π()，表示小于等于n的素数的数目。
例如：π(10)=4,(2,3,5,7是素数），π(a，b)表示a,b中素数的个数的和，字符上面的(。)符号表示两个坐标系在P点相切，P点的张量，u,v坐标，洛伦兹因子等各种参数。s表示短程线的最小弧长。
所以线元ds可以化简为
2 。 2 。 。 2 2
ds =γ du +2γ dudv+γ dv +π(u,v)(udv-vdu)
11 12 22
。 。 i k i i i hi hi 2
ds =( g ξ ξ -ξ ξ )du+2ξ η +η η dv+∑ p ξ ξ (udv-vdu)
11 ik i i i (hi)(jk) hijk
用上面的式子描述虫洞的空间曲率。此时，ds表示虫洞中心孔洞的横截面的弧长，du表示形成虫洞中心孔洞的暗能量在x轴方向的大小，dv表示形成虫洞中心孔洞的暗能量在y轴上的大小。也可以用实数的分布函数F(x)描述虫洞中心孔洞的横截面弧长ds,这样根据实数的分布规律就会预计虫洞中心孔洞的横截面积。还可以使用商高定理将上面的公式变形以下，这样会更加方便利用实数分布函数F(x)进行计算。最后再将用实数分布函数F(x)计算的数字用算筹，太一，两仪，三才等计算工具表示出来，就会形成一个函数分布图像。利用这个函数分布图像就可以预估这个虫洞横截面弧长函数的取值。有关算筹，太一，两仪，三才等计算工具的资料可参阅我国东汉数学家徐岳的《数术记遗》，南北朝北周数学家甄鸾注解，中的描写。
所以线元ds可以化简为
2 。 2 。 。 2 2
ds =γ du +2γ dudv+γ dv +π(u,v)(udv-vdu)
11 12 22
2 。 。 2 2
π(u,v)ds =(γ du+γ dv) +(udv-vdu)a b2 2 2 π(u,v)ds =(udu+vdv) +(udv-vdu)
上式中
hi jk
π(u,v)= ∑ p ξ ξ
(hi)(jk) hijk
因为,
引理1 不定方程
2 2 2
x +y =mz (1)
的解为
x=2ab√m
2 2 y=a √m-b √m2 2 z=a +b
所以,
udu+vdv=2ab π(u,v)2 2 udu-vdv=(a -b ) π(u,v)2 2 ds=a +b
所以,
2 2
udu=[2ab+(a -b )/2] π(u,v)
2 2 vdv=[2ab-(a -b )/2] π(u,v)2 2 ds=a +b
设a=F(s ),b=F(s )，得
1 2
2 2
udu=[2F(s )F(s )+(F(s ) -F(s ) )/2] π(u,v)
1 2 1 2
2 2 vdv=[2F(s )F(s )-(F(s ) -F(s ) )/2] π(u,v)1 2 1 2 2 2 ds=F (s )+F (s )1 2
这样就达到用两个实数分布函数F(s )和F(s )表示三个物理量udu,vdv,ds的目的.
1 2
通过函数F(s )和F(s )的函数图像就会得到三个物理量udu,vdv,ds的图像。
1 1
F(s)表示实数分布函数，如上所示
下面的内容可见《华罗庚文集》数论卷Ⅱ，华罗庚著，科学出版社，2010年出版。
习题1.解不定方程
2 2 4 x +y =z
并证明其解能适合x>0,y>0,z>0,(x,y)=1,2|x，者，由此式与之：
2 2 4 4 2 2 2 2
x=4ab(a -b ),y=|a +b -6a b |,z=a +b
a>0,b>0,(a,b)=1,a+b≡1 (mod 2)
所以
2 2 2 2
dσ =c dt -ds
2 2 2 2
dσ +ds =c dt
2 2 4 4 2 2 2 2
dσ=4ab(a -b ),ds=|a +b -6a b |,dt=a +b
设a=F(s ),b=F(s )，得
1 2
dσ=2√cF(s )F(s )1 22 2 ds=√cF (s )- √F (s )1 22 2 dt=F (s )+F (s ) 1 2
上式中c等于光速，即c=299792.458公里每秒。
习题2.证明
4 2 2
x +y =z ,2|x.y>0,z>0,(x,y)=1
4 4 4 4
之解答为x=2ab,y=|4a -b |,z=4a +b
(a,b)=1,a>0,b>0,2|/b，
所以，
2 2 2 2
dσ =c dt -ds
2 2 2 2
dσ +ds =c dt4 4 4 4
dσ=2ab,ds=|4a -b |,dt=4a +b
设a=F(s ),b=F(s )，得
1 2
dσ=2√cF(s )F(s )1 22 2 ds=√cF (s )- √F (s )1 22 2 dt=F (s )+F (s ) 1 2
上式中c等于光速，即c=299792.458公里每秒。
下面的内容可参见《数学通报》1963年3期，中国数学学会编辑，科学出版社1963年出版。
2 2 2 2
商高定理与方程x +y +z =w
作者：嘤其
由商高定理推导出的解的公式。
一、
2 2 2
[(n+1)x +nx ] +(2n+1)y =[nx +(n+1)z ]
0 0 0 0 0
二、
2 2 2
[(1-n)x +2y +(2-n)z ] +(2n+1)(2x +y +2z ) =[(2+n)x +2y +(3+n)z ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0
三、
2 2 2
[nx +(n-1)z -y ] +2n(x +y +z ) =[nx +y +(n+1)z ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0
四、
2 2 2
[4-n)x +3y +(5-n)z ] +2n(3x +y +3z ) =[(4+n)x +3y +(5+n)z ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0
以上各式中之n为任意整数，一、二结合得三；三、四结合得一。
另由（11）之解[x ,y ,z ],可得
0 0 0
z ±(x +dy ) (d+1)z ±(x +dy ) 2 0 0 0 2 0 0 0 2
(x -y ) +(d+1)[ ] =[ ]
0 0 d d
根据上面的引理，得
2 2 2 2
dσ =c dt -ds
2 2 2 2 dσ +ds =c dt
设dσ=x,ds=y,√cdt=z
上式中c等于光速，即c=299792.458公里每秒。
得到方程
2 2 2
x +y =z
根据上面的公式（一）这个方程可以化简为
2 2 2
[(n+1)x +nx ] +(2n+1)y =[nx +(n+1)z ]
0 0 0 0 0
上式中,x ,y z 为方程的一组解，例如x=3,y=4,z=5，n为任意整数。
0 0 0
可以用模拟电路表示上式，调节x,y,z的取值，可以得到一系列方程的解。也可以按照公式二，三四，五计算x的值。计算电路可参照商高公式模拟计算电路。
设[x ,y ,z ]为方程
2 2 2
2 2 2 x +y =z
的一组解，则可由下式得其余解，即
2 2
2mp(x +mp) 2mp(x +mp)
2 1 2 1 2
(x +2mp) +[y + ] =[x + ] (12)
1 1 z -y z -y
1 1 1 1
式中m为任意整数，p为使式中之分数部分消去分母之最小整数。
在两个金箔之间通上几十亿伏特几十亿安培的高压直流电例，两个金箔放在充满氮气的水晶球里面。用高频开关控制电流的方向，让电流方向不断发生改变. 不断改变金箔上面的电极的正负性，一会让这个金箔带正电，一会让这个金箔带负电. 高电压使两个金箔之间的氮气被击穿释放激光，电子一会从这个金箔流向流向另外一个金箔，一会从另外一个金箔流向这个金箔。不同运动方向的电子在金箔中间发生碰撞，产生弱相互作用，吸引暗物质，产生激光，激光吸引暗能量，这些暗物质和暗能量就会产生虫洞。按照x的取值选取电压值，不断改变电流的方向，使电压等于x的数值，就会形成暗能量，这个暗能量就会形成虫洞。同时，用算筹，太一算，两仪算，三才算等古代计算工具，将上面的到的方程的解记录下来，就会形成一个方程解的曲线，按照这个曲线就会预判方程的根。可就是说，根据算筹，太一，两仪，三才记录的数据可以形成一个方程解的图形，根据这个图形可以预判方程的解。
同时，用算筹，太一算，两仪算，三才算等古代计算工具，将上面的到的方程的解记录下来，就会形成一个方程解的曲线，按照这个曲线就会预判方程的根。可就是说，根据算筹，太一，两仪，三才记录的数据可以形成一个方程解的图形，根据这个图形可以预判方程的解。根据我国东汉数学家徐岳的《数术记遗》，南北朝北周数学家甄鸾注解，中记录的太一，两仪，三才计算工具，记录上面方程的解。
《数术记遗》是我国最早记载珠算的古籍，为东汉数学家徐岳撰写，由南北朝时期北周数学家甄鸾注解。书中记录了14种计算方法，分别为积算，太一，两仪，三才，五行，八卦，九宫，运筹，了知，成数，把头，龟算，珠算，计数，除了最末了的计数属于心算，其余13种均有相应的计算工具。
积算又称筹算（确切的说是指筹算中最经典、最流行的一种），是我国古代在算盘出现以前最为常用的计算方法。所用工具叫算筹，算筹是一根根小小的棍子，说的是“以竹为之，长四寸”。其实从兽骨到金属，制作算筹的材质多种多样，不同时期算筹的长度也不尽相同。算筹用棍子的纵横组合摆放来表示数字，分有纵横两式，纵式摆法中以树棍表示1，横棍表示5，横式摆法中以横棍表示1、竖棍表示5.
算筹纵式：
算筹横式：
不同数位上纵横交替使用，“一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”（语出《孙子算经》）。
太一算，太一之行，去来九道。刻板横为九道，竖以为柱，柱上一珠，数以下始。故曰“去来九道”也。
太一算的工具是一种古老的算盘。算盘上刻8道横线，从下至上分别表示1-9，纵线代表数位，算珠置于9线以下或1线以下表示0.
两仪算，天气下通，地禀四时。刻板横为五道，竖以为位。一位两珠，上珠色青，下珠色黄。其青珠自上而下，至上第一刻主五，第二刻主六，第三刻主七，第四刻主八，第五刻主九。其黄珠自下而上，至下第一刻主一，第二刻主二，第三刻主三，第四刻主四，而已。故曰“天气下通，地禀四时”也。
两仪算的工具也是古老算盘的一种。算盘和太一一样画成棋盘状，使用青黄两种颜色的算珠。
三才算，天地和同，随物变通。刻板横为三道，上刻为天，中刻为地，下刻为人，竖为算位。有三珠，青珠属天，黄珠属地，白珠属人。又其三珠能行三道，若天珠在天为九，在地主六，在人主三；其地珠在天为八，在地主五，在人主二，人珠在天主七，在地主四，在人主一。故曰“天地和同，随物变通”，亦况三元，上元甲子一、七、四，中元甲子二、八、五，下元甲子三、九、六，“随物变通”也。
三才算的工具也是古老算盘的一种。算盘同样是棋盘状，从上至下的三道横线分别名为天线、地线、人线。算珠有三种颜色，青珠称为天珠，黄珠称为地珠，白珠称为人珠。青珠置于天线为9，置于地线为6，置于人线为3，黄珠置于天线为8，置于地线为5，置于人线为2，白珠置于天线为7，置于地线为4，置于人线为1.三珠置于上下开外为0.
第四部分 商高定理
下面的内容可见《华罗庚文集》数论卷Ⅱ，华罗庚著，科学出版社，2010年出版。
注释：商高为我国西周初数学家，他在公元前1000年发现勾股定理，这里的商高定理就是勾股定理。
6.商高定理之推广
2 2 2
求x +y =z 之诸整数解。
若(x,y)=d>1，则d亦为z之因数，故讨论此方程式之解时，可设(x,y)=1,其他之解悉可由此类之解乘以一数而得之，又显然只需求解之适合x>0,y>0及z>0者。x及y中必有一为偶数，不然，则
2 2
x ≡y ≡1 (mod 4)
即
2 2
x +y ≡2 (mod 4)
2
亦即z 为2之倍数，而非4之倍数，此不可能，故可设欲求之解中，x为偶数。
定理1 不定方程
2 2 2
x +y =z (1)
之解适合
x>0,y>0,z>0,(x,y)=1,2 | x (2)
者，比可表为
2 2 2 2
x=2ab,y=a -b ,z=a +b (3)
如此之(x,y,z)与(a,b)成一一对应，即不同之(a,b)，对应于不同之(x,y,z)，且反之亦然。
证1）由（1），（2）以求（3），（1）。因y及z皆为奇数，故(z-y)/2,(z+y)/2皆为整数，又
((z-y)/2,(z+y)/2)=(z,y)=1
由（1）立得
x 2 z+y z-y
( ) =
2 2 2
故,
z+y 2 z-y 2
=a , =b
2 2
此处a>b,b>0且a>b,(a,b)=1, 又
2 2
a+b≡a +b ≡z≡1 (mod 2)
故a,b中一奇一偶，而得（3）及（40
2）由（3），（4）所定之x,y适合(1),(2)
2 2 2 2 2 2 2 2
x +y =(2ab) +(a -b )=(a +b ) =z,x>0,y>0,z>0,2 | x
若(x,y)=d,则
2 2 2 2
d | y =a -b ,d |z =a +b
2 2
故d | 2(a ,b )。因(a,b)=1,故d=1或2. 但a及b中一奇一偶，故y为奇数，及d≠2，所以d=1,
3)若a ,b 及a,b表同一解，则
1 1
z+y 2 2 z-y 2 2
=a =a , =b =b
2 1 2 1
故a =a,b =b(因a ,b 皆为正数），而得唯一性。
1 1 1 1
2
如以z 除（1）式，并命
x y
ξ= ,η=
z z
则本节所讨论之问题，一变而为：求圆周上之有理点（所谓有理点者乃指其坐标皆为有理数）。换言之，本节证得，单位圆上有有理点
2 2
2ab a -b
ξ= ,η=
2 2 2 2
a +b a +b
其数无穷。今推广此问题，即问任一二次曲线上有无穷个有理点否？
此说并不真实。例如：双曲线
2 2
ξ -3η =2
上并无有理点。盖若命
x y
ξ= ,η= ,(x,y,z)=1
z z
，则一变而为求
2 2 2
x -3y =2z
之整数解的问题。取3为模，则
2 2
x ≡2z (mod 3)
由此可得3 | x,3 | z,更由前式3 | y，此与(x,y,z)=1相违背。但吾人有次之定理：
定理2：在非直线的有有理数系数的二次曲线上如有一有理点，则有无穷个有理点。
证：可以假定所经过之有理点即为原点
（不然，用平行移动ξ=ξ+ξ ,η=η+η ，即得所需）。此二次曲线可以写成
0 0
S (ξ,η)+S (ξ,η)=02 1
此处S (ξ,η)为ξ及η之i次齐次式。若S (ξ,η)恒等于0，
1 1
则原二次曲线为两条直线，若S (ξ,η)恒等于0，则原曲线为一直线，
2
故S (ξ,η)S (ξ,η)均不能恒等于0
1 2
令命η=ζξ，则
ξS (1，ξ)+S (1,ξ)=0
2 1
而得
ξ=-S (1，ζ)/S (1,ζ),η=-ζS (1，ζ)/S (1,ζ).
2 1 2 1
故有无穷个有理点
定理3：设A,B,C为不全为零之有理数。
2
若B -4AC为一平方数，则二次曲线
2 2
Aξ +Bξη+Cη +Dξ+Eη+F=0 (5)
上有无穷有理点。换言之，若一双曲线之渐近线之方程有有理系数，则此双曲线上有无穷个有理点：又一抛物线上也有无穷个有理点。
2 2
证：命B -4AC=L ,则
2
2 2 B 2 C B 2
Aξ +Bξη+Cη =A((ξ+ η) +( - η) )
2A A 2
4A
B L B L=A((ξ+ η- η)(ξ+ η- η)2A 2A 2A 2A
若L≠0,命
B+L -B+L
ξ=ξ+ η, η=ξ- η,
2A 2A
解出ξ及η代入(5)式可得Aξη+Dξ+Eη+F=0 解出ξ得ξ=-(Eη+F)(Aη+D)
故显然（5）有无穷个有理解, 若L=0,命
B
ξ=ξ+ η, η=-η
2A
则得,
2
Aξ +Dξ+Eη+F=0
若E`=0，则原曲线并非二次曲线。
附注：由定理2及3，推出下列的问题。命
f(x ,x ,x ,…,x )=0 (6)
1 2 3 N
为一x ,…,x 之整系数二次齐次式（不能分解为一次式之积）。
1 n
今问有无穷个整点适合此式之条件？由定理2可知当n≥3, 则如其上有一非原点之整点，其上即有无穷个整点。但何时其上可有一整点？例如：
2 2 2 2
x +x +x +…+x =0
1 2 3 n
其上绝无原点以外之整点。故建议吾人必须假定f(ξ ,…,ξ )=0有实数轨迹。
1 n
吾人可证明如合此条件，且n≥5.则（6）上有一整点（此乃Mayer之定理本书不论证之）。
但当n=4，此定理不能成立，盖若
2 2 2 2
x +x +x -7x =0
1 2 3 4
则可假定(x ,x ,x ,x )=1，又得
1 2 3 4
2 2 2 2 x +x +x +x ≡0 (mod 8) 1 2 3 42
而x ≡0,1,4(mod 8)，由此式可知2|(x ,x ,x ,x )。此与假定相违背。
1 2 3 4
习题1.解不定方程
2 2 4
x +y =z
并证明其解能适合x>0,y>0,z>0,(x,y)=1,2|x, 者，由此式与之：
2 2 2 2 2 2 2 2
x=4ab(a -b ),y=|a +b -6a b |,z=a +b
a>0,b>0,(a,b)=1,a+b≡1 (mod 2)
习题2.证明
4 2 2
x +y =z ,2|x.y>0,z>0,(x,y)=1
之解答为
4 4 4 4
x=2ab,y=|4a -b |,z=4a +b
(a,b)=1,a>0,b>0,2|/b,
2 2 2
习题3.证明不定方程x +(x+1) =y 之解为
1 2n+1 2n+1 x= ((1+√2) +(1-√2) -2)4 1 2n+1 2n+1 y= ((1+√2) +(1-√2) -2)2√2
且无其他解。
2 2 2
习题4.关于商高定理3 +4 =5 有次之推广：
2 2 2 2 2
10 +11 +12 =13 +14
一般言之，证明
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(2n +n) +(2n +n+1) +…+(2n +2n) =(2n +2n+1) +…+(2n +3n)
习题5.求证下列诸曲线上有无穷个有理点：
2 2
(a)η (d-ξ)=ξ
2 2 2 2 (b)η(ξ +η )=d(η -ξ )2 2 (c)ξ +η -3dξη=02 2 2 2 (d)(ξ -d ) -aη (2η+3d)=0
习题6.定出所有的三角形，其边及面积皆为有理数者。
2 2 2 2
习题7.研究不定方程x +y +z =w 之解
习题8.设整数a,b,c不同号，abc≠0，且abc无平方因子，则不定方程. 有不全为零的整数解的充要条件是：——bc是a的二次剩余，——ac是b的二次剩余，——ab是c的二次剩余
下面的内容可参见《数学通报》1963年3期，中国数学学会编辑，科学出版社1963年出版
2 2 2 2
商高定理与方程x +y +z =w
作者：嘤其
华罗庚《数论导引》中“商高定理”一节，见有方程
2 2 2 2
x +y +z =w (1)
习题一则，遂默思其解，得到了解法数种。现在写出来向同志们请教。
（一）
2 2 2
我们称方程x +y =z (2)
的解[x,y,z]为“商高数”。如有两组商高数，其一组之第三项（或其倍数）适与另一组之第一或第二项（或其倍数）相等，以第一组之前两项，代另一组之前两项中之一项，那么，就得到方程（1）的一组解。设两组商高数：
2 2 2
3 +4 =5 (Ⅰ)
2 2 2 5 +12 =13 (Ⅱ)
(Ⅰ)代入（Ⅱ）
2 2 2 2
3 +4 +12 =13
又，商高数
2 2 2
8 +15 =17 (Ⅲ)
(Ⅰ)*3
2 2 2
9 +12 =15 (Ⅳ)
(Ⅳ)代入（Ⅲ）
2 2 2 2
8 +9 +12 =17
如此等等。因商高数存在于无穷，则适合此项条件之商高组亦必无穷。从而可得(1)之无穷多组解。但是，这种方法还不理想，不仅遇阔，而且其w之解只限于商高数，不是其解之全部。如果把这一方法公式化，即由“商高数公式”：
2 2 2 2 2 2 2
(a -b ) +(2ab) =(a +b )
令
2 2 2 2
x =a -b ,y =2ab,z =a +b ,
1 1 1
2 2 2 2 x =d -c ,y =2cd,z =c +d ,2 2 2
更令
x =x ,
1 2
得到
2 2 2 2
a +b +c =d
而要求a,b,c,d,就又回到原来的（1）了。因此，这一方法的弱点就十分显然了。
（二）
由两组商高数，即由方程（2）的任意两组解而求（1）的解，
还有另外的方法（注意，这里所说的商高数为互素数），
设有商高数[x ,y ,z ]和[x ,y ,z ]
1 1 1 2 2 2
2 2 2 x +y =z (Ⅰ) 1 1 12 2 2 x +y =z (Ⅱ) 2 2 2
(Ⅰ)、(Ⅱ)结合，可有
x +x y +y z +z
2 1 2 2 1 2 1 2 2
p +( ) +( ) =( ) (3)
2 2 2
这就是说，两组商高数之第三项和的1/2的平方，减去它们的前两项相对各项之和的1/2的平方和，其差仍是一个平方数。这样，由（3），就得到了（1）的解。
证：由商高公式，知
2 2 2 2
x =a -b ,y =2ab,z =a +b ,
1 1 1
2 2 2 2
x =d -c ,y =2cd,z =c +d ,
2 2 2
代入（3）
2 2 2 2 2 2 2 2
2 a -b +c -d 2 2ab+2cd 2 a +b +c +d 2
p +( ) +( ) =( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 a +b +c +d 2 a -b +c -d 2
p +(ab+cd) =( ) -( )
2 2
2 2 2 2 2 2
p +(ab+cd) =(a +c )(b +d )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
p +a b +2abcd+c d =a b +a d +b c +c d
2 2 2 2 2
p =a d -2abcd+b c
2
p =(ad-bc)
p=ad-bc
得所欲证。因商高数多至无穷，两两结合，得（1）之解亦无穷。
（三）
应用上节的方法，可直接得到（1）之一种特殊形式，即
2 2 2
x +2y =z (4)
的解。这只要由商高数的另一表示公式即可依法得到。
设商高数[x ,y ,z ]为（2）的一组解，则有下列恒等式：
1 1 1
2 2 2
[2(x +y +z )-x ] +[2(x +y +z )-y ] =[2(x +y +z )+z ] (5)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
以（5）配以原来的[x ,y ,z ]，以前法，可得
1 1 1
2 2 2
(x -y ) +2(x +y +z ) =(x +y +2z )
1 1 1 1 1 1 1 1
又因商高数各项都可以改为负值，所以，由等式（6）参以正负变换，可得（4）的所有解，也是（1）的无穷多组解，而且，由（6），我们预先不知商高数公式，只要由（2）的显然解：
2 2 2
1 +0 =1
依（5）变化，得到一组商高数；从而再由（5）得所有之商高数。同时，由这一显然解，因为它的前两项之差为1，循（5）变化，不用负值，则其所得之商高数之前两项之差必恒为1；于是又可由（5）、（6）得到（1）的一种更加特殊的形式，即
2 2 2 2 2
1+2y =z ,或 x -2y =1 (7)
的解。还有，如果我们已知方程
2 2 2
x +2y =z (4)
的一组解[x ,y ,z ],那么，还可由下列公式
1 1 1
2 2 2
(2y +x ) +2(x +y +z ) =(x +2y +2z ) (8)
1 1 1 1 1 1 1 1
求得（4）的其余解。上述方法还可继续推演，即由（4）和（8），进行类似（3）的运算，可得到
x +2y +z x +2y +3z
2 1 1 1 2 1 1 1 2
(x -y ) +3( ) =( ) (9)
2 2
即方程
2 2
x +3y =z (9`)
的解法公式。如果其首项x -y =±1,就又得到方程
1 1
2 2 2
x -3y =1 (9) 的解法。这同样可由（4）的显然解 2 2 2 1 +2*0 =1 (10) 依（8）变化，得（7）之各解，然后得到（9)的解。现仅将所得之几个有关公式录后，供参考。由方程
2 2 2
x +y =z (2)
的解[x ,y ,z ]可得方程
0 0 0
2 2 2
x +dy =z (11)
的解法公式。这些公式主要有
一、
2 2 2
[(n+1)x +nx ] +(2n+1)y =[nx +(n+1)z ]
0 0 0 0 0
二、
2 2 2
[(1-n)x +2y +(2-n)z ] +(2n+1)(2x +y +2z ) =[(2+n)x +2y +(3+n)z ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0
三、
2 2 2
[nx +(n-1)z -y ] +2n(x +y +z ) =[nx +y +(n+1)z ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0
四、
2 2 2
[4-n)x +3y +(5-n)z ] +2n(3x +y +3z ) =[(4+n)x +3y +(5+n)z ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0
以上各式中之n为任意整数，一、二结合得三；三、四结合得一。
另由（11）之解[x ,y ,z ],可得
0 0 0
z ±(x +dy ) (d+1)z ±(x +dy ) 0 0 0 2 0 0 0 2
(x -y ) +(d+1)[ ] =[ ]
0 0 d d
（四）
大家知道，“商高公式”
2 2 2 2 2
(a -b )+(2ab) =(a +b )
可以求得所有之商高数。现举另一公式，再收同样之效果。设[x ,y ,z ]为方程
2 2 2
2 2 2
x +y =z (2)
的一组解，则可由下式得其余解，即
2 2
2mp(x +mp) 2mp(x +mp)
2 1 2 1 2
(x +2mp) +[y + ] =[x + ] (12)
1 1 z -y z -y
1 1 1 1
式中m为任意整数，p为使式中之分数部分消去分母之最小整数。
证：已知
2 2 2
x +y =z
1 1 1
则,
2
2mp(x +mp)
2 1 2 2 2 2 2
(x +2mp) +[y + ] =x +4mpx+4m p +y +
1 1 z -y 1 1
1 1
2 4mp(x +mp)y 2mp(x +mp) 1 1 1 2 + +[ ]z -y z -y1 1 1 1 4mp(x +mp)y 2mp(x +mp)
2 2 1 1 1 2
=x +y +4mp(x +mp)+ +[ ]
1 1 1 z -y z -y
1 1 1 1
y 2mp(x +mp)
2 2 1 1 2
=x +y +4mp(x +mp)+ +[ ]
1 1 1 z -y z -y
1 1 1 1
2mp(x +mp) 2 1 2 =[x + ]1 z -y 1 1
这样，就可从方程（2）的显然解：
x =1,y =0,z =1
1 1 1
x =0,y =-1,z =1
1 1 1
代入（12）得到商高数，再以所得之商高数再代入（12）之相对项，从而得到所有商高数。设
x =1,y =0,z =1
1 1 1
代入（12），得
2 2 2
(1+2m) +[2m(1+m)] =[1+20(1+m)]
m=1,2,3,…
故得,
2 2 2
3 +4 =5
2 2 2
5 +12 =13
2 2 2
7 +24 =25
…
2 2 2 2 2 2
证：已知公式(a -b ) +(2ab) =(a +b ) 可以得到所有之商高数。今令
2 2 2 2
x =a -b ,y =2ab,z =a +b
1 1 1
代入（12）
2 2 2 2
2 2 2 2mp(a -b +mp) 2 2 2 2mp(a -b +mp) 2
(a -b +2mp) +[2ab+ ] =[a +b + ]
1 1 2 2 2 2
a +b -2ab a +b -2ab
由观察，知P=a-b
则有,
2 2 2 2 2 2 2
[a -b +2m(a-b)] +[2ab+2m(a+b+m)] =[a +b +2m(a+b+m)]
2 2 2 2 2 2 2 2
(a -b +2ma-2mb) +(2ab+2ma+2mb+2m ) =(a +b +2ma+2mb+2m )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(a +2ma+m -b -2mb-m ) +[2a(b+m)+2m(b+m)] =(a +2ma+m +b +2mb+m )
2 2 2 2 2 2 2
[(a+m) -(b+m) ] +[2(a+m)(b+m)] =[(a+m) +(b+m) ]
很显然，这只是原商高数公式中之a和b同时加以同数（依m变化）时的情况；也就是说，与原公式并无二数。再如，令
2 2 2 2
x =2ab,y =a -b ,z =a +b
1 1 1
代入（12），仿上变化，便得到
2 2 2 2 2 2 2
[2(a+m)b] +[(a+m) -b ] =[(a+m) +b ]
这是原公式单独变化a的值（依m变化）时的情形，如令
2 2 2 2
x =2ab,y =-(a -b ),z =a +b
1 1 1
那么，所得的公式，就是原公式单独变化b值时的情形。这样就证明了公式（12）同原商高数公式具有同等效用。举出公式（12），目的是为了应用它来解（1）。显然，如果我们已经预知了（1）的一组解，令其首项不变，其余三项仿（12）改变，就可得到（1）的其他解。这（1）的一组解是不难预知的。试想，它的一组显然解：
2 2 2 2
1 +0 +0 =1
及商高数前二项之间加以一项0，如
2 2 2 2
x +0 +(-y ) =z
1 1 1
2 2 2 2 y +0 +(-x) =z1 1 12 2 2 2 y +0 +x =z1 1 12 2 2 2 y +x +0 =z1 1 1
等等，都可作为（1）之初步解，从而得到（1）之所有解。
也就是说：已知[x ,y ,z ,w ]为（1）之一组解，仿（12）改变：
1 1 1 1
2
2mp(x +mp) 2mp(x +mp)
2 2 1 1 2
x +(y +2mp) +[z + ] =[w + ]
1 1 w -z 1 w -z
1 1 1 1
由p去分母，改变m的值，得到无穷（1）之解。又将[x ,y ,z ]更换位置，
1 1 1
并参以负值，代入（13），又得无穷多解。总括；屡次所得结果，便得到（1）之所有解。此外，在运算中，无意中还得到了一项恒等式，即
2 2 2 2 2 2 2 2
(ab) +(a +ab) +(ab+b ) =(a +ab+b ) (14)
以此（14）同（13）结合，便成了（1）之优良公式。
再有，由本节提供的方法，我们还可得到方程
2 2 2 2 2
x +x +…+x +x =x (15)
1 2 n-1 n n+1
的解法。而且，前述方程（11），即
2 2 2
x +dy =z
也可由本节方法稍事扩张，得其一法。设[x ,y ,z ]为（11）的一组解，则可由公式
1 1 1
2dp(y +mp) 2dmp(y +mp) 2 1 2 1 2
d(y +2mp) +[x + ] =[z + ]
1 1 z -x 1 z -x
1 1 1 1
得到无穷多解。
第五部分 商高公式模拟计算电路
上面电路表示
2 2 2 2
dσ +ds =c dt
设dσ=x,ds=y,√cdt=z，
2 2 2
x +y =z
电源x,y,z分别输出x,y,z电压值，这个电压值就是方程x,y,z的数值。用模拟乘法器加法器按照上面的等式组成电路。调节电压值x,yz,电阻R1,R2,使两个电压表V1和V2的读数相等。这时电压x,y,z的数值就是方程的解。
可以按照下面的等式组成电路计算x,y,z,的取值。
一、
2 2 2
[(n+1)x +nx ] +(2n+1)y =[nx +(n+1)z ]
0 0 0 0 0
二、
2 2 2
[(1-n)x +2y +(2-n)z ] +(2n+1)(2x +y +2z ) =[(2+n)x +2y +(3+n)z ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0
三、
2 2 2
[nx +(n-1)z -y ] +2n(x +y +z ) =[nx +y +(n+1)z ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0
四、
2 2 2
[4-n)x +3y +(5-n)z ] +2n(3x +y +3z ) =[(4+n)x +3y +(5+n)z ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0
以上各式中之n为任意整数，一、二结合得三；三、四结合得一。
另由（11）之解[x ,y ,z ],可得
0 0 0
z ±(x +dy ) (d+1)z ±(x +dy ) 2 0 0 0 2 0 0 0 2
(x -y ) +(d+1)[ ] =[ ]
0 0 d d
设[x ,y ,z ]为方程
2 2 2
2 2 2 x +y =z (2)
的一组解，则可由下式得其余解，即
2 2
2mp(x +mp) 2mp(x +mp)
2 1 2 1 2
(x +2mp) +[y + ] =[x + ] (12)
1 1 z -y z -y
1 1 1 1
式中m为任意整数，p为使式中之分数部分消去分母之最小整数。
在两个金箔之间通上几十亿伏特几十亿安培的高压直流电例，两个金箔放在充满氮气的水晶球里面。用高频开关控制电流的方向，让电流方向不断发生改变，不断改变金箔上面的电极的正负性，一会让这个金箔带正电，一会让这个金箔带负电，高电压使两个金箔之间的氮气被击穿释放激光，电子一会从这个金箔流向流向另外一个金箔，一会从另外一个金箔流向这个金箔。不同运动方向的电子在金箔中间发生碰撞，产生弱相互作用，吸引暗物质，产生激光，激光吸引暗能量，这些暗物质和暗能量就会产生虫洞。按照x的取值选取电压值，不断改变电流的方向，使电压等于x的数值，就会形成暗能量，这个暗能量就会形成虫洞。
第六部分 陈景润定理
下面的内容可参见《纯粹数学与应用数学专著》第7号《哥德巴赫猜想》，潘承洞，潘承彪著，科学出版社1981年出版。
符号说明
现将全书常用符号说明如下：
1.a,b,h,l,m,n,q等表示整数；
p,p`,p ,p ,…等表示素数。
1 1
2.c,c ,c ,…表示正常数。除第十一章外，
1 2
每一章中的正常数c ,c ,c ,…均按在该章中出现先后的次序各自编号。
1 2 3
2πiz
3.e(z)=e
k k k+1
4.a|b:a整除b;a|/b:a不能整除b;p ||a;p |a但p |/a。
5.(a,b,c,…,l):a,b,c,…,l的最大公约数；[a,b,c,…,l]:a,b,c,…,l的最小公倍数。
6.a≡b(q):q|(a-b)。
7.[x]:不超过x的最大整数；{x}=x-[x];=min({x},1-{x})
8.Χ(n),Χ (n),Χ(n)mod q:均表示模q的Dirichiet特征函数，有时可省去n不写。
q
q q
9. ∑ ∑
h=1 h=1
. (h,q)=1
-
∑ :对模q的所有特征求和，有时q可省去不写。
X
q -
∑ :对模q的所有原特征求和，有时q可省去不写。
X
q
* * *
12.Χ ←→Χ *，Χmod q←→Χ mod q ,Χ←→Χ :
q q-
*
-
均表示X 为对应于X的原特征，X为由原特征X 所导出的特性，见第一章1（6），（6`)
13.Gauss和：
q mh
G (m)= ∑ Χ(h)e( )
X h=1 q
特别的，
τ(X)=G (1)
X
14.Ramanujan和：
C (m)=G (m),
q 0
X
q
0
X 为模q的主特征。
q
1
15.Euler函数φ(n)=n ∏ (1- )
p|n p
16.v (n):n的不同的素因子的个数；v (n):n的所有的素因子的个数(按重数计算)；
1 2
17.Mobius函数
v (n)
1
(-1) ,n无平方因子；
μ(n)={
0.其他
18.除数函数d(n):d(n)等于n的所有正除数的个数。
19.Mangoldt函数
k
log p,n=p ,p是素数；
A(n)={
0.其他
20.RH:Ricmann假设：GRH:广义Riemann假设。见第四章。
*
21.N(α,T),N(α,T,X),N(α,T,q),N (α,T,Q)等的定义见第四章(1),(3),(4),(5)。
22.π(x)= ∑ 1
p≤x
ψ(x)= ∑ A(n)
n≤x
23.π(x;q.l)= ∑ 1
p≤x
p≡l(q)
ψ(x;q.l)= ∑ A(n)
n≤x
n≡l(q)
24.π(x;a,q,l)= ∑ 1
ap≤x
ap≡l(q)
25.S(α,x)= ∑ e(αp);
p≤x
(1) S (α,x)= ∑ e(αp)log p;p≤x(2) S (α,x)= ∑ e(αp)A(n);n≤x
26.ψ(x,X)= ∑ A(n)X(n)
n≤x
27…命题{a,b}:每一个大偶数可以表为一个不超过a个素因子的乘积及一个不超过b个素因子的乘积之和。
28.设A>0,符号B=O(A)或B<
即
f(x)
exp(f(x))=e
log ξ log ξ/log log ξexp( )=e log log ξ
注释：欧拉常数的推导可参见高等教育出版社苏联菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第二卷第二分册，358例
欧拉常数的数值如下：
C=0.57721566490…*π=0.57721566490…*3.1415926=1.813376
第七章 SELBERG筛法
筛法1)是研究关于偶数的Goldbach猜想的一个最重要并得到了最好结果的方法。本章的内容仅是为了在第九章中证明陈景润关于大偶数理论的二个重要定理作准备。我们所需要的是关于线性筛法的上界和下界估计，至今这方面的最好结果是由W.B.Jurkat和H.E.Richert[58]利用A.Selberg的上界筛法所得到的。
注释1):本章讨论的筛法通常亦称为小筛法，参看第二章2.
[58]Jurkat,W.B,Richert,H.E.,An improvemient of Selberg`s sieve method I,Acta,Arith.,11(1965),217-240
本章的目的就是为了证明这一Jurat-Richert定理。
由于筛法，特别是Selberg筛法，是数论中最强有力的方法之一，有着极为广泛的应用，所以我们将对此作较为详细的介绍。虽然这里所需要的只是线性的情况，但在不致使叙述更为复杂时，我们将尽量作较一般的讨论。关于筛法，它的发展历史及其广泛而富有成果的应用，已在H.Halberstam 和H.E.Richert合著的“Sieve Methods"一书中作了很好的叙述及全面的总结，该书还附有十分详尽的文献。我们这里的内容及所用的符号基本上取于该书。
1.筛函数
设A是一由有限个整数组成的集合（元素可重复），P是一由无限多个素数组成的集合（元素不重复），以P表示所有不属于P的素数组成的集合，再设z≥2是任一实数，并令
P(z)= ∏ p (1)P我们定义函数
S(A;P,z)= ∑ 1 (2)a∈A (a,P(z))=1
显然，筛函数S(A;[,z)是表示集合，A中没有小于z且属于P的素因子的元素个数，亦即是表示从集合，A中筛去所有具有小于z且属于P的素因子的元素后所剩下的元素个数。容易看出，它有下述简单性质：
（i)S(A;P,2)=|A|;1)
(ii)S(A;P,z)≥0;
(iii)S(A;P,z )≥S(A;P,z ),2≤z ≤z ;
1 2 1 2
利用Mobius函数，还可以得到
(iv)S(A;P,z)= ∑ ∑ μ(d)
a∈A d|(a,P(z))
= ∑ μ(d)|A | (3)d|P(z) d
注释:1)对一个有限集合μ，我们总以|μ|表示它的元素个数。
v (n)
1
(-1) ,n无平方因子；
μ(n)={
0.其他
其中A 表示集合A中所有能被d整除的元素所组成的子集合。
d
对于筛函数有下面重要的Бухщтаб恒等式成立。
引理1：对于任意的2≤w≤z，我们有
S(A;P,z)=S(A;P,w)- ∑ S(A ;P,p) (4)
w≤p
证：把P中所有素数按递增次序排列
p
我们有
S(A;P,p )= ∑ 1
. k a∈A
(a,P(p ))=1
k
= ∑ 1+ ∑a∈A a∈A(a,P(p ))=1,p |/a (a,P(p ))=1,p |/a k k k k=S(A;P,p )+S(A ;P, ) k+1 p kk
由此容易推出，对任意的1≤k ≤k 有
1 2
S(A;P,p )=S(A;P,p )- ∑ S(A ;P,p)
k k p ≤p≤p p
k k
1 2
p∈P
假定p =1，则对任意的2≤w≤z,必有1≤k ≤k ;使
0 1 2
p
1 1 2 2
显然我们有
S(A;P,w)=S(A;P,p )
k
1
S(A;P,z)=S(A;P,p )k2
综合以上各式即得(4)式，证毕。
筛法的基本问题是估计筛函数S(A;P,z)的上界和正的下界(如果存在的话)。
Бухщтаб恒等式的重要性就在于它使我们可以从S(A;P,w)的上界（下界）估计以及所有的S(A ;P,p)(w≤p
如果对于给定集合A及P我们适当选取一个正数X>1, 及一个非负可乘函数
ω(d),μ(d)≠0,(d, P )=1. 1）
并设
ω(d)
r =|A |- X
d
这样做的目的是希望能用
ω(d)
X
d
来近似代替|A |，
d
以实现对筛函数的估计。这当然要求误差项r 尽可能地小（在某种平均意义上）。
d
实质上，这就是要求集合A中的元素分布是比较“均匀”的。如何选取最好的X和ω(d), 这主要由所讨论的具体集合A的性质来决定。下面举例说明。
例1：设(l,k)=1,x>k≥1
A={a:a≤x,a≡l(k)},P={p;p|/k},
由于,
A ={b:b≤x/d,db≡l(k)}
d
故从一个同余方程解的性质可知，可选取
x
X=
k
ω(d)=1,μ(d)≠0,(d, P )=(d,k)=1
且有
x
r =|A |- ,|r |≤1,μ(d)≠0,(d,k)=1
d d k d
例2，设N为偶数
A={a:a=N-p,p≤N},
P={p:p|/N}
由于,
A ={p:p≡N(d),p≤N},
d
故由算术级数中素数分布性质知，可取
X=Li N,
d
r =π(N;d,n)- Li N=E (N;d,N), ,μ(d)≠0,(d,N)=1
d ω(d) 0
例3，设N为偶数，E为一正整数集合1），且满足条件(N,E)=1,
A={a:a=N-cp,e∈E,ep≤N}, P={p:p|/N}
1)注释：集合E和N有关，它的元素亦可以重复。
由于,
A ={p:ep≡N(d),e∈E,ep≤N},
d
故由一次同余方程的解及算术级数中素数分布性知，可选取
N
X= ∑ Li
e∈E e
dω(d)= ,μ(d)≠0,(d,N)=1φ(d)
且有
d N
r = ∑ ( ∑ 1- Li )
d e∈E ep≤N φ(d) e
ep≡N(d)
d N 1 N= ∑ ( ∑ 1- Li )- ∑ Lie∈E ep≤N φ(d) e φ(d) e∈E e (e,d)=1 ep≡N(d) (e,d)>1d N = ∑ ( ∑ E (N;e,d,N)- Li ) ,μ(d)≠0,(d,N)=1e∈E ep≤N 0 φ(d) e(e,d)=1 ep≡N(d)
例4，设N为偶数
A={a:a=n(N-n),n≤N},P={p:p|/N}
由于
A ={n:n(N-n)≡O(d),e∈E,n≤N},
d
从同余方程n(N-n)≡O(d)的解数p(d)是d的可乘函数且
2,p|/N,
ρ§={
1,p|/N,
可知，可以取X=N,
v (d)
1
ω(d)=2 ,μ(d)≠0,(d,N)=1
且有
v (d)
1 v (d)
2 1
r =|A |- N, |r |≤2 ,μ(d)≠0,(d,N)=1
d d d d
在以后，除了考虑集合A和P外，还需要同时讨论集合
A(q)=A ,
{ q
P(q)={p:p∈P,p|/q}, (5)
μ(d)≠0,(q, P )=1
如果对应于集合A和P，我们选取了X及ω(d), 那么相对应于每一对集合A(q)P(q),X(q)和ω(d,q)可取为
ω(q)
X(q)= , X
{ q
ω(d,q)=ω(d),μ(qd)≠0,(qd, P )=1 (6)
且有
ω(q)
r (q)=|A (q)|- X(q)
d d d
ω(d,q)=|A |- , X=r ,μ(qd)≠0,(qd, P )=1 (7)qd d qd
最后，利用所选取的X及ω(d)，我们来看一下估计筛函数的困难。从(3)式我们有
ω(d,q)
S(A;P,z)= ∑ μ(d) X+ ∑ μ(d)r
d|P(z) d d|P(z) d
ω(p)=X ∏ (1- )+θ ∑ μ(d)r ，|θ|≤1p但是我们知道，当z相对于X并不是很大时，余项的项数 ∑ 1 这种筛法在理论上是没有用处的，因为对于数论问题，所需要的正是z相对于X为较大时 这一节中所引进的符号;A,P,z,P(z),X,ω(d),r 等，以后要经常使用， 2.最简单的Selberg上界筛法 的任意一组实数，这样，我们就有 其中 我们把X∑ 称为主项，∑ 称为余项。由于当d≥ξ时λ =0， 所以余项∑ 的项数不超过ξ 。这样，通过对参数ξ的选择就可以控制余项的阶， 3.函数G (ξ,z)和G (z) 以后，经常要应用熟知的Mertens的三个素数公式， 其中γ为Euler常数。在本节中，为了方便起见，当p ∈ P 时，定义ω§=0, 其中k,L 为二个正常数。由（29）式可以看出这条件表示： 5.函数F(u)和f(u) { u f(u)=2e ,2≤u≤4, (52) F(u)= (1+∫ dt), 3≤u≤5, (53) f(u)= (log(u-1)+∫ ∫ ds), 4≤u≤6, (54) ρ(u)= e u(F(u)-f(u)), (56) w(u)= , 1≤u≤2, (57) S(A;P,z)≥XW(z){f( )+O( )}+ ∑ 3 |r |, (69) 现在我们要在条件(70),(71)下利用引理14，引理16从定理6及定理7来证明（68）及（69）式。为此取 2 2 2 2 (ξ =ξ),所以 log ξ > log ξ (i=1,2,…,M) 要注意的是以上三式仅在满足条件p <ξ (i=1,…,M)时才能成立。 =(-1) {S(A;z )-XW(z )φ ( )} ∑ (-1) ∑ {S(A ;z )- XW(z .)φ ( )} L+M (M) 1 M M M-1 L+1 (i) 1 i i ∑ (-1) ∑ {S(A ;p )- XW(p .)φ ( )} +O(zW(z) )} 由此及推论3(k=1),(72)式，z≤ξ，可得 I ≤O(XW(z) exp(-2 ))+R(I ) 这时定理7中的A,ξ,z分别以A ,ξ ,z 来代替。由定理7， R(I )= ∑ ∑ ∑ 3 |r | (80) (3)I 的估计：这里需要利用引理13，比I 的估计要复杂。 这时定理7中的A,E,z分别以A ,ξ ,p 来代替，这样由定理7， 由于这里的求和范围满足条件： （取D=z ,A=ξ ,B=p 及α=1/3.这时 这时C=min(p .ξ )),得到 上式最后一步用到了条件ξ ξ /p ,ξ ≤ξ及（72）式， 由此及（83）式即得 I ≤O([ (1+O( ))] XW(z))+R(I ) (4)I 的估计：由于这里的求和范围(i;z ,z,ξ) 满足条件 及 I ≤O( ∑ ∑ XW(p .) )+R(I ) R(I )= ∑ ∑ ∑ 3 |r | (85) ξ >z (i=1,…,M), 因而得到 应用类似于引理14的这种分析方法继续做下去，我们就得到 现取h(d)=3 |r |, 所以（69）式显然成立。从定理6可推出（68）式，不过这时主项中的“O”项： 分别用 来代替，附注1在这里亦成立。 此外由定理2(k=1)及（90)式推得 引理1：设Q≥1,γ≥2，x≥2 < 其中 R 及R分别由（19）和（7）式给出。 E(y;d,L)= ∑ Χ (L)φ(y;X*)+O(log y log d) 这样，就把问题化成了这种形式的特征和估计。 < 其中D=x log x, << ∑ μ (d)3 max max | E (y;d,L)| +log x ∑ max max | E (y;d,L)| < < 上式最后二步用到了μ (n)3 ≤d (n)及第三章引理2，这里d(n)为除数函数。这就证明了（31）式。同样可以证明（32）式成立，证毕。 定理1及推论1中的 E ,E换成 E ,E 时亦成立。 2.一类新的均值定理 当B=3a/2+2 +13时有 R (D,x,E )= ∑ max max | ∑ g (a) E (y;a,d,L)| 及 下面的内容可参见《纯粹数学与应用数学专著》第7号《哥德巴赫猜想》，潘承洞，潘承彪著，科学出版社1981年出版。 1.命题{1，2} 注释：Li x表示对数积分 其中v (N)为N的不同素因子的个数，由此容易看出 [b] 1-1/v 证：显然ρ (a)为整数，且 其中v (a)为a的全部素因子的个数，则有 另一方面，我们同样有 其中, 由（9）知 现在我们利用第七章定理9的（68）式来估计Q 中的每一项S(A ;P,N )的上界， 利用（8）式即得 1/10 1/3 =20(1+o(1))c(N) e ∫ *F(5-10 )du+O( ) 由此及（11）-（15）式推得 ∫ ∫ ≤∫ dt∫ ( + ) 由此及（11），（16）式即得 注释[38]:Halberstam,H.Richert,H.E.,Sicve Methode,Academic Press,1974 其中λ 的定义见引理1，及 (b-1) ≥4(1+6log3-10log 2)(1+o(1))c(N) -Q /2+O( ) (19) 所以集合L中不超过N 的元素个数小于N ， 所以满足第七章的条件(8)及(33)(k=1)。我们取 所以 最后，我们来计算X。由素数定理知 其中o(1)当N→∞趋于零。利用 可得 因而得到 由此及（19）式就证明了我们的定理。陈景润{19]更精确的计算积分(27)式，得到 陈景润手稿 此处，3=P 给定一个素数P P≤ x, P≡x (mod P 命P (α，α ，β，β ）为适合下面条件的素数P的个数 其中P ,P ,P 都是素数 命P (1,2)为适合下面条件的素数P的个数 我们已经证明下面四个引理恒成立。 此处 其中r是欧拉常数。 x 其中r是欧拉常数。 而当1/2≤α+β≤α +β ≤1/2成立时有 P (α,α ,β,β )≤8.8e C (log(α /α)log(β /β)(x/log x)+ 而当13/30≤α+β≤1/2≤α +β 成立时有 P (α,α ,β,β )≤{Max(8.2,2(1-α -β ) )}e C (log(α /α)log(β /β)(x/log x)+ 引理4：我们有 3.定理的证明 因为 由上面的定理可知 上式中 =[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)]dx[1+2 ] 解法1： f(x)=-lncosa+C= + + +o(arctg y` ) = +(s-1) {1+2[ + + +o(arctg y`) ]* 上式中y ψ(x)= ∑ e 解法2： f(x)=ln sec a+C= 推导过程参见《高等混合算学下册》，商务印书馆1925年出版，梧兹（Woods），巴雷（Bailey）著，长沙易俊元译 f(x)= ∫cotda=∫ da=-∫ =-lnsina+C =[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+2 ] ={ +(s-1) [ arctg y 上式中y ψ(x)= ∑ e 解法3： 根据上面的推导，详细内容见斜率积分推导页 x*tg{ + + + - + 或, xtg{ε + + +ε - + } x*tg{ε + + +ε - - + } 上式中， ψ(x)= ∑ e =[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+2 ] ={ +(s-1) stg{ + + + - + }} 上式中 t=arctgy ψ(x)= ∑ e 下面的资料可参见《数学学报》1977年3期，数学学报编辑委员会编辑，科学出版社1977年出版。 下面的内容可参见《纯粹数学与应用数学专著》第7号《哥德巴赫猜想》，潘承洞，潘承彪著，科学出版社1981年出版 三素数定理就是要证明，当N为充分大的奇数时必有r(N)>0,证明的关键是要得到下面的结果： 本文主要是证明下面的定理。 定理的证明：当(q,h)=1时 注释.a≡b(q)表示q|(a-b)，即q整除于a-b, 其中φ(q)为Euler函数，及 注释.Euler函数φ(n)=n ∏ (1- ) 合数（也称为合成数）是大于1的整数，其质因数分解中包含除了1和它本身之外的因子。与质数不同，合数能够被分解成若干个因子的积。数字24是一个合数，因为我们可以将其分解为222*3. 这意味着24有4个因子，而不仅仅是1和24本身。 利用Holder不等式由（19）即得 Res=1/2 X≠X (1/2) X≠X 2 Res=1/2 X≠X *∫ ( ∑ |L `| ) +N sup ( ∑ |f | ) * sup ( ∑ |1-LM| ) +qN 由简单而熟知的结果（证明附于（四）） X≠X 1 因而，为了估计（20）就只要利用引理1来估计其中的各个和。下面都利用了条件 其中d(n)为余数函数，故从引理1得 (f)由于当Res=1+log N时 下面的内容可参见《珠算》，科学普及出版社，1994年出版 算筹横式： 两种数码并排有一定的规则：个位、百位、万位用纵式，十位、千位、十万位用横式。 上面的算筹表示数字3672 上面的电路表示，一个纵放的LED发光二极管表示数字1，三个纵放的LED放光二极管表述数字3，上面是一个横放的LED发光二极管，下面是一个纵放的LED放光二极管、表示数字6，上面是一个横放的LED发光二极管，下面是三个纵放的LED放光二极管、表示数字8，等等。四个LED发光二极围成一圈表述数字0. 上面的电路表示的是纵式算筹。注释，上面说明的计算乘法，除法的过程和用笔算计算乘法除法的过程类似，都是通过一位数和上面的数相乘，相除，得到计算结果。可以用电路描述上面的计算过程，就是说上面的算筹怎么变化，电路就怎么选择那个算筹对应发光二极管量，这需要大量的数字判断，选择电路来实现。 上面的电路表示，一个横放的LED发光二极管表示数字1，三个横放的LED放光二极管表述数字3。上面是一个纵放的LED发光二极管，下面是一个横放的LED放光二极管、表示数字6，上面是一个纵放的LED发光二极管，下面是三个横放的LED放光二极管，表示数字8，等等。四个LED发光二极围成一圈表述数字0. 上面的电路表示的是横式算筹。 例2，计算26-18=8 下面的内容可参见《筹算》，明崇祯戊辰年，意大利传教士罗雅谷编。《四库全书》子部有收录。 注释：上面描述了一种算筹，两个数字写在一个方框中，中间用斜线分开。方框下面的数字都是，方框里面第一个数分别和1，2，3，4，5，6，7，8，9相乘得到的积。如果积是两位数，中间用斜线分开，如果积是一位数，放在方框右上角。这类算筹用来计算乘法和除法 第三筹，一面作四数，第一方线右书四，第二方线右书八，第三方线右书二，线左书一。第四方线右书六，线左书一，第五方线右书〇，线左书二，第六方线右书四，线左书二，第七方线右书八，线左书二，第八方线右书二，线左书三，第九方线右书六，线左书三，一面作五数，第一方线右书五，第二方线右书〇，线左书一，第三方线右书五，线左书一，第四方线右书〇，线左书二。第五方线右书五，线左书二，第六方线右书〇，线左书三，第七方线右书五，线左书三。第八方线右书〇，线左书四，第九方线右书五，线左书四。 第五筹，一面作八数，第一方线右书八，第二方线右书六，线左书一。第三方线右书四，线左书二，第四方线右书二，线左书三，第五方线右书〇，线左书四。第六方线右书八，线左书四，第七方线右书六，线左书五。第八方线右书四，线左书六。第九方线右书二，线左书七。一面作九数，第一方线右书九。第二方线右书八，线左书一。第三方线右书七，线左书二。第四方线右书六，线左书三。第五方线右书五，线左书四。第六方线右书四，线左书五。第七方线右书三，线左书六。第八方线右书二，线左书七。第九方线右书一，线左书八。 五。定号 诸小筹之外，别作一大筹。长与诸筹等，广约长六分之二，两面横分九方。 注释；上面介绍的是计算平方时使用的算筹。这个算筹一边写的是1到9共8个数字，另外一边写的是2，4，9等上面九个数的平方， 注释：用筹算计算3595的过程，首先找到3号筹和5号筹，排列在一起组成数字35 注释：用筹算计算183125的过程，首先找到1号筹，8号筹和3号筹，排列在一起组成数字183。查找1号筹，8号筹和3号筹的第五个方框内的数是5，40，15。因为5+4=9，0+1=1，所以得到数915。查找1号筹，8号筹和3号筹的第二个方框内的数是2，6，6。所以得到数266。查找1号筹，8号筹和3号筹的第一个方框内的数是1，8，3。所以得到数183。把366进一位，得到3660，把183进二位，得到18300，用18300+366+915=22875，就得到183125=22875。 注释：用筹算计算3325/95的过程，首先找到9号筹和5号筹，排列在一起组成数字95查找9号筹和5号筹的第3个方框内的数是27，15。因为7+1=8，所以得到数285，因为332-285=47，47*10+5=475，查找9号筹和5号筹的第5个方框内的数是45，25，因为5+2=7，所以得到数475，这样我们就通过查算筹方框里面的数，得到3325/95的商35。 又如每钱三百七十四文，卖米一斗，今有钱八万七千一百四十二文，问合该米若干。以八七一四二为实，三七四为法，先以法数三筹齐列。次视各行横数内求八七一，无则取其略少者七四八，以七四八减八七一余一二三，四二为实，而此七四八方在第二行，即二为初商数，次视各行中无一二三四及略少者。第三行有一一二二。以一一二二减一二三四，余一一二二为实，即三为次商数，次视第三行有一一二二。正与余。实相等，除尽，即三为商数。该米二十三石三十。 注释：用筹算计算87142/374的过程，首先找到3号筹,7号筹和4号筹，排列在一起组成数字374。查找3号筹,7号筹和4号筹的第2个方框内的数是6,14，8，因为6+1=7，所以得到数748，选取数字87142的前三位数871，进行比较，因为871-748=123, 查找3号筹,7号筹和4号筹的第3个方框内的数是9,21，12，因为9+2=11，1+1=2,所以得到数1122，在数字87142中，871后面的数字是4，所以选取1234进行比较。因为1234-1122=112，在数字87142中，8714后面的数字是2，所以选取1122进行比较。查找3号筹,7号筹和4号筹的第3个方框内的数是9,21，12。因为9+2=11，1+1=2,所以得到数1122，因为1122-1122=0，所以，得到商数是233。 三，命分二法。 三 开平方法 假如有积六百二十五，别列为实，从末位五向前隔一位，各作一点，即知商二位也，点在实首，六为单数，视方筹内自乘之数无六，其下九过实，用其上四实之近少数也，平行向右取二为方法，即方根，另列之，为初商，即以四百减六百存二百，以并次点之实，得二二五为余实，次倍初商根得四为廉法，廉有二，故倍方根，取四筹列方筹左于列筹内并数取其合余实或近少于余实者，至五格适合，即五为廉次率，为耦法，为次商，而本方之根，得二十五。 注释：用算筹计算625的平方根的过程，从625的末位5开始，隔一位做一点，即再6后面做一点，得到开方数为2位数, 先在方筹内查找和6相近的数，得到6在9和4之间，因为2*2等于4，得到开方数的第一位数是2, 在用600减去400得到200, 再用200加上25，得到225, 在方筹内查找，得到5格数为225，所以开方数第二位数是5, 可以用下面的公式表示上面的计算过程, 又如有积六十五万一千二百四十九列为实，从末位九向前，隔一位作一点，得三点，知商三位，点在次位，则实首六为十数也，视筹自乘无六五，近少为六四，平行取八为方法，为初商，以六四减六五，存一，以并次点实得一一二为余实，次倍初商根得廉法一六，取一六两筹列方筹左，于列筹并数，查无一一二，亦无近小数，即知次商为〇也，则于八下加〇，以当次商，而以一一二并三点之实，得一一二四九为此余实，次倍前根八，得一六，进一位，得一六〇为次廉法，取〇筹列一六两筹之右，于列筹并数得一一二四九，在第七格，适尽，即七为三商位耦法，列前（商二）之下，而本方之根，得八〇七。 注释：用算筹计算651249的平方根的过程，从651249的末位9开始，隔一位做一点，即作三点，得到开方数为3位数, 先在方筹内查找和65相近的数，得到65在81和64之间，因为88等于64，得到开方数的第一位数是8, 在用651249减去640000得到112498乘以2等于16，，所以将1，6号方筹放到方筹的左边，在方筹内查找，得到1格数为160，大于112，所以开方结果的第二位数是0, 80乘以2等于160，，所以将0号方筹放到方筹的右边，在方筹内查找，得到7格数为11249，等于11249，所以开方结果的第三位数是7所以，得到开方结果807. 一六〇七三 法曰，凡开方不尽者，其命分法，倍前商数（二廉也）加一（立偶）为母（积商之一），余实为子，依法命之，然终不能尽，如设积六十，求开方，初商七，余十一，倍七加一，得十五，为母，十一为子，可命六十之根，为七又一十五之一十一，而缩试，并初商及分数自之，得四十九又二二五之二四三一，约之为一十一，是二二五之一八一，不及元积，若初商，不加一为母，命为十四之十一，试自之，得六十〇又一九六之一十四一，遇元积而盈。 (4949+152) 2431 181 [7 ]=49 =60 五，开立方 注释：用算筹计算4913的立方根的过程，从4913的末位3开始，隔二位做一点，即再4后面做一点，得到立开方数为2位数, 先在立方筹内查找和4相近的数，得到4在8和1之间，因为222等于8，得到开方数的第一位数是1, 在用4000减去1000得到300再用3000加上913，得到3913, 因为11乘以3等于3，所以选取3号筹，放在立方筹的左边进行计算。因为1乘以3等于3，所以选取3号筹，放在立方筹的右边进行计算。在方筹内查找，找到比3913小的数，因为第七格中2443加上49乘以30等于3913，等于3913，第八格中2912加上6430等于4832，大于3913，所以选择第七格，在方筹内查找，得到7格数为2443， 上式中，a=10,b=7,a+b=17, 取此八筹列方筹左，为平廉法，又以前商二〇九二，三倍之为六二七六，取此四筹，列方筹右，为长廉法，于列方筹（左九筹）内并数，取其近少，至第三格遇三九三八八一七六二七，为近少于余实（四三三六三一二零零零），另列之，向右平筹自乘平行取九，乘于长廉法六二七六，得五六四八四，列近少数（三九三八八一七六二七）下，进一位，并得三九三九三八二四六七以余实，不尽三九六九二九五三三，即取右根三为商数，依法命为二百〇九又一百分之二十三分也，若再开，则余实后又加三圈，得三九六九二九五三三零零零为余实，依上法，以前商二〇九二三，自乘为四三七七一九二九，又三倍之得一三一三三一五七八七，取此十筹，列方筹左为平廉法，又以前商二〇九二三三倍之得六二七六九，取此五筹列方筹右，为长廉法，于列筹（左十一筹），并数取约至第三格，遇三九三九九四七三六一二七，为近少于余实（三九六九二九五三三零零零）另列之，向右平筹自乘数，平行取九乘于长廉法六二七六九，得五六四九二一，列近少数（三九三九九四七三六一二七）下进一位，并得三九四零零零三八五三三七，以余实不尽者为二九二九一四七六六三，即取右根三为商数，依法命为二百零九又一千分之二百三十三也，余实任开之，终不尽何者，无立方数，不得有立方根也。. 注释：用算筹计算9159899的立方根的过程，从9159899的末位9开始，隔二位做一点，共作三点，得到立开方数为3位数, 先在立方筹内查找和9相近的数，得到9在8和27之间，因为333等于27，得到开方数的第一位数是2, 在用9000000减去8000000得到1000000, 再用1000000加上159899，得到1159899, 因为2乘以2等于4，4乘以3得12，所以选取1，2号筹，放在立方筹的左边进行计算。因为2乘以3等于6，所以选取6号筹，放在立方筹的右边进行计算。因为第一格中1201100加上1乘以3000000等于1501100，大于1159899，选择开方结果的第二位数为0, 因为200乘以200等于40000，40000乘以3得120000，所以选取1，2，0，0，0号筹，放在立方筹的左边进行计算。因为200乘以3等于600，所以选取6，0号筹，放在立方筹的右边进行计算。因为第九格中1080729加上81乘以60000等于1129329，小于1159899，选择开方结果的第三位数为9, 因为1159899减去1123929等于30570，所以开方不尽, 得到开方结果为209, 因为209乘以209等于43681，43681乘以3等于131043，所以分别取1，2，1，9，4，3号筹放在方筹的左边, 因为209乘以3等于627，，所以分别取6，2，7号筹放在方筹的右边, 因为第二格中26208608小于30570000，所以选择第二格，2乘以2等于4，4乘以627等于2508，26208608加上25080等于26233688，30570000减去26233688等于4336312, 得到开方结果为209.2, 因为209.2乘以209.2等于43764.64，43864.64乘以3等于131293.92，所以分别取1，3，1，2，9，3，9，2号筹放在方筹的左边, 因为209.2乘以3等于627.6，，所以分别取6，2，7，6号筹放在方筹的右边, 因为第三格中3938817627小于4336312000，所以选择第三格，3乘以3等于9，9乘以627.6等于56484.4, 564840加上3938817627等于3939382467, 4336312减去3939382.467等于396929.533, 得到开方结果为209.23, 因为209.23乘以209.23等于437719.29，437719.29乘以3等于1313157.87，所以分别取1，3，1，3，3，1，5，7，8，7号筹放在方筹的左边, 因为209.23乘以3等于627.69，，所以分别取6，2，7，6，9号筹放在方筹的右边, 因为第三格中393994736127小于396929533000，所以选择第三格，3乘以3等于9，9乘以627.69等于5649.21, 得到开方结果为209.233, 可以用下面的公式表示上面的计算过程 下面的内容可参见《筹算》，明崇祯戊辰年，意大利传教士罗雅谷编。《四库全书》子部有收录， 注释：用筹算计算3595的过程，首先找到3号筹和5号筹，排列在一起组成数字35，查找3号筹和5号筹的第五个方框内的数是15，25，因为5+2=7，所以得到数175，查找3号筹和5号筹的第九个方框内的数是27，45，因为7+4=11，所以得到数315，把315进一位，得到3150，用3150+175=3325，就得到3595=3325， 又如有米九升五，合价银一钱，今有米三石三斗二升五，合问该银若干，以三三二五为实，九五为法，先以法数二筹齐列，次于各行横数内求三三二，有则径减实数。无则取其略少者，二八五，以二八五减三三二，余四七五为实，而此二八五数乃在第三行，即三为初商数，次视第五行，有四七五，正与余实相等减尽，即五为次商数是三五为得数也，该银三两五钱。 注释：用筹算计算3325/95的过程，首先找到9号筹和5号筹，排列在一起组成数字95，查找9号筹和5号筹的第3个方框内的数是27，15，因为7+1=8，所以得到数285，因为332-285=47，47*10+5=475，查找9号筹和5号筹的第5个方框内的数是45，25，因为5+2=7，所以得到数475，这样我们就通过查算筹方框里面的数，得到3325/95的商35。 数值大小比较电路A。 数值大小比较电路B 下面的内容可参见清劳乃宣著《古筹算考释》，清劳乃宣，字玉初，桐乡人。此集系追述古代筹算之法，凡算术之涉乎筹者，均徽引著书，祥为考释。卷一筹制、算位、乘除、开方；卷二，今有、诸分；卷三，衰分、盈不足；卷四，方程；卷五，天元，卷六：正负开方。另有光绪九年葵未七月自序，约章篆要附西教源流考。按此书会刊于光绪十二年。 孙子算经又曰，六千五百六十一，九人分之，问人得几何，答曰，七百二十九，术曰，先置六千五百六十一于中位，为实，下列九人，为法，上位置七百，以上七呼下九，七九六十三，即除中位六千三百，退下位一等，即上位置二十，以上二呼下九，二九十八，即除中位一百八十，又更退下位一等，即上位更置九，即上九呼下九，九九八十一，即除中位八十一，中位益尽，收下位上位所得，即人之所得，此除法也亦依法定草绘图以明之。 注释，上面说明的计算乘法，除法的过程和用笔算计算乘法除法的过程类似，都是通过一位数和上面的数相乘，相除，得到计算结果。可以用电路描述上面的计算过程，就是说上面的算筹怎么变化，电路就怎么选择那个算筹对应发光二极管量，这需要大量的数字判断，选择电路来实现。 梅氏笔算曰，假如十九人分银二百五十四两，问各若干，答曰，九十三两零十九分两之七。此命分法也，凡除之不尽者，皆当以法命之，所以通除法之穷也，古人言除法，必言命分笔算，所之抄皆自此如生矣。 二，开方 增乘法草曰，置积五万五千二百二十五于上，为实，中方空，置一算于下为偶，偶进二位为步进一次，凡步进二次，偶立万下初商当为百，乃商之，初商二，置于实上百位，以商乘偶，一二如二…，置二于中位为方，以商乘方，二二如四，于实中除去四万，余一万五千二百二十五，为次商实，以商乘偶，一二如二，入二于中位，共得四，退一位，为次商方，偶退二位，为次商偶，又商之，次商三，置于实上十位，以商乘偶，一三如三，入三于方，为四三，以商乘方，三四一十二，于实中除去一万二十，三三如九，于实中除去三商实，以商乘偶，一三如三，入三于中位，得四六，退一位，为三商方，偶退二位，为三商偶，又商之，商五，置于实上单位，以商乘偶一五为五，入五于方，为四六五，以商乘方，四五二十，于实中除二千，五六三十，于实中除三百，五五二十五，于实中除二十五，适尽，收去方偶，上商，得二百三十五步，即方也。 孙子算经曰，今有积二十三万四千五百六十七步，问为方几何，答曰，四百八十四步九百六十八分之三百一十一。 第一部分用正割对数计算积分的方法 一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率 因为，a=arctgf ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) ) ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x ) f(x)=-lncosa+C=(cos a-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x ) f(x)=-lncosa+C= + - +o(a ) 方法2, lnsinθ=-lncscθ, lncosθ=-lnsecθ, lgtgθ=lgsecθ-lgcscθ, lgctgθ=lgcscθ-lgsecθ, 所以, 根据泰勒展开 ln sec x=ln[1+(sec x-1)]=(sec x-1)- (sec x-1) + (sec x-1) + o(x ) f(x)=lnseca+C=(sec a-1)- (sec x-1) + (sec x-1) +o(a ) f(x)=lnseca+C-lncosa+C=-ln[1- + - -…+(-1) +o(a )+C lnsecθ= + + + 上式中， 例如： 245 1667 33689 1667 33689 7089 79361011 97921011 20161011 1681011 -ln[1- + - -…+(-1) +o(arctg y` )]+C lnN=[(1-N)+ + + + (1-N/10 ) (1-N/10 ) 2 (1-N/10 ) 2 3 (1-N/10 ) 2 3 4 2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 (1-N/10 ) 2 3 4 n-1 上式中，N/10 <1 例2. x 1+x dx,设1+x=t ,有x=t -1 =3t /7-3t /4+C=3 (1+x) /7-3 (1+x) /4+C 解法2，根据上面的公式， arctg y arc(x 1+x ) arc(x 1+x ) 2 arc(x 1+x ) 2 16 arc(x 1+x ) 2 16 272 2 34 56 7*8 解法3，根据上面的公式， -ln[1- + - -…+(-1) +o(arctg y` )]+C -ln[1- + - -…+(-1) +o(arc(x 1+x )) ]+C 在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数，所以， y y =ln│x │+C -1 2 12 40 同理可证 cosa=1- + - -…+(-1) +o(a ) (a→0) arc tg a=a- + - -…+(-1) +o(a ) (a→0) u(x)=a+ +o(a ) tgα=sinα/cosα= 当60°<α≤90°时， tgα=sinα/cosα= 当30°<α≤60°时， tgα=sinα/cosα= 当0°<α≤30°时， tgα=sinα/cosα= 或者 1- + - -…+(-1) +o(a ) a- + - -…+(-1) +o(a )
d|P(z)
即P(z)的除数个数就可能很大，例如取
P(z)= ∏ p
p
b
的情形（例如，z=x ,0
d
它们的定义及所满足的条件到时就不作一一说明。
A.Selberg利用求二次型极值的方法，给出了筛函数S(A:P,s)的上界估计。为了简单起见，本节及4，6（3除外）中都假定ω(d)满足条件
ω§ 1
0< ≤1- ,(p, P )=1 (8)
p L
1
其中L 为大于1的常数，1中所举的四个例子均满足这个条件。
1
事实上只要适当选取集合P,我们总是可以做到这一点的。
设ξ≥2，λ ,d|P(z)，是满足条件
d λ =1, { 1 (9) λ =0,d≥ξ,d
2
S(A;P,z)≤ ∑ ( ∑ λ )
a∈A d|(a,P(z)) = ∑ λ λ ( ∑ 1 )d |P(z) d d a∈Ai 1 2 [d ,d ]|a i=1,2 1 2=X∑ +∑ , (10)1 2
ω([d ,d ])
1 2
∑ = ∑ λ λ (11)
1 d |P(z) d d [d ,d ]
i=1,2 1 2 1 2 ∑ = ∑ λ λ r (12) 1 d |P(z) d d [d ,d ] i=1,2 1 2 1 2
1 2 d 2
2
使其低于主项的阶而可略去。同时我们要选择一组满足所述条件的λ 使∑ 最小而得到
d 1
一个尽可能好的上界估计。
1 1
本书将在ω§满足一定的条件下，导出G (ξ,z)的一个下界估计，以及G (z)的渐进公式，
1 1
根据(21)式：
G (ξ,z)= ∑ g(d)
1 d|P(z)
d<ξ G (z)=G (z,z)= ∑ g(d)1 1 d|P(z)d<ξ
现列出如下（可参看[43,定理425，427，428],[51,第五章9[或[24],[92]):
log p z
∑ =log +O(1), 2≤w 1 logz 1 ∑ =log +O( ), 2≤w
这样，我们就把1中的可乘函数ω(d)（通过（13）也相应地把2中的可乘函数g(d)）的定义域扩大到了所有的d, μ(d)≠0上，但这时原来假定的ω(d)要满足的条件(8), 就相应的变为对所有的p满足：
ω§ 1
0≤ ≤1- (32)
p L
1
(8)式中假定ω§/p>0是为了保证g(l)>0,这一点主要是在推导(19)式时所必需用到的。
在本节中，仅是为了研究G (ξ,z)及G (z),就并不必需有这样的条件，
1 1
而且在作出了这样的推广后，它们的值仍保持不变，因而也允许作这样的推广。显然，作了这样的推广后，在本节后，集合P就是由所有素数所组成的集合，而
P(x)= ∏ p
p ω(p)log p z | ∑ -klog | ≤L ,2≤w≤z, (33)w≤p
2
平均起来说ω§是等于k。简单的来说，当k=1时，我们称其是线性的，估计相应于这种情形的筛函数的上界及下界的筛法，就称为线性筛法。显见1的例1-3都是线性的，而例4有k=2，就不是线性的了。在一般情形下，由条件(33)仅能推得很弱的结果，
L
ω§ 2
≤ (34)
p logp
这一节我们将讨论满足方程
γ
2e
F(u)= ,f(u)=0,1≤u≤2, (47)
u
{ (uF(u))=f(u-1),(uf(u))=F(u-1), u>2 (48)
注释：(uF(u))`表示函数uF(u)的导数。的一对连续函数F(u)和f(u)，其中γ为欧拉常数。
注释：欧拉常数的推导可参见高等教育出版社苏联菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第二卷第二分册，358例。C=0.57721566490…*π=0.57721566490…*3.1415926=1.813376,
由(48)式及函数的连续性直接推得 u uF(u)=u F(u )+ ∫ f(t-1)dt, 2≤u ≤u , (49)1 1 u 11
uF(u)=u f(u )+ ∫ F(t-1)dt, 2≤u ≤u , (50)
1 1 u 1
1
利用这两个公式及函数的初值条件(47)式，我们就可以逐段求出F(u)及f(u)的具体表达式。
例如，我们不难得到
γ
2e
F(u)= ,1≤u≤3, (51)
u γ log(u-1)
u γ2e u-1 log(t-1)
u 2 t γ2e u-1 dt t-1 log(s-1)
u 2 t 3 s
等等。此外，容易看出，F(u)是连续可微函数，而f(u)除了u=2外连续可微，在u=2处有左右导数存在，且
γ
f(2+0)=0,f(2+0)=e
更进一步，我们从逐段求出F(u)及f(u)的表达式的过程可以看出，F(u)和f(u)都是逐段解析的。为了进一步研究F(u)和f(u)的性质，需要引进一对新的函数：
1 γ
w(u)= e (F(u)+f(u)), (55)
2 1 γ
2
容易验证w(u)和ρ(u)分别为满足下述方程的连续函数： 1
u
{
(uw(u))=w(u-1), u>2, 和 ρ(u)=1, , 1≤u≤2, { (u-1)ρ(u)=-ρ(u-1), u>2, (58)
显然，w(u)和ρ(u)均为除了u=2外的连续可微函数，且有.
w(2-0)=-1/4, w(2+0)=1/4, ρ(2-0)=0, ρ(2+0)=-1,
定理9 当条件(8),(33)(x=1)成立时，对2≤z≤ξ有
2 v (d)
log ξ 1 1
S(A;P,z)≤XW(z){F( )+O( )}+ ∑ 3 |r |, (68)
log z 1/14 d|p(z) d
(log ξ) 2
d<ξ 2 v (d) log ξ 1 1
log z 1/14 d|p(z) d
(log ξ) 2
d<ξ
28.设A>0,符号B=O(A)或B<
ξ>c , (70)
7
c 为一充分大的待定常数，其次，当ξ充分大及
7
log ξ
log z≤
log log ξ
时，由于有(61),(62)式成立，故从定理7亦可推出（68），（69）式成立。因而我们还可以假定
log ξ
exp( )≤z≤ξ (71)
log log ξ
注释：exp()表示自然常数e的指数函数。
即 f(x) exp(f(x))=elog ξ log ξ/log log ξexp( )=e log log ξ
7/10
z =exp(log ξ) (72)
1
当(70,(71)式成立时，必有
2≤z ≤z≤ξ (73)
1
再取自然数M满足条件
3/10 3/10
2(log ξ) 3 3(log ξ)
≤ ≤ (74)
log log ξ 2 log log ξ
下面我们将使用引理14及引理16中的符号，并不再作一一说明。
当p <ξ (i=1,2,…,M)时，有
i i
ξ =ξ /p >ξ /ξ ,(i=1,…,M)
i i-1 i i-1 i
0 2
i 3 i-1
即
2
log ξ >( )log ξ (i=1,2,...,M) i 3 利用(74)式的右半不等式，由此及（72）式可得 log ξ i 3 3/10 1 3 M-i >( )(log ξ) ≥ ( ) log log ξ ,(i=1,2,…,M) (75)
log z 2 3 2
1
i i
利用引理16的符号φ (u)，显然我们只要证明
L
2 v (d)
L+1 log ξ XW(z) 1
(-1) {S(A;z)-XW(z)φ ( )} ≤O( )+ ∑ 3 |r | (76)
1 log z 1/14 d|P(z) d
(log ξ) 2
d<ξ
就同时证明了（68）及（69）式。由引理14，引理16我们可得
L+1 log ξ
(-1) {S(A;z)-XW(z)φ ( )}
1 log z 2L+1 log ξ
1 1 1 log z
1
2
ω(p …p ) log ξ
M-1 L+1 (i) 1 i L
i=1 (i,z ,z,ξ) 1 p …p 1 L+1 log z
1 1 1 i 1 2ω(p ...p ) log ξ
-(-1) ∑ {S(A ;p )- XW(p .)φ ( )}
(M,z ,z,ξ) M p …p 1 L+M logp
1 1 1 M M 2ω(p ...p ) log ξ
i=1 (i,z ,z,ξ) i p …p 1 L+i log p
1 2 1 i i 2 log z
3
log z
1
2
log z
=I +I +I +I +O(zW(z) )} (77)
0 1 2 3 3
log z
1
我们将用定理2来估计I ,I 及I ，对I 的估计则用定理6.
0 1 2 3
在应用这些定理时我们要注意利用(5),(6)及(7)式。此外，为了便于计算，定理7的主项中的误差项O(exp(-τlogτ)) 将用O(exp(-2τ)) 来代替,
（1）I 的估计：由定理7及
a
-u
φ (u)=1+O(e ), u≥1
L
可得
2
log ξ
I ≤O(XW(z )exp(-2 ))+R(I )
0 1 log z 0
1 v (d)1 R(I )= ∑ 3 |r | (78)0 d|P(z ) d12 d<ξ
log z log ξ
0 log z log z 0
1 1
3/10 3/10
=O(XW(z)log ξexp(-2log ξ))+R(I )
0
XW(z)
+O( )+R(I ) (79)
7/10 0
(log ξ)
(2)I 的估计：由于这里的求和范围(i;z ,z,ξ) 满足条件z <ξ ，
1 1 1 1 i
所以我们可利用定理7来估计其中每一项
ω(p …p ) log ξ
[i] 1 i i
S(A ;z )- XW(z )φ ( )
i p …p 1 L+i log z
1 i 1 [i]
i 1
-u
φ (u)=1+O(e ),u≥1,
1
并注意到（5），（6），（7）式可得
ω(p …p ) log ξ
M-1 1 i i
I ≤O( ∑ ∑ XW(z .)exp( ))+R(I )
1 i=1 (i,z ,z,ξ) p …p 1 log z 1
1 2 1 i v (d)M-1 1
1 i=1 (i,z ,z,ξ) d|P(z ) d
1 2 1 p …p
2 1 i
d<ξ
1
由此及推论3(k=1),(75)式，1≤i≤M-1，引理5(k=1),z≤ξ,(72)式得
logz 1 1 ω§ i
I ≤O(XW(z) ∑ ( ∑ ) ) +R(I )
0 i=1 logz log ξ i z ≤p 2 log z 1 =O(XW(z) ))+R(I )2 log ξ 1log z1 XW(z) =O( )+R(I ) (81)4/10 1(log ξ)
2 1
同样，由于这里的求和范围(M;z ,z,ξ) 满足条件p <ξ ，
1 1 M M
故亦可利用定理7来估计其中每一项
2
ω(p …p ) log ξ
[M] 1 M M
S(A ;p )- XW(p )φ ( )
M p …p M L+M log p
1 M M (M)
M M
-u
φ (u)=1+O(e ),u≥1,
1
并注意到(5),(6),(7)式可得
ω(p …p ) log ξ
1 M M
I ≤O( ∑ XW(p .)exp(-2 ))+R(I )
2 (M,z ,z,ξ) p …p 1 log p 2
1 1 1 M M
v (d)
1
R(I )= ∑ ∑ 3 |r | (82)
2 (M,z ,z,ξ) d|P(p ) d
1 1 M p …p
2 1 M
d<ξ
M
2 2
利用ξ =ξ /p 有
M M-1 M
2
ω(p …p ) log ξ
1 M M-1
I ≤O( ∑ XW(p .)exp(-2 ))+R(I )
2 (M,z ,z,ξ) p …p M log p 2
1 1 1 M M
我们来考虑“O”项中的和式
2
ω(p …p ) log ξ
1 M M-1
△= ∑ XW(p .)exp(- ))
(M,z ,z,ξ) p …p M log p
1 1 1 M M 2 2ω(p ...p ) ω(p ) log ξ1 M-1 M M-1= ∑ ∑ *W(p )exp(- )(M,z ,z,ξ) p ...p x ≤p
p <ξ ，p <ξ
M-1 M-1 M M
2/3
以及由条件p <ξ 可推出p <ξ ,所以我们可对上式右边的内层和应用引理13
M M M M-1 2
1 M-1 M-1 2/3
M-1 M-1 2ω(p ) log ξM M-1 ∑ W(p .)exp(- )x ≤p
M-2 M-1 M-1 i
由以上二式可得：
2
ω(p …p ) log ξ
e 1 1 M-1 M-2
△≤ (1+O( )) ∑ W(p .)exp(- )
3 4/10 (M,z ,z,ξ) p …p M-1 log p
(log ξ) 1 1 1 M M-1
这样继续应用引理13，我们最后就得到 e 1 M
△≤( (1+O ))) W(z),3 4/10(log ξ)
e 1 M
2 3 4/10 2
(log ξ)
设
e -4/10
δ= (1+O((log ξ) )),
3
把c 取得充分大，使δ<1,所以由（74）式所确定的M的下界知
7
3/10
M logδ 2(log ξ )
log(δ )≤ log( )
log(3/2) log log ξ
由于
log(e/2) 10
<-
log(3/2) 42
所以只要c 取得足够大时，就使得
7
M 1
log(δ )<- log log ξ
14
因而推得
XW(z)
I ≤O( )+R(I ) (84)
2 4/10 2
(log ξ)
3 1 2
2
ξ ≤p <ξ ,
i i i
故由函数F(u)和f(u)的定义知，这时有 2 r log ξ 2e log pi iφ ( )= ,L+i≡1(2)L+i logp 2log ξi
2
log ξ
i
φ ( )=0,L+i≡0(2)
L+i logp
i
由此并注意到筛函数总是非负的，就得到
ω(p …p ) r
M (i) 1 i 2e log p
I ≤ ∑ ∑ {S(A ;p )- XW(p .)
3 i=1 (M,z ,z,ξ) i p …p i 2
L+i≡1(2) 1 2 1 i log ξ
i
现在我们用定理6（k=1)来估计其中每一项。
(i)
为此，定理6中的A,ξ,z分别取为A ,ξ ,p ,
i i
并注意到(5),(6),(7)式，我们有 ω(p ...p ) log pM 1 i i
3 i=1 (i,z ,z,ξ) p …p i 2 3
1 1 i log ξ
i v (d) M 1
3 i=1 (i,z ,z,ξ) d|P(p ) d
i p …p
2 1 M
d<ξ
i
利用W(p )log p <
i i
引理5（k=1),z≤ξ以及（72）式，我们有
ω(p …p ) log p
M 1 i i
∑ ∑ XW(p .) )
3 i=1 (i,z ,z,ξ) p …p i 2
1 1 i log ξ
i log z M 1 ω(p) i<
XW(z)
I <
(log ξ)
综合以上结果，由（77），（79），（81），（84），86）式我们就得到了
2
(i) log ξ XW(z)
(-1) {S(A ;z)XW(z)φ )}≤O<( )+R(i )+R(i )+R(i )+R(i ),
i L log z 1/14 0 1 2 3
(log ξ)
最后，我们来估计余项。类似于（46）式，不难证明对任意函数h(d)有
∑ h(d)= ∑ h(d)+ ∑ ∑ h(p d)+ ∑ ∑ h(p d)
2 2 z≤p
d|P(z) d|P(z ) 1 2 1
1 d|P(p ) ξ ≤p <ξ d|P(p )
1 1 1 = ∑ h(d)+ ∑ ∑ h(p d)+ ∑ ∑ h(p d) (88)2 (L,z ,z,ξ) 2 1 (L,z ,z,ξ) 2 1d<ξ 1 1 d<ξ 1 2 d<ξ d|P(z ) 1 1 1 d|P(p ) d|P(p )1 1
M-1
∑ h(d)= ∑ h(d)+ ∑ ∑ ∑ h(p …p d)+ ∑ ∑h(p …p d)+
2 2 z≤p
d|P(z) d|P(z ) 1 M
1 d|P(z ) d|P(p )
1 M M-1= ∑ ∑ ∑ h(p ...p d) (89)i=1 (L,z ,z,ξ) 2 1 i 1 1 d<ξ i d|P(p ) i v (d)1
d
由（89），（78），（80），（82），（85）式并注意到v (qd)≥v （的）即得
1 1
v (d)
1
∑ 3 |r |≥R(i )+R(i )+R(i )+R(i ),
2 d 0 1 2 3
d<ξ
d|P(z)
由此及（87）式就得到了（76）式，定理证毕。
附注1：当ξ
注释1）：这时我们不妨扩大函数F及f的定义域，使
r
2e
F`(u)= (0
因为这时 2logξf( )=0logz
-1/14 -1
O((logξ) )要改为O(λ(logξ) ),这时“O”中的常数和λ有关， 有关本节中的“O”常数要依赖于那些参数，一般说来并不重要，我们就不一一指出了。
注释：
28.设A>0,符号B=O(A)或B<
X,P(z)= ∏ p
p ω(p)W(z)= ∏ (1- ),rp
ω§
X(q)= X
q P(z,q)= ∏ pp
在定理9中，由函数F(u)的递减性及函数f(u)的递增性知，参数ξ相对于z取得愈大。对主项来说就愈能得到好的估计。这在下界估计中尤为明显，因为当ξ≤z时，有
2
logξ
f( )=0
logz
而能得到不小于零的显然估计。但是，在一方面，ξ的选取必须使余项
v (d)
1
∑ 3 |r |
2 d
d<ξ
d|P(z)
所得的估计的阶小于主项中XW(z)的阶时，才能得到有效估计，因此，ξ的选取受余项估计的结果的限制，而相对于X不能取得太大；在另一方面，在应用中所需要的却正是z相对
b
于X来说不太小*如z=X ,0
v (d)
2 1 X
∑ μ (d)3 |r |<< (90)
α -B d 2
d≤X log X log X
(d,P)=1
即
v (d)
2 1 X
∑ μ (d)3 |r |=O( )
α -B d 2
d≤X log X log X
(d,P)=1
成立，则当条件（8），（33）k=1成立时，有
X 1
S(A;p,z)≤XW(z){F(α )+O( )}, (91)
log z 1/14
(log X)
及
log X 1
S(A;p,z)≥XW(z){f(α )+O( )}, (92)
log z 1/14
(log X)
证：在定理9中取
2 α -B
ξ =X log X
所以对足够大的X一定有
3/α
2≤z≤ξ
因而定理9成立（注意附注1）。由（49），（50）式容易推出 2 αlog ξ log X log log X F( )=F( )+O( ), (93)log z log z log X2 αlog ξ log X log log X f( )=F( )+O( ), (94)log z log z log X
v (d)
1 XW(z)
∑ 3 |r |<< (95)
2 d 1/14
d<ξ (log X)
(d,P)=1
利用（93），(94),(95)式，由（68）,(69)式就立即推得（91），（92）式成立，对有界的X，定理显然成立，证毕。 第八章 算术数列中素数分布的均值定理
我们有
* β 1/2 2 2 1/3 9
∑ ∑ ∑ x <<(x Q T+x(Q T) )log x(log QT) , (26）
q≤Q X ρ
q |γ|≤γ
其中ρ=β+iγ是L(s,X)的非显明零点。
证：由第四章定理2易得
2 (5-4σ)/3 9
N(σ，T,Q)<<(Q T) (logQT )
因而我们有
* β * β
∑ ∑ ∑ x << ∑ ∑ ∑ x
q≤Q X ρ q≤Q X ρ
|γ|≤γ |γ|≤γ,β≥1/2 1 σ =-∫ x dN(σ,T,Q)1/123/2 1 σ =x dN(1/2,T,Q)+log x ∫ x dN(σ,T,Q)dσ 1/2
1/2 2 2 5/3 9 1 x σ
(Q T)
由此即得（26）式，证毕
定理1（Bombieri-Bнноградов）设x≥2,对任给的正数A, 当B=A+15时，我们有
1/2 -B -A
R (x log x,x)<,xlog x, (27)
及
1/2 -B -A
R(x log x,x)<,xlog x, (28)
证：熟知有
1
φ(y;d,L)= ∑ Χ (L)φ(y;X),(L,d)=1
φ(d) X
d
以及若X是模d的特征，X是对应于X的原特征，有
φ(y,X)=φ(y,X)+O(log y log d)
由以上两式即得
0
X ≠X
d d
并由此利用
*
∑ Χ*(L)φ(y;X*)= ∑ ∑ Χ (L)φ(y;X)
0 1
d d
即得
1 *
R (D,x)= ∑ ∑ ∑ max |φ(y;X)|+O(Dlog Dlogx)
d≤D φ(d) 1 1 * = ∑ ( ∑ ∑ max |φ(y;X)|+O(Dlog Dlogx)1
1/2 -B 3A+42
现取D=x log x,D =(log x) ,
1
由Siegel-Walfisz定理（第六章引理2）知：
1 *
∑ ∑ max |φ(y;X)|<
现在我们来估计下面形式的和：
1 *
I(Q)= ∑ ∑ max |φ(y;X)|
1
其中
D ≤Q
1/2
|r|≤x 1/2 2 log x [log x] 1 8
|r|≤2
由此及（29），（30）式即得（27）式，由（27），（19）式及素数定理即得（28）式，证毕。由（9）式知，在GRH下也只不过可推出定理1当B=A+2时成立，所以这一结果是十分强的。
推论1：设x≥2,对任给正数A,当B =2A+32时，我们有
1
v (d)
2 1 -A
∑ μ (d)3 max max | E (y;d,L)|<
及
v (d)
2 1 -A
∑ μ (d)3 max max | E (y;d,L)|< -B 1/2 1
证：设λ=A+17,由定理1可得，（31）式左边= ∑ + ∑ d≤D d≤Dv (d) v (d)1 λ 1 λ3 ≥log x 3 ≥log xv (d)1 2 1 λ
2 d≤D y≤x (L,d)=1 d≤D y≤x (L,d)=1
log x
v (d)
2 1 λ-B +15
-λ+1 μ (d)3 1
< 4-λ+1 d (n) -A
-A
v (d)2 2 4
0 0
本节要在集合E ,即函数E(x),g (a)满足一定条件下，
x x
来证明形如（17）式的一类新的均值定理。我们假定（1）存在一正数α，0<α≤1，使
1 1-α
≤E(x)<
（2）存在一个正整数r(和x无关），使
r
g (a)<
注释1）：实际上只要g (a)具有第三章引理2所刻划的除数函数d(a)的那些性质时，
x
定理2就成立。此外，根据g (a)的定义，它的函数值一定只取非负整数值，
x
但事实上从证明中容易看出g (a)为任一满足条件（34）式的函数时，
x
以下所有的定理和推论均成立。例如可以假定
r r
g (a)<
等等。在第九章应用这些定理时，仅用到0≤g (a)≤1这一特殊情形。
x
注释完
其中d(a)为除数函数。
定理2：设D(x),g (d)满足条件（33），（34）式，则对任给正数A，
x 2r+1
x d≤D y≤x (L,d)=1 a≤E(x) x
(a,d)=1
1 x
=∑ max max | ∑ g (a) ( ∑ A(n)- ∑ A(n))|<< （35）
d≤D y≤x (L,d)=1 a≤E(x) x a ≤y φ(d) a ≤y A
(a,d)=1 n n log x
a ≡L(d)
n
R (D,x,E )= ∑ max max | ∑ g (a) E (y;a,d,L)|
x d≤D y≤x (L,d)=1 a≤E(x) x
(a,d)=1
1 x
=∑ max max | ∑ g (a) ( ∑ A(n)- ∑ A(n))|<< （36）
d≤D y≤x (L,d)=1 a≤E(x) x a ≤y φ(d) a ≤y A
(a,d)=1 n n log x
a ≡L(d)
n
1/2 -B
成立，其中D=x log x
我们将分若干引理来证明（35）式，利用素数定理由（23），（35）式立即推出（36）式。为了简单起见，以下把E 及g (a)仍记为E及g(a)，
x x
由于以[E(x)]+1/2来代替E(x)时条件(33)仍然成立，所以不妨假定函数E(x)所取的值均为半奇数。此外，显然有
E (y;a,d,L)= E ([y]+q/2;a,d,L),
所以我们亦可假定 max 中的y也只取半奇数。
y 第六部分 陈景润定理的证明
潘承彪，生于1938年3月，数学家，原中国科学院院士、山东大学前校长潘承洞之第。
潘承洞（1934年5月26日-1997年12月27日，男，中国著名数学家、教育家。1956年毕业于北京大学。
第九章 陈景润定理
在引言中我们已经详细叙述了利用筛法和算术数列中素数分布的均值定理来研究命题{1,b}，即一个大偶数表为一个素数和一个素数因子个数不超过b个的数之和这一重要问题的发展历史。1966年陈景润首先宣布他证明了命题{1,2} [18],并在1973年发表了全部证明[13]。
注释[18]：《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》，科学通报，17（1966），385-386。
注释[19]：On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. Sei.Sin,.16(1973),157-176,
这一结果通常称为陈景润定理。最近，他进一步发展了证明命题{1,2}的方法，改进了关于一个偶数表为二个素数之和的表法的个数D(N)(见第七章4（41））的上界估计，这是一个重要的改进，本章的目的就是要利用第七章和第八章所得到的的结果来证明陈景润的这二个重要定理。
首先，我们将证明命题{1,4}和{1,3}。设N为一大偶数，集合
Α=A(N)={a:a=N-p,p≤N} (1)
以及集合
P={p:p|N}, (2)
这就是第七章1例2所讨论的。所以为了利用Selberg筛选来估计筛函数S(A;P,z),我们可取
N
X=Li N ~
logN dw(d)= ,μ(d)≠0，(d，N)=1φ(d)
∞ dx
lix=∫
0 logx
且有,
d
r =π(N;d,N)- Li N=E (N;d,N),
d φ(d) 0
μ(d)≠0,(d,N)=1,
这时第七章的条件(8)及条件（33）均成立，且(33)式中的k=1, 所以这是线性的情形。这样，我们就可以利用第七章6的定理9和定理10来估计筛函数S(A;P,z)，这时所对应的余项就是我们第八章定理1的推论1所讨论的。再设b为一正整数，集合
[b] [b]
Α =A (N)={a:a∈A,v (a)≤b}, (3)
2
[b]
其中v (a)表示a的全部因子个数（按重数计），所以Α 是集合A中所有集合因子个数不
2
超过b个的元素所组成的子集。，这样，命题{1,b}就是要证明：对充分大的偶数N必有
[b]
|A |>0 (4)
定理1，命题{1,4}成立，且有
[4] N
|A |>3.24c(N)
2
log N
其中,
1 p-1
c(N)= ∏ (1- ) ∏ (5)
p>2 2 p|N p-2
(p-1) p>2
注释：p|N表示自然数p整除于自然数N,c(N)表示关于p的函数的无穷乘积
证，显然，a∈A,(a,N)>1的元素个数
≤v (N)<
1
[b]
|A |≥ ∑ 1+O(v (N))
a∈A 1
1/(b+1)
(a,P(N ))=1
1/(b+1)
=S(A;P,N )+O(logN) (7)
注释：S(A;P,N)表示第七章中提到的筛函数，
1/(b+1)
现利用第七章定理10来估计筛函数S(A;P,N )的下界。
这里可取a=1/2,B=38，再由第七章定理2(k=1)及(40)知，
-r
e 1
W(z)=2c(N) (1+O( )) (8)
log z log z
由此及函数f(u)(见第七章5）的连续性即得
1/v N -r
S(A;P,N )≥2v(1+o(1))c(N) e f(v/2) (9)
2
log N
其中o(1)是当N→∞时趋于零，v>0, 由第七章5（47）及定理8可知
f(u)=0,(u≤2),f(u)>0,u>2,
[b]
所以要从(9)得到一个|A |的正的下界估计必须取b>3.
为了证明命题{1,b}，显然正整数b取得愈小愈好，在这里最佳可能是取b=4，故由(7),(9)及第七章(52）即得
[4] 3 N
|A |≥(1+o(1))8log c(N)
2 2
log N
这就证明了我们的定理。大家知道，为了证明命题{1，4}并不需要利用第七章定理10和第八章定理1这样强的结果（见引言）。这里之所以用了这样强的定理而仅得到命题{1,4}，是
[b]
由于我们利用了关系式(7), 即是把|A |直接和一个筛函数相联系起来的缘故。
Kuhn [65]首先提出了所谓“加权筛法”，利用这种方法使得一些问题在同样的筛函数估计及同样的余项估计下，
注释[65]:Kuhn,P,Zur Viggo Brun`schen Siebmethode .I,Borske Fid.Selsk.Forth,Trondhjem,14(1941),145-148
可以得到更好的结果。对于加权筛法，不少数学家进行过许多形式的研究和改进，这里我们将不作一般的讨论，而仅在下面结合具体问题对有关的加权筛法作一个简单说明。本章的结果都是运用加权筛法得到的，从中也可以看出它的本质和作用。现在我们来证明命题{1,3}。下面的引理是最简单的加权筛法。
引理1，设b为正整数，v为正数，v>b≥1，我们有
|A |≥ ∑ (1-ρ (a))+O(N ) (10)
a∈A 1
1/v
(a,P(N ))=1
其中
ρ (a)= ∑ 1
1 p |a,p|/N
1/v 1/b
N ≤p
注释：p|/N表示p不整除于N
及 P(z)= ∏ pp
1
0≤ρ (a)
我们设
(b) 1,v (a)≤b
λ (a)={ 2 0,v (a)>b2
2
[b] (b)
|A |≥ ∑ λ (a)
a∈A
利用(6)式我们容易推得
[b] (b) (b)
|A |≥ ∑ λ (a)= ∑ λ (a)+O(v(N))
a∈A a∈A，(a,N)=1
1/v 1/v
(a,P(N ))=1 (a,P(N ))=1 2 (b) 1-1/v = ∑ μ (a)λ (a)+O(N )a∈A，(a,N)=11/v (a,P(N ))=1
2 (b) 1-1/v
∑ (1-ρ (a)/2)= ∑μ (a)(1-ρ (a))+O(N )
a∈A，(a,N)=1 1 a∈A，(a,N)=1
1/v 1/v
(a,P(N ))=1 (a,P(N ))=1
在
2 1/v
μ (a)=1,(a,P(N ))=1,(a,N)=1
的条件下（这时v (a)=v (a))，我们有：
2 1
(1)若v (a)≤b，则
2
(b)
λ (a)=1≥1-ρ (a)/2
1
(2)若v (a)≥b+1,则一定有
2
ρ (a)≥2
1
所以亦得
(b)
λ (a)=0≥1-ρ (a)/2
1
综合以上结果就证明了（10）式，证毕。
定理2，命题{1,3}成立，且有
[3] N
|A |>2.64c(N)
2
log N
证：在引理1中取b=3,v=10,我们有 [b] 9/10 |A |≥ ∑ (1-ρ (a)/2)+O(N )a∈A 11/10(a,P(N ))=11/10 9/10 =S(A;P,N )-O /2+O(N ) (11)1
1/10 Q = ∑ S(A ;P,N ) (12)1 1/10 1/3 p N ≤p
1/10 N -r
S(A;P,N )≥20(1+o(1))c(N) e f(5) (13)
2
log N
再由第七章5（54）知，其中
-γ 4 dt t-1 log(s-1)
5e f(5)=2(log4+∫ ∫ ds) (14)
3 2 s 1/10
1 p
注意到该定理的附注2，
并取 1 2 1 1/2 -38 ξ = N log Np1
-γ log p v (d)
1/10 N e 1 1
S(A ;P,N )≤20(1+o(1))c(N) F(5-10 )+ ∑3 |r |
p 2 p logN d<ξ d
log N 1 1/10 p
d|P(N ) 1
N ≤p
其中e(1)随N→∞而趋于零，由于这里
1/10 1/3
N ≤p
以上所有余项r 均两两不同，故由第八章定理1的推论1及素数定理可得
d
p
1
logp
N -γ 1 1
Q ≤20(1+o(1))c(N) e * ∑ F(5-10 )
1 2 1/10 1/3 p logN
log N N ≤p
1 v (d) 2 1 + ∑ μ (d)3 |r |1/2 -38 dd≤N log N 1/3 logp N -γ N 1 1 N
2 1/10 ulogu logN 3
log N N log N
1/10 1/3
当N ≤u
<5-10 ≤4
3 log N
利用第七章5（51，（52）式，经计算可得
1/3 log p
-γ N 1 1
Se ∫ *F(5-10 )du
1/10 ulogu logN
N 4 5dt t-1 log(s-1) =2log8+2∫ ∫ ds 3 t(5-t) 2 s
(16)
N 4 (2t-5)dt t-1 log(s-1) N
∑ (1-(ρ (a))/2)≥4(1+o(1))c(N) (log2-∫ ∫ ds)+O( )
a∈A 1 2 3 t(5-t) 2 s 3
1/10 log N log N
(a,P(N ))=1
最后我们来计算上式中的积分，显然有 x dt 1
log x=∫ ≤ (x-1)(1+1/x) 1 t 2x-1 x-1≤ + ,x≥12 x+14 (2t-5)dt t-1 log(s-1) 4 (t-5/2) t-1 s-2 s-2 ds
2 t(5-t) 2 s 3 t(5-t) 2 2 s s 4 (t-5/2) 1 2=2∫ dt ( (t-3) + -1)dt 3 t(5-t) 2 t-1=11log2-6log3-1 (17)
[3] N
|A |≥4(1+6log3-10log2)(1+o(1))c(N)
2
log N
这就证明了我们的定理。
Richert[103][38]利用他的加权筛法得到了更强的结果；对充分大的偶数N有
[3] 13 N
|A |> c(N)
3 2
log N
注释[103]：Richert,H.E.,Selberg`s sieve with weights,Mathematika,16(1969),1-22
现在，我们对加权筛法来作一简单说明。比较（7）和（10）式，
[b]
可以看出，为了用筛法来估计|A |的下界，(7)式是直接去估计最简单的筛函数
S(A;P,z)= ∑ 1
a∈A
(a,P(Z))=1
而(10)式则是去估计“加权”的筛函数：
S(A;P,z,ρ)= ∑ ρ(a),
a∈A
(a,P(Z))=1
即对每一个元素a加上一个权函数ρ(a)(原来的可看做权函数ρ(a)≡1）后，在进行筛选，所以这种筛法称为“加权筛法”。从以上所证明的定理1和定理2可以看出，巧妙的利用加权筛法使我们可以得到更好的结果。
这里，重要的是选择权函数ρ(a)（定理2中是取ρ(a)=1-ρ (a)/2)
1
权函数ρ(a)的形式是多种多样的，它是由我们所考虑的问题来决定的。更为重要的是，引进权函数后，将使我们的估计（包括主项和余项二方面）大大复杂，例如从定理2可以看出，这时所要估计的不单是一个筛函数，而是一些筛函数的和（见（12）），因而在主项和余项估计中就都产生了新的问题和困难需要加以克服。事实上，第七章定理9及第八章定理1就解决了这里定理2中引进权函数ρ(a)=1-ρ (a)/2后，所产生的困难。
1
现在，我们来证明命题{1,2}，下面的引理就是程景润为了证明命题{1,2}而提出的新的加权筛法。
引理2：设b为正整数，v为正数，v>b≥2，我们有
[b-1] 1-1/v
|A |≥ ∑ (1-ρ (a)/2-ρ (a)/2)+O(N ) (18)
a∈A 1 2
1/v
(a,P(N ))=1
其中ρ (a)由引理1给出，
1
1/v 1/b
1,a=p p …p ,N ≤p
0，其它
证：和引理1的证明相同，我们有 [b-1] 2 (b-1) 1-1/v |A |≥ ∑ μ (a)λ (a)+O(N ) (18)a∈A,(a,N)=1 1/v (a,P(N ))=1(b-1)
∑ (1-ρ (a)/2-ρ (a)/2)
a∈A 1 2
1/v
(a,P(N ))=1
2 1-1/v
= ∑ μ (a)(1-ρ (a)/2-ρ (a)/2)+O(N )
a∈A,(a,N)=1 1 2
1/v
(a,P(N ))=1
1 1/v
在条件μ (a)=1,(a,P(N ))=1,及(a,N)=1之下（这时v (a)=v (a)),我们有
2 1
（1）若v (a)≤b-1，则
2
(b-1)
λ (a)=1≥1-ρ (a)/2-ρ (a)/2
1 2
（2）若v (a)≥b，则一定有
2
ρ (a)≥1
1
如果ρ (a)≥2，则有
1
(b-1)
λ (a)=0≥1-ρ (a)/2-ρ (a)/2
1 2
如果ρ (a)=1，这时一定有
1
v (a)=v (a)=b,
2 1
所以必有,
ρ (a)≥1
2
故得
λ (a)=1-1-ρ (a)/2-ρ (a)/2=0
1 2
综合以上结果即得（18）式，证毕。
定理3：命题{1,2}成立，且有
[2] N
|A |>0.62c(N)
2
log N
证：在引理2中取b=3,v=10,并利用（16），（17）式可得 [2] 9/10|A |≥ ∑ (1-ρ (a)/2)-Q /2+O(N ) a∈A, 1 21/10(a,P(N ))=1 N N
2 2 3
log N log N
其中
Q = ∑ ρ (a)= ∑ ∑ 1
2 a∈A,(a,N)=1 2 1/10 1/3 1/2 a∈A,a=p p p
1/10 N ≤p
1 2
这样，为了证明命题{1,2}，就只要估计Q 的上界，
2
由于a∈A时，a=N-p,p
∑ 1= ∑ 1
a∈A,a=p p p p=N-p p p
1 2 3 1 2 3
p 2 3 3 2 3 1 2 3
因而有
Q = ∑ ∑ 1 (21)
2 1/10 1/3 1/2 p=N-p p p
N ≤p
(p p ,N)=1
1 2
这就把原来Q 是估计元素a的个数转化为估计素数p的个数，我们考虑集合
2
1/10 1/3 1/2
E=[e:e=p p ,N ≤p
及
L={L:L=N-ep,e∈E,ep≤N},
显然有
N 2/3
|E|≤ ∑ ( )
N ≤p
及
13/30
e≥N ,e∈E, 13/30 2/3
我们还不难看出Q 不超过集合L中的素数个数，若仍取P={p:p|/N},
则由以上的讨论易知
2/3 13/30
Q ≤S(L;P,z)+O(N ),z≤N (22)
2
现在我们用最简单的Selberg上界筛法，即第七章4定理6来估计上式右边的筛函数S(L;P,z)的上界、这里的集合L和E就是第七章1例3所考虑的集合，故可取
N
X= ∑ Li
e∈E e d ω(d)= ,μ(d)≠0，(d，N)=1φ(d)
2 1/2 -B
z =D=N log N,B =248,
1
就有
1/2 X
S(L;P,D )≤8(1+o(1))c(N) +R +R , (23)
log N 1 2
其中 v2 1 R = ∑ μ (d)3 (d)| ∑ E (N;e,d,N)|1 d≤D e∈E 0(d,N)=1 (e,d)>1 v 2 1μ (d)3 (d)| N R = ∑ ∑ Li2 d≤D φ(d) e∈E e(d,N)=1 (e,d)>1
由于e∈E时，13/30 2/3N ≤e
v
2 1
R = ∑ μ (d)3 (d)| ∑ g(a)E (N;e,d,N)|
1 d≤D 13/30 2/3 0
(d,N)=1 N ≤e
其中,
g(a)= ∑ 1≤1
e=a
e∈E
故由八章定理2的推论2（并注意定理2的附注6，3及4）即得
N
R << (24)
1 3
log N
1/10
下面我们再来估计R 由于e∈E时，它的素因子不小于N
2
以及
v (q)
2 1 2
μ (q)3 2 d (q) NR ≤ ∑ ∑ g(a)Li2 q≤D φ(d) 2/3 ae∈E 1/10 (a,q)>N2 d (q) 1 1+ε 1 1≤N ∑ ∑ <
N
X=(1+o(1)) ∑
e∈E N
elog
e 1/3 1/2N dt (N/t) ds=(1+o(1))N∫ ∫1/10 tlogt 1/3 NN N slog slogtsN 1/3 log(2-3u)=(1+o(1)) ∫ du, (26)log N 1/10 u(1-u)
1logx≤ (x-1)(1+1/x),x≥1,2
3 (1-3u)(1-u) 1 1
log(2-3u)≤ , ≤u≤
2 (2-3u) 10 3
所以
1/3 log(2-3u) 3 1/3 1-3u
∫ du< ∫ du
1/10 u(1-u) 2 1/10 u(2-3u) 3= (2log 10-log 3-log 17) (27)4
3 N
X< (2log 10-log 3-log 17)(1+O(1)) (28)
4 log N
由（22），（23），(24),(25)及(28)式就得到了Q 的上界估计
2 NQ <6(2log10-log 3-log 17)(1+o(1))c(N) 2 2log N
[2] N
|A |>0.67c(N)
2
log N
最近，他进一步改进了Q 的结构，证明了[19]
2
[2] N
|A |>0.81c(N)
2
log N
注释[19]：On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes .Sci,Sin.16(1973),157-176,Ⅱ,Sei.Sin.,21(1978),421-430.
不断改进这里下界估计的系数是有意义的，但从圆法对偶数Goldbach猜想的探讨来看（见第十一章（9），（7）式），目前的结果仍是太小，可能要大于2才会有价值。从定理1、定理2到定理3，我们清楚地看出了加权筛法的作用。取ρ(a)=1(即不加权）时，我们仅能得到命题{1,4}，取
ρ(a)=1-ρ (a)/2,
1
就得到了命题{1,3}，而取
ρ(a)=1-ρ (a)/2-ρ (a)/2,
1 2
就证明了命题{1,2}，所以对同一个问题，选取不同的权函数就可以得到不同的结果。但是权函数取得愈复杂，我们的估计就愈困难。陈景润所提出的加权筛法的基本困难就在于实现对Q 的估计。
2
如果我们用估计定理2中Q （见12）的办法来估计由（20）所表示的Q ,
1 2
那就要去估计筛函数的和；
∑ S(A ;P,p }
e∈E e 2
对此，我们只能用第七章定理9去估计其中每一个筛函数，
2/3 1/3
但由于e∈E时，e
2
把原来是估计元素a的个数转化为估计素数p的个数，这样，他就利用最简单的Selberg上界筛法来估计Q ,并首先用他的极有创造性的方法，
2
克服了估计余项的困难，实现了对Q 的估计，并证明了命题{1，2}。
2
后来，我们[88-90]在命题{1,2}的简化证明中明确指出，
注释[88]：丁夏畦、王元，On the representation of every iarge even integer as a sum of a prime and almost prime,Sei,Sin.,18(1975),599-610.
注释89：潘承洞，丁夏畦，一个均值定理，数学学报，18（1975），254-262，数学学报，19（1976），217-218。
注释[90]：A new mean value theorem,Sei. Sin.,Special Issue(Ⅱ),1979,149-161.
估计Q 的关键实质上就是第八章的新均值定理——定理2，
2
这一点也可以从这里所给出的证明中清楚的看到。显然，利用陈景润的加权筛法不可能证明命题{1,1}，因为这时要在引理2中取b=2, 而这使得在估计主项和余项时出现至今仍然无法克服的困难。
下面的内容由陈景润证明，详细内容可参见陈景润手稿.
陈景润（1933年5月22日-1996年3月19日），出生于福建福州，数学家，中国科学院学部委员（院士），生前是中国科学院数学研究院研究员。
表大偶数为一个素数及一个不超过2个素数的乘积之和,
陈景润著（中国科学院数学研究院）
1.引言
当每一充分大的偶数都能够表示为一个素数及一个不超过a个素数的乘积之和时，则简记之为(1,a), 后来不少数学工作者改进了Selberg方法及Dinchlet.L函数的某些结果并用之改善(1,a)，现在我们将(1,a)发展历史写如下：
(1,5) (潘承洞[1],Барбан[2])
(1,4) (王元[1],潘承洞[4]，Барбан[2])
(1,3) (Барбан[6],A.И.Вннграов[7]))
本简报的目的是要给出证明(1,2)的提要，详细的证明将令文发表。
2.若干引理
1/10
命x是一个大偶数，命P (x,x )为适合下面条件的素数P的个数。
xP≤x,P≠x (mod P ),(1≤i≤j)i1/10 1/10
1/10
又命P (x,P,x )为适合下面条件的素数P的个数。
x),P≠x (mod P ),(1≤i≤j) (P≠P ) i
i
x 1 1
α β
1/10 α 1 β 1
x-P=P P P .P≤x,x ≤x P ≤x ≤x
1 2 3
1/10 1/3
命Q(x,x ,x )为适合下面条件的素数P的个数
1/10 1/3
x-P=P P P ,P≤x,x 其中P ,P ,P 都是素数1 2 3
x x-P=P 或x-P=P P1 2 3其中P ,P ,P 都是素数1 2 3
引理1：我们有
9.996xC
1/10 x
P (x,x )≥
x 2
log x -r P-1 1 C =2e ∏ ∏(1- )x P|x P-2 p>2 2P>2 (P-1)
引理2：我们有 15.355xC1/10 x∑ P (x,P`,x )≤
1/10 1/3 2
-r P-1 1 C =2e ∏ ∏(1- )x P|x P-2 p>2 2P>2 (P-1)
引理3:命ε是一个充分小的给定正数，则当1/2≤α+β≤α +β ≤2/3成立时有
1 1
r
2(1+ε)e C x(log(α /α)log(β /β)
x 1 1 x
P (α,α ,β,β )≤ +
x 2 2
(1-α -β ) log x log x
1 1
1 1 r 2 x
x 1 1 x 1 1 2
log x
1 1 r 2
x 1 1 1 1 x 1 1 x+2 log x
4.4xC1/10 1/3 xQ(x,x ,x )≤ 2log x
1.定理：每一个充分大的偶数x都能够表示为一个素数及一个不超过2个素数的乘积之和。
证：显然有
1/10 1 1/10 1 1/10 1/3 1/2
P (1,2)≥P (x,x )- ∑ P (x,P,x )- Q(x,x ,x )-x （1） x x 2 x 2 1/10 1/3 x
由（1）式及引理1到引理4即得到
0.098xC
x
P (1,2)≥
x 2
log x
故定理得证。
参考文献
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[2]Барбан М.Е. Арифметические Функчи наредкнх множествах, Вскпааы АкабемцНаук,8,9-11.
[3]王元，On the Representation of Large integer as a Sam of a Prime and an Almost Prime 中国科学V.11(1962)1033-1054
[4]潘承洞，О преяставпени четных чисеп в вияе суммы простого и непревохояшего 4 проиэвеяения中国科学V.12(1963),455-474.
[5]Барбан М Б Ппотнсть нупейь-рявов Вирихпе ы эавача о спожени простых и почти простьх чнсеп Маг-ематнческии СБорНник Т Е1(1963)419-485
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[7]Вннграяев А.И.О Ппатнстнои Гипотезе дпа Ц-равов Внрнхпе Изв Акая Наук СССР 29(1965)903-934
所以，设实数的分布函数是F(s)，它约等于偶数的分布函数，可以用它来表示偶数的分布函数
根据陈景润定理
陈景润定理如下：任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和。
F(s)=ξ(s)+2ξ(s)P (1,2)
x F(s)=ξ(s)[1+2P (1,2)]x
-s/2
ξ(s)=π (s-1)ζ(s)Γ((s/2)+1) s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 = +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx 2 1
0.098xCxP (1,2)≥ x 2log x
-r P-1 1
C =2e ∏ ∏(1- )
x P|x P-2 p>2 2
P>2 (P-1)
其中r是欧拉常数。
所以
F(s)=ξ(s)[1+2P (1,2)]
x s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 s
2 1 2
s log s
根据上面的推导，详细内容见斜率积分推导页
因为
2 4 6
a a a 6
f(x)=-lncosa+C= + + +o(a )
2 12 45
推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译
推导过程可参见《无穷小分析基础》,苏联，И.И普里瓦诺夫，C.A加里别伦著
上式中
tga=y=f(x)=u(x)=y/x,
a=arctgy`,
所以
sina d(cosa)
f(x)= ∫tgada=∫ da=-∫ =-lncosa+C
cosa cosa 2 4 6 arctg y` arctg y` arctg y` 6
2 12 40
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
F(s)=ξ(s)[1+2P (1,2)]
x
0.098xC
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 x
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+2 ]
2 1 2
s log x 2 4 6s-1 arctg y` arctg y` arctg y`
2 2 12 40
s 0.098xCx[1+2 ] 2log x
=tga，a=arctgy，
(-s/2)+(1/2) (s/2)+1
y`=(x +x )ψ(x) 2 ∞ -n πx
n=1
推导过程可参见《古今算学丛书，割圆密率捷法》，清光绪戊戌六月算学书局印成，清咸丰壬子年，蒙古族数学家明安图，湖北人戴煦识，夏鸾翔编写，1898年刘铎整理
f(x)=ln sec a+C=
2 4 6 8
a a 2 a 2 16 a 2 16 272
+ + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
2 4 6 8
arctg y arctg y 2 arctg y 2 16 arctg y 2 16 272
+ + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
上式中
tga=y=f(x)=u(x)=y/x,
a=arctgy`,
lnsinθ=-lncscθ, lncosθ=-lnsecθ, lgtgθ=lgsecθ-lgcscθ, lgctgθ=lgcscθ-lgsecθ,
所以
sina d(cosa)
f(x)= ∫tgada=∫ da=-∫ =-lncosa+C=lnseca+C
cosa cosa cos d(sina)
sina cosa
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
F(s)=ξ(s)[1+2P (1,2)]
x 0.098xCs-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 x
2 1 2
s log x s-1
2
s 2 4 6 8
arctg y 2 arctg y 2 16 arctg y 2 16 272
+ + + ]}
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78 0.098xCx*[1+2 ] 2log x
=tga，a=arctgy，
(-s/2)+(1/2) (s/2)+1
y`=(x +x )ψ(x) 2 ∞ -n πx
n=1
y=x*tga=
3 3 2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
2 4 27 2 4 27
y=x*tga=
3 3 2 2 3t 9t 27 2 3t 9t 27
2 4 27 2 4 27
或,
y=xtga= 3 3 2 2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
2 4 27 2 4 27
3
a 4
t=a+ +o(a )
3
这样就得到由导数的斜率tga构成的原函数y, 也就是通过上面的办法通过导数u(x)计算得到原函数f(x)。
上式中
y=tga， a=arctgy，
3
arctg y 4 t=arctgy+ +o(a )
3 2 ∞ -n πx
n=1
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
F(s)=ξ(s)[1+2P (1,2)]
x 0.098xCs-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 x
2 1 2
s log x s-1
2
s 3 3 2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
2 4 27 2 4 27 0.098xCx*[1+2 ] 2log x
y=tga， a=arctgy，
3
arctg y 4 t=arctgy+ +o(a )
3 3 arctg y` 4
+ +o(arctgy)
3 2 ∞ -n πx
n=1
上面得到的实数的分布函数可以用来描述虫洞模型，详细过程可参见虫洞分布函数页 第七部分 三素数定理的一个新的证明
潘承彪，生于1938年3月，数学家，原中国科学院院士、山东大学前校长潘承洞之第。
三素数定理的一个新证明
注释：本文于1975年8月5日收到
华北农机学院，潘承彪著
（一）在Hardy-Littlewood圆法的基础上，1937年H.M.Bнноградов[1]首先利用他所提出的估计素数变数的三角和的方法证明了任一充分大的奇数都是三个素数之和。它的通常称为Goldbach-Bнноградов定理，简称三素数定理。此后，IO.B.Лнннк[2]及H.Γ.Чудаков[3]利用L-函数零点密度估计给出了另外二个证明。
注释[1]:Bнноградов И.М.,Предсгаелене Нечегнне чнсла суммон грех Просгых чнсел,ДАН ccp (1937)291-294
注释[2]:Лннннк Ю.В.,О возможностн еднного мегода В Некоторых Вопросах “аддивной” И “Дистрибутивной” Теорин Простых чисел,ДАН СССР,49(1945),3-7
注释[3]:Чудаков Н.Г.(Тсhudakoff N。），On Goldbach-Vinogradov`s theoem,ANN.of Math.(2)48,(1947)515-545
最近，H.L.Montgpmery[4]及M.N.Huxley[5]仍用L-函数零点密度估计给出二个较为简化的证明，
注释[4]:Montgomery H.L.,Topics in Multiplicative Number Theory,Lecture Notes in Math. 227 ,1971
注释[5]:Huxley M. N., The Distribution of Prime Numbers,Oxford Mathematical Monographs.1972
但他们利用了复杂的L-函数的渐进函数方程和L-函数四次幂的均值公式↑。
注释↑：最近，Ramachandra K[7]对L-函数四次幂的均值公式给出了一个简化证明。
注释[7]:Ramachamdra K. A Simple Proof of the mean fourth Pouser esimate for S(1/2+it)and L(1/2+it,X) Ann , Sc. norm.Super.Pisa.Cl. Sci.,Ⅳ Ser.1(1974),81-97
本文的目的是不用Bнноградов方法及L-函数的零点密度估计，
而只用一些熟知的基本结果，对三素数定理给出一个新的简单的分析说明。
2πix
(二）本文中用N表示充分大的正整数，p ,p ,p ,p 为素数以及c(x)=e ,设
1 2 3 S(x,N)= ∑ e(px) (1)p≤N
注释：S(A;P,N)表示第七章中提到的筛函数，
那么N表示为三个素数之和的形式的个数为 1 3 r(N)= ∑ 1= ∫ S (x,N)e(-Nx)dx (2)p +p +p =N 0 1 2 3
设c为某一正整数，若
c -c
log N
-1
S(h/q.N)<
定理：设
N
T (x,N)= ∑ Λ(n)log e(nx) (5)
1 n≤N n
注释：Λ()表示数论中的卡迈克尔(carmichael)函数
定义：
当n为1、2、4、奇质数次幂、奇质数的次幂的两倍时为欧拉函数。当n为2，4以外的2的次幂时为它的一半。
φ(n) n=1,2,3,4,5,6,7,9,10,11
λ(n)={
φ(n)/2, n=8,16,32,64,128,256…
k k-1
欧拉函数有φ(p )=p (p-1)
由算术基本定理，正整数n可写为质数的积
a a a
1 2 w(n)
n=p p …p
1 2 w(n)
对于所有n,λ(n)是它们最小公倍数：.
a a a
1 2 w(n)
λ(n)=lcm[λ(p ),λ(p ),…,λ(p )]
1 2 w(n)
例子：
λ(8)=2
2
7 ≡1
注释结束.
若(a,h)=1,1≤q≤N，则
-1/2 10 3/4 1/4 13/2
T (h/q.N)<
由我们的定理就可推出（4），因而就证明了三素数定理。为此需要下面熟知的引理（见[4]定理6.2）
引理1：设X(n)是模q的特征，则
n +K n +K
0 2 0 2
∑| ∑ a X(n) | ≤(q+K) ∑ |a |
X n=n +1 n n=n +1 n
0 0
其中∑表示对全体模q的特征求和。
X
注释：模，又称范数。范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零正常度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。模的特征，即模代表的矩阵的特征值。特征值，是线性代数中的一个重要概念，是指设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特征值(characteristio valus)或本征值(eigenvalue)
q hL N N hL
T (h/q,N)= ∑ e( ) ∑ Λ(n)log + ∑ Λ(n)log e( )
1 L=1 q n≤N n n≤N n q
(L,q)=1 n≡L(q) (n,q)>1 1 2 = ∑ τ( X )X(h)ψ (N,X)+O(log Nlogq) (8) φ(q) X 1
q h
τ(X)= ∑ X(h)c( ) (9)
h=1 q Nψ (N,X)= ∑ Λ(n)log (10)1 n≤N n1
p|n p
在数论中，对正整数n,欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目。
注释结束。
由于τ(x )=μ(q)(X 为主特征），
0 0
-1
|τ(x)|≤√q (X≠X )及φ(q)>>qlog q,
0
故
logq logq
T (h/q,N)<< ψ (N,X )+ ∑ |ψ (N,X)|+log Nlog q (11)
1 q 1 √q X≠X 1
0
容易证明当α>1时
s
1 L N ψ (N,X)= ∫ - (s,X) ds 1 2πi (α） L 2 s s 1 α+i∞ L N
= ∫ - (s,X) ds (12)
2πi α-i∞ L 2
s
设A≤N为一待定常数，及
μ(n)X(n)
M(s,X)= ∑ (13)
n≤A s
N
其中μ(n)为Mobius函数，把
L`
- (s,X)分为[6]
L
注释.Mobius函数
下面的内容可参见《纯粹数学与应用数学专著》第7号《哥德巴赫猜想》，潘承洞，潘承彪著，科学出版社1981年出版
v (n)
1
(-1) ,n无平方因子；
μ(n)={
0.其他
Mobius函数是一种复杂的方程，也可以用数论中更复杂的情况来完成。它本质上是一种函数，它可以利用费马小定理来构建一个无限数列。这种函数简称为Mobius函数。Mobius函数是一种复杂的数论函数，它的定义如下： 1 当x为质数时μ(n)={ 0.当x为合数时-1，当x为平方合数时
注解[6]:潘承洞，丁夏畦，一个均值定理，数学学报18 ，4（1975），254-262
注解结束。
L L
- (s,X)= (s,X)(1-L(s,X)M(s,X))-L(s,X)(x,X) (14) L L 现取 -1 2 α=1+log N,B=[6log N],熟知有 L -3
- (s,X)=f (s,X)+f (s，X)+O(N ) (15)
L 1 2
其中,
Λ(n)X(n) Λ(n)X(n)
f (s,X)= ∑ ,f (s,X)= ∑ (16)
1 n≤A s 2 B s
A
由于在Res=1+log N上，L(s,X)<
故从（14），（15）得，在Res=1+log N上有
L -2 - (s,X)=f (1-LM)+f (1-LM)-LM+O(N ) (17)
L 1 2
由（12），（17）得
s
1 N -1
ψ (N,X)= ∫ [f (1-LM)+f (1-LM)-LM] ds+O(N ) (18) 1 2πi (α） 1 2 2 s 当X≠X 时，其中第一、第三项积分可移至直线Res=1/2上，故得 0 s s 1 N 1 N -1 ψ (N,X)= ∫ [f (1-LM)-LM] ds+ ∫ [f (1-LM)-LM] +O(N )
1 2πi (1/2） 1 2 2πi (α） 2 2
s s 1/2 sN N -1 << ∫ [|f |+|f LM|+|L`M|] |ds|+∫ |f ||1-LM| +O(N ) (19)(1/2） 1 2 2 (α） 2 2s s
1/2 1/2 2 1/2 4 1/4
∑ |ψ (N,X)|<
0 0 0 4 1/4 2 1/2 |ds| 1/2 2 1/2
* sup ( ∑ |M | ) ∫ ( ∑ |L | ) +N sup ( ∑ |M| )
0 0 |s| 0 2 1/2 |ds| 1/2 2 1/2 2 1/2 -1
(1/2) X≠X 2 Res=α X≠X 2 Res=α X≠X
0 |s| 0 0
（20）
注释：sup(x)是取上界函数，inf(x)是取下界函数，Res=1/2表示余数是1/2。
2 2
∑ |L(1/2+it X)| <
0 2 2
∑ |L`(1/2+it X)| <
0
可推得
2 1/2 |ds|
∫ ( ∑ |L |) <<√q log q (23)
(1/2) X≠X 2
0 |s| 2 1/2 |ds| 2 ∫ ( ∑ |L`| ) <<√q log q (24)(1/2) X≠X 2 0 |s|
q≤N,A≤N
(a)由（16）和引理1得
2 3
∑ |f (1/2+it,X)| ≤(q+A)log N (25)
X 1
(b)由（13）和引理1得
2
∑ ||M (1/2+it,X)| ≤(q+A)logN (26)
X
（c)由（16）得
a X(n)
2 n
f (r,X)= ∑
1 2 s
n≤A n 2 |a |≤d(n)log n n
4 2 8
∑ |f (1/2+it,X)| ≤(q+A )log N (27)
X 1
这里用到了
2
d (n) 4
∑ <
在(d)和(f)中亦要用此结果。(d)由（13）得
b X(n)
2 n
M (s,X)= ∑ ,|b |≤d(n)
n≤x 2 n
n
故从引理1及
2
d (n) 4
∑ <
得
4 2 4
∑ |M(1/2+it,X)| ≤(q+A )log N (28)
X
-1
(e)由（16）得当Res=1+lg N时
2 B-1 Λ(n)X(n) 2 B-1 Λ(n)X(n) 2
∑ |f (s,X)| = ∑| ∑ ∑ | ≤B ∑ | ∑ ∑ |
X 2 X j=0 j j+1 s j=0 X j j+1 s
2 A
2 B-1 j Λ (n) 2 6
<
2 A -1
c X(n)
n -1
1-LM= ∑ +O(N ),|c |≤d(n) (30)
B S n
A
1/2 1/2 2 1/2 4 2 7
∑ |ψ (N,X)|<
0
现取
1/4 1/4 3/2
A=N q log N
则由（11），（31）及ψ (N,X)|<
由我们的定理推得
引理2：设c是一大于42的整数，则当
c -c
log N
-4
T (h/q,N)<
(三)为了证明三素数定理，即证明（4）需要下面引理
引理3（1）：设c是一大于46的整数
注释（1）：
这引理是丁夏畦同志提出的，用下面的方法可得到关于T (x,N)的一个一般估计式。
1
丁夏畦，1928年5月出生于湖南省桃江县，1951年毕业于武汉大学，后进入中国科学院数学研究院。
T (x,N)= ∑ Λ(n)e(nx) (34)
1 n≤N
则当
c -c
log N
-2
T (h/q,N)<
-2
证：设λ=log N,则有
N+λN
T (h/q,N+λN)-T (h/q,N)=log(1+λ)T (h/q,N)+ ∑ Λ(n)log e(nx) (36)
1 1 0 N
-4
log(1+λ)T (h/q,N)<
由于当0
-1 -4 -2
T (h/q,N)<<λ Nlog N+λN<
证毕。
利用分布求和不难从引理3推得，当
c -c
log N
Λ(n) nh -3
∑ e( )<
（四）（21），（22）的证明，先证明（21），设
X≠X ,H=[q|s|],
0
及
F(x)= ∑ X(n)
H
F(x)<<√q logq
故
∞ X(n) ∞ dF(x) ∞ F(x) ∞ dx
∑ = ∫ =∫ (1/2+it) <<|s|√q log q ∫ <<√|s| logq
n=H+1 1/2+it H 1/2+it H 3/2+it H 3/2
n x x x
(41)
由此及引理1得
2 H X(n) 2 2
∑ |L(1/2+it,X)| << ∑ [| ∑ | +|s|log q]
X≠X X≠X n=1 1/2+it
0 0 n
2 2
<<(q+H)log H+q|s|log q< 第八部分 算筹计算电路
珠算与珠算盘是从“筹算”和“算筹”发展演变而来的。“算筹”是计算工具，也叫：策“，”筹“，”算“等等，一般用竹制成形状像筷子的圆形或方形的小竹棍，用算筹来计算叫“筹算”。用算筹来计算叫“筹算”。筹算时，把算筹搬来搬去，称为运筹。我国古代劳动人民利用这些算筹摆成不同形式，表示记数。如：把一根算筹摆在上面当五，下面每一根当一，空一位表示零。从左到右，由高位到低位排成横行。我们今天的算盘也具有这种特点。算筹反应多位数时用纵、横两种方式排列，图示如下：表示的数：1 2 3 4 5 6 7 8 9
算筹纵式：
纵横相间，便于辨认数码。
例如：三千六百七十二，可排成：
注意，用方框表示数字零。同时，我们可以像珠算口诀一样，来改变算筹纵横的位置，用LED发光二极管表示算筹，
例1，计算3+5=8
当开关S3闭合式，与门导通，三个纵放代表数字3的LED发光二极管发光。
当开关S5闭合式，与门导通，五个纵放代表数字5的LED发光二极管发光。
当S+开关闭合后，与门导通，后级的8个纵放LED同时发光。经过计数器，计数后得到数字8，所以后级的一个横LED导通，三个纵LED导通，显示计算结果8
当开关S2闭合式，与门导通，二个横放代表数字2的LED发光二极管发光。
当开关SB6闭合式，与门导通，一个横放代表数字5，5个LED发光二极管发光。一个纵放代表数字1，1个LED发光二极管发光。总共6个LED发光。
当开关SC1闭合式，与门导通，一个横放代表数字1的LED发光二极管发光。
当开关SD8闭合式，与门导通，一个横放代表数字5，5个LED发光二极管发光。三个纵放代表数字3，3个LED发光二极管发光。总共8个LED发光。
当SA-开关闭合后，与门导通，后级的6个纵放LED同时发光。8个纵放LED同时发光,
经过与门和非门的判断后输出2个高电平，在经过末级的或门判断后输出1个高电平。
前6个与门输入端都是高电平1，经过与门，非门判断后，输低电平0。
后2个与门输入端是1和0，经过与门，非门后输出高电平1，
非门的后级，两两之间接上或门，经过或门的判断后输出高电平1.。
四个高电平输入与门，经过两个与门，非门判断后输出0，同或门判断后输出1。
同或门输出高电平，后面的10个与门输出高电平，代表数字1010个与门前面的两个输入从前面计算得到的2个高电平，经过非门判断后输8。
经过计数器，计数后得到数字8，所以后级的一个横LED导通，三个纵LED导通，显示计算结果8 第九部分 筹算计算过程
四，定数
数自一至九并，共十位。筹有二面，五筹可满十数。其数以方数与筹上方数相乘。每方之中，既以对角线分而为二，即每方各成二位。右位即零数，左位即十数至第九筹第九方，九九相乘得八十一而止。第一筹，一面作零数，九方对角线之上各画一圈，一面作一数，九方对角线上顺画一二三四五六七八九数。
第二筹，一面作二数，第一方线右书二，第二方，线右书四，二筹二方，二二如四也，第三方线右书六，二筹三方，二三得六也，后推此，则第四方线右书八，第五方线右书〇，线左书一，二筹五方，二五得十。故左位一右位〇，以当〇数也，后推此，则第六方线右书二，线左书一。第七方线右书四，线左书一，第八方线右书六，线左书一，第九方线右书八，线左书一，一面作三数，第一方线右书三，第二方线右书六，第三方线右书九，第四方线右书二，线左书一，第五方线右书五，线左书一，第六方线右书八，线左书一，第七方线右书一，线左书二，第八方线右书四，线左书二，第九方线右书七，线左书二。
第四筹，一面作六数，第一方线右书六，第二方线右书二，线左书一，第三方线右书八，线左书一。第三方线右书八，线左书一，第四方线右书四，线左书二，第五方线右书〇，线左书三。第三方线右书八，线左书一，第四方线右书四，线左书二，第五方线右书〇，线左书三。第六方线右书六，线左书三，第七方线右书二，线左书四，第八方线右书八，线左书四。
第九方线右书四，线左书五，一面作七数，第一方线右书七，第二方线右书四，线左书一，
第三方线右书一，线左书二，第四方线右书八，线左书二，第五方线右书五，线左书三，
第六方线右书二，线左书四，第七方线右书九，线左书四，第八方线右书六，线左书五，第九方线右书三，线左书六。
五。定号
号者，应于面之左右两边厚楞漏出匣外者。记本面数目，〇至九共十号，其旁狭难书一二三四等字。始作横线如〇则无线一则一横线也，至五则结为一纵线以该之。如五则一纵，六则一纵一横，七则一纵二横也。各书本面之右，用时视其旁，即可得之。
六，平立方筹
亦与诸筹等，其一面平方筹，纵作二行，其右行九分，书一至九之数，为平方根，其左行九分，亦如小筹作对角线，以平方根数自乘之，各书根数之左，第一方线右书一，第二方线右书四。第三方线右书九，第四方线右书六，线左书一。第五方线右书五，线左书二。第六方线右书六，线左书三。第七方线右书九，线左书四。第八方线右书四，线左书六。第九方线右书一，线左书八。其一面立方筹纵作六分，右一分作一行，九方书一至九之数，为立方根中二分作一行。九方，书一至九各自乘之数，与平方筹同。左三分作一行。九方，每方止截左边三分之二，亦如小筹作对角线，是每方分为直角三边形，无法四边形各一也。而无法四边形之中。暗具一直角方形在右，一直角三边形在左。今止以左中右分之，以中行自乘之数再乘之各书方数之左。各立方数，第一方右书一，第二方右书八，第三方右书七，中书二。第四方右书四，中书六。第五方右书五，中书二，左书一。第六方右书六，中书一，左书二。第七方右书三，中书四，左书三。第八方右书二，中书一，左书五。第九方右书九，中书二，左书七。
注释：上面介绍的是计算立方时使用的算筹。这个算筹一边写的是2，4，9等上面九个数的平方，另外一边写的是1，8，27，64等上边1到9个数的立方。
一，乘法
乘数有实有法先将实数，依号查号，从左向右齐列。其两筹相并，所成平行线斜方形，合成一位，方形内之数并为一数矣。次以筹之方位为法数。如法数是五则，视两筹第五方。是九则视两筹第九方，即得数矣。若法有二数，则先查法尾所得数横列之。次查法首所得数进一位横列之。末用加法并之，得数，法有三数以上，依次推现。
解曰，乘者陛也。九九陛积之义也数有二一为实。一为法，可互用，大略以位数多者为实可也。用筹，则如实数列筹，自左而右次视法数，依筹之同数格上横取之，并得商数，列书之。更视次法，如前得次商数，进一位书初商之下。三以上放此，商毕，并诸商数，即乘得之数。假如八十三为实，以四乘之，先列八三两筹，视其第四格，八号筹下左半斜方有三两筹合一斜方有二一，并作三，三号筹下右半斜方有二，并为三百三十二也。
又如每银一钱耀米九升五谷。今有银三两五钱，问该米若干，则以三五为实，九五为法，先查实数二筹齐列。次视法尾五查二筹，第五横行内数是一七五另列，再视法首九查二筹第九横行内数有三一五，进一位列于前得数之下，并之得三三二五，该米三石三斗二升五谷。
查找3号筹和5号筹的第五个方框内的数是15，25。因为5+2=7，所以得到数175
查找3号筹和5号筹的第九个方框内的数是27，45。因为7+4=11，所以得到数315把315进一位，得到3150，用3150+175=3325，就得到3595=3325。
又如有米一斗，卖钱一百二十五文。今有米一十八石三斗，问该钱若干。则以一八三为实，一二五为法，先查实数三筹齐列，视法尾五，查三筹第五横行内数是九一五，另列次视法次二，查三筹第二横行内数是三六六，进一位列于前得数之下，次视法首一位，查三筹第一横行内数是一八三。又进一位列于前得二数之下，并之得二二八七五，该钱二万一千八百七十五文。
如法数有〇，则径作一，〇以当其位，再查法数如前，如六八三为实，三〇〇为法，则作二乃查三筹之第三，横行内数从二，〇左进书之，余放此。
二，除法
除法，有实有法有商，先将法数依号查筹，从左向右齐列，次于诸筹从上至下，查横行内连数之等于实数或略少于实数者，在第几行，即是初商数，如在第一行，即得数是一，在第九行，即得数是九也。次以查得之数减其实数，如已尽，则如止有初商，未尽则知宜有再商也，
有再商者，即再查横行内数之等于存实或略少于存实者。在第几行，即是再商数，又以查得之数减其存数，如前又未尽，则更有三商亦如上法，三以上放此，若初得已除实数未尽。乃实数次位无实，则知当有〇位，即作一〇以当次商。或三位俱无，则知得有二〇，即又作一〇以当三商。乃从后数查之，若虽有余数而其数小于法数，是为不尽法，法之数，用命分法。
解曰，除法者分率之法也。有实有法，先列实，次以法数平分之，故古九章法名为实如法而一，或者曰而一也，除法有二，一归除，一商除，商除者古法，归除则后来捷法，珠算可任用之。若书美筹莫，必独用商除也，用筹则先知如法数列筹。自左而右，别列实数，间筹之某格与实数相合者或略少于实数者，以减实，即初商数也，若未尽，即如前再商三商，以上皆如之。又未尽，则以法命之，假如列实一百〇八以三十六为法除之，简三六两签列之，视其第三格，六号签下，右半斜方有八，中各斜方有一九，共十，进一位成百，即一百〇八，除实尽也。
又如有米九升五，合价银一钱，今有米三石三斗二升五，合问该银若干，以三三二五为实，九五为法，先以法数二筹齐列，次于各行横数内求三三二，有则径减实数。无则取其略少者，二八五，以二八五减三三二，余四七五为实，而此二八五数乃在第三行，即三为初商数，次视第五行，有四七五，正与余实相等减尽，即五为次商数是三五为得数也，该银三两五钱。
若积数为八七二四八，尚有一〇六为余实，再欲细分，即用积数为八七二四八，尚有一〇六为子，法数三七四为母，即命为第二法，于余实一〇六后加一〇，依上法再分之得二，又加一〇，再分之得八，又加一〇，再分之得三，得数为二八三，凡三位即命为一千之二百八十三。
命分者，一大几何，已分几何，尚余几何，今应命此余者为几何分之几何也，又所余之小几何。再分得几何，今应命此得者为几何分之几何也，前解曰法数为母，余数为子，如法数一六八，余数四九，即命为一百六十八分之四十九。后解曰，得数为子，得数前位为母，如得数一位，则前位为十，得数六。即命为十分之六，得数二位则前位为百，得数三四，即命为百分之三十四，得数三位，则前位为十。得数二八三，即命为千分之二百八十三，得数四五位以上，推此，第前位定于一，数十则一十，百则一百，千则一千，万则一万。前一法即九章之命分法，亦即几何原本之命此法，后一法，即九章之小数，如衡有钱分厘毫量，有尺寸分鳌历，有分秒微知也。
开平方，有积数，有商数，商有方法。有廉法耦法，置积为实，从末位下作一点，向前隔一位作一点，每一点当作一商，次视平方筹内自乘之数，有与实首相等者，即除之。若无相等，则取其相近之略少者除之，但实首以左第一点为王。若点前无位，则自乘止于零数如一四九是也，若点前有一位则自乘应有十数，如十六至八十一是也。而此乘数在第几格，则第几数即初商数。如所用数是九，九为三之自乘，在第三格，即三为商数也。若有二点者，则以初商数倍之，如一倍为二，三倍为六也，即查所倍之筹列于方筹之左，如四倍为八，即取第八筹，九倍为十八。即取第一第八两筹也，次视诸筹横行内数之，与存实相等者除之，而次数在第几格，则第几数即次商，如在第五格，即五为次商也，不尽，以法命之三点以上放此。
.
解曰，开平方者，即自乘还原也，而法实相同，无从置哉。故以积求形，必用方廉偶三法，商除之，如有积一百，商其根，（根者一边之数，四边皆同）十。即盖实此独用方法，无用廉偶矣。若一百二十一，初商十，除实百，余二十一，则倍初商方根廉法，（任加于初商实一角之旁两边，故曰廉，两廉故倍初商根）次商一，以乘廉，得二十也，以一为耦法，实盖，则百二十一之积，开其根得十一也。在筹则右行自一至九者，即方根数也，左二行，即方根自乘之数。自乘之数止于二位，故隔一位作点，查实下作几点，知方根当几位也，法先于左第一点上，一位或二位为乘数。平行求得其根适足则已，不合，则用其少者，余实以待次商也。左点或一位或二位者，点在实首，则乘数为单数，点在实首之次位。则乘数为十数也。乙为方积也。不尽为二点之实。以初商根倍之为廉法，甲丙之长边也，次商若干，即以为耦法，丁方之一边也，并二廉一偶法，以除实甲乙丙丁平方也，不尽，三商之商而不尽者，以法命之，其筹法先列本筹，得初商，次商则列廉法筹于本筹之左。本筹之自乘数，即偶积也，其根耦法也，次查所列筹何格中，平行并数可当廉法之几倍及耦法方积，得其根，
以除实，即得，设实下有二点，则左一点之根为十数。右一点之根为单数，故廉法筹为千数，本筹数为单数也，三点以上放此。
2 2 2
(a+b) =a +2ab+b
上式中，a=20,b=5,a+b=25,
即
2
625=25
可以用下面的公式表示上面的计算过程
2 2 2 2
(a+b+c) =a +2ab+2ac+2bc+b +c
上式中，a=800,b=0,c=7,a+b+c=807,
即
2
651249=807
其商而不尽者，以法命之，则有二术，其一，如前第一，六十六万二十七百四十九，如前三商得根八百一十四，余积一百五十三，更商一，当倍廉加偶得一千六百二十八，今不足，则命为未尽者，一千六百二十八之一百五十三也。
注释：用算筹计算662749的平方根的过程，所以，得到开方结果814，余数为153814乘以2等于1628，所以得到的开放结果是814（153/1628),
一
二六六五三
六六，二七，四九，
余，一六二八，一五三
倍，一六，七六二
根，八一四
六四七一九五一
一五三零零零零零零
倍，一六二八，一六二八〇，六二八一八
根，八一四，〇百，九十，三单
注释：用算筹计算60的平方根的过程，先在方筹内查找和60相近的数，得到60在49和64之间，因为77等于49，得到开方数的第一位数是7, 在用60减去49得到11, 7乘以2等于14，，14加1等于15，所以，得到开方结果7（11/15)
4949=2401, 2401+152=2431, 15*15=225,
[7 ]=49 =59
2 225 225
15(48*48+14) 2318 162
2 225 225
15
其一，欲得其小分，则通为小数，如前第二法更开之，当于余积之右加两圈（是原积之一圈为百也），如法问之，得根数，当命为一十分之几分也，或加四圈（是原积之一化为万也），得根数，命为一百分之几分也，或加六圈（一化为百万），得根，命为一千分之几分，或加十圈（一化为一百万）得根，命为十万之几分也。如图原积六六二七四九，已商得八一四，不尽者一五三，欲得其细分，加六圈（是一百五十三化为一万五千三百〇十〇万〇千〇百；〇十〇也），更开得数，为零九三，因空位六，则命为一千分之〇百九十三也，欲更细更加空位，终不能尽，何故，六十者本无根之方也。
注释：用算筹计算662749的平方根的过程，得到结果814，余153, 153开方得到93/1000, 得到结果814*(93/1000).
假如有积四千九百一十三，别列为实，从末位三，向前，隔二位各作一点，即知商二位也，点在实首，四为单数，视立方筹内再乘之数无四，下八过实，用其上一，实之近少数也，平行向右取一，为方法，即方根，另列之，为初商即以一千减四千存三千，以并次点之实，得三九一三为余实。次用初商一自乘为平廉面，而三倍之，三平廉，得三百为平廉法，
亦名倍方数，取三号筹列立方筹左，又以初商一十。三倍之，一者长廉边，三长无故三倍，得三为长廉法，亦名倍根数，取三号筹列立方筹右，于列筹，立方筹与平方筹也，
内并数，取其少于余实者为约数，第其中有长廉之实，不得过少，又不得多，多者如第九格遇三四二九，以为约数，近少矣。另列之，向右平筹自乘数内平行取八十一，乘于长廉法三，得二百四十三，列近少数三四二九，下，进一位，并得五八五九，则多于余实也，至第七格，
遇二四四三，以为约数，另列之，向右平筹自乘数平行取四十九，以乘长廉法三，得一百四十七，列近少数（二四四三）下，进一位，并得三九一三，除实尽（平廉筹之二千一百，平廉实也，立方筹之三百四十三，立偶积也，平方筹之四十九，长腰两端之面也，以乘长廉法三十，得一四七长廉积也，诸筹之上，一一分明）, 平行球其根，得七，即七为次商也，得总立方根一十七。
在方筹内查找，得到7格数为49，乘以3得到147, 1470乘以10，再加上2443等于3913，这样就得到开立方数的末尾数是7, 可以用下面的公式表示上面的计算过程,
3 2 2 2 3
(a+b) =a +3a b+3ab +b
即
3
4913=17
又如积九百一十五万九千八百九十九，别列为实，从末位九，向前隔二位作一点。凡三点，当商三位也，点在实首，九为单数，视立方筹内再乘之数无九，下二七过实，用其上八，实之近少数也，平行向右取二为方法，另列为初商，即以八减九存并下位得一一五九为余实，次用初商二，自乘二三倍之得一十二为平廉法，取一号二号两筹列立方筹左，又以初商二，三倍之得六为长廉法，取六号筹列立方筹右。于列筹（立方与平方廉共三筹）内并数，取其少于余实为约数，试之而无有（最少者为第一个之一二零一）则知商有空为于初商，下作圈以当次商，复开第三点之余实为一一五九八九九前两商二〇（百十也），自乘的四零零（四万也）, 三倍之为一二零零（一千二百），以数取四筹为平廉法列立方筹左，前商二〇，三倍之得六〇，取二筹为长廉法列立方筹右，于列筹（立方与平廉共五筹），内并数，取其少于余实者为约数至第九方格，方得一零八零七二九，另列之，向右平筹自乘数平行取八十一，以乘长廉法六十，得四八六〇列近少数（一零八零七二九）下，进一位，并得一一二九三二九余实，不尽三零五七〇，其三商平行取根，得九，并初二商，得立方根二零九，不尽者更欲细分之，则用命分第二法，于余实后加三圈，得三〇五七零零零零为余实，依上法再开之，以前商二〇九自乘为四三六八一，又三倍之，为一三一〇四三，取此六筹，列方筹左，为平廉法，又以前商二〇九，三倍之为六二七取此三筹列方筹右，为长廉法，于列筹（左筹六）内并数，取其近少为约数，试之至第二格，遇二六二零八六〇八，为近少于余实（三〇五七零零零零）, 另列之，向右平筹自乘数内平行取四，乘于长廉法六二七得二五〇八，列近少数（二二零八六六零八）下进一位，并得二六二三三六三一二，即取右根二为商数，依法命为一十分之二分也，若欲在开则余实后又加三圈，得四三六三一二零零零为余实，依上法以前商二〇九二自乘为四三七六四六，又三倍之，得一三一二九三九二，
3 3 3 3 2 2 2
(a+b+c) =a +b +c +3a c+3ab +3ac +6abc
上式中，a=200,b=0,c=9,a+b+c=209,
即
3
9159899=209.233 第九部分 筹算计算电路
又如每银一钱耀米九升五谷。今有银三两五钱，问该米若干，则以三五为实，九五为法，先查实数二筹齐列。次视法尾五查二筹，第五横行内数是一七五另列，再视法首九查二筹第九横行内数有三一五，进一位列于前得数之下，并之得三三二五，该米三石三斗二升五谷。
下面的电路按照上面的计算过程进行计算，电路通过与门进行判断，寄存器保存数据，加法器进行计算，
当开关s3闭合，与门导通，将3号算筹中的数字保存到相应位置的寄存器中，
当开关s5闭合，与门导通，将5号算筹中的数字保存到相应位置的寄存器中，
数码管显示电路，数码管编码器，千位计算结果寄存器，加法器，末位数据寄存器，进位数据寄存器，万位计算结果寄存器，加法器将5+2=7，将15，25两个数变成175，加法器将4+7=11，将27，45两个数变成数315，加法器将3150+175=3325，就是35*95的积。
开关SB5闭合，与门导通，将3号和5号算筹中的第五栏中的两个数据接入电路进行计算。，开关SB9闭合，与门导通，将3号和5号算筹中的第九栏中的两个数据接入电路进行计算。，
当开关s9闭合，与门导通，将9号算筹中的数字保存到相应位置的寄存器中。
当开关s5闭合，与门导通，将5号算筹中的数字保存到相应位置的寄存器中。
数字2的二进制编码，代表第2#方框，
数据大小比较器将4和上面第9筹的3#，5#，7#，9#等等寄存器里面的数据相互比较，如果相等输出4。
数据大小比较器将4和上面第9筹的3#，5#，7#，9#等等寄存器里面的数据相互比较，如果相等输出4。
. 数据大小比较器将4和上面第9筹的3#，5#，7#，9#等等寄存器里面的数据相互比较，如果相等输出4。
数据大小比较电路，将输出的两组5相比较，如果相等输出数字5。十位计算结果寄存器，
两数相减，得到的数据进行平方计算，如果是负数，平方后得到正数，开方后得到正数，加上原来的负数，输出0。
两数相减，得到的数据进行平方计算，如果是正数，平方后得到正数，开方后得到正数，加上原来的正数，输出正数。
如果加法器输出0，或门输出1，与门输出1，状态寄存器A保存1，证明两数相减得到的是负数，反之，则是正数。
减法器，平方计算电路，开方计算电路，加法器，或门，与门，状态寄存器A。
将数据-p1和-q1相互比较，如果两者相等，则停止计算，将数据-p1和数据-q1相减，如果等于0或门输出高电平，非门输出低电平，与门截止-p1,-q1不会到下一级电路，计算停止。将数据-p1和数据-q1相减，如果不等于0或门输出低电平，非门输出高电平，与门导通-p1,-q1进入到下一级电路，继续计算。
数值-p1寄存器，减法器，或门，非门，与门，与门，状态寄存器A。 第十一部分 古筹算考释计算电路
乘除
《孙子算经》曰，凡乘之法，重置其位，上下相观，上位有十步至十，有百步至百，有千步至千，以上命下，所得之数，列于中位，言十自过，不满自如，上位乘讫者，先去之，下位乘讫者，则俱退之，六不积，五不复，上下相乘，至尽则已。重置其位者，置实于上，置法于下，空留中位，以待乘得之数也。上下相观者。法与实单当，单十当十也，步者，进法数于实首位之下，以定乘出之位也。以法单位当所乘位，法单位下如有奇零不计。言十即过不满自如者，上下相呼满十者，过法数前一位置之，不满十者，如法数本位置之也，一一如一，二二如四，如字之解九是，乘讫去上位，退下位者，实首位既乘八毕，收去不用，退法以当实次位而二木之也。相乘至尽，上下俱收，中位所得，乃乘出之数也。
注释：上面一段话的描述的是通过算筹计算两个数相乘的过程，这种计算方法和我们现在用笔算计算两个数相乘的过程是相同的。我们用笔算计算两个数相乘的过程如下，两个数相乘，先用被除数和乘数的个位，百位，千位等相乘，得到的数相加就是两个数相乘的结果。
又曰凡除之法与乘乘正异。乘得在中央，除得在上方。假令六为法，百为实，以六除一，则法多而实少，不可除。故当退就十位，以法除实，言一六而折百为四十，故可除。若实多法少，自当百之。不当后退。故三步法十者置于十位，百者置于百位。上位有空本位，法退二位。本位皆如乘时，实有余者，以法命之，以法为母，实为子，
乘得在中央，除得在上方者，除法置实于中。置法于下，得数在上，除之实数，即乘之得数，故在中，除之得数，乃乘之实数，故在上，还原之理也。其步法，实满法者，进法首齐实首，实不满法者，实法首退实首一位，步定乃商之，视实足法几倍，即商几数。置之上位，凡商恒当法单位，不步者，法单本在单，即商单。步进一位者，法单在十，即商十，步进二位者法单在百，即商百，千万以上者皆然。故曰步法十者置于十位，百者置于百位也。与乘法以法单当所乘正相对待，商定以商典法相呼而除实。言十即遇不满自如，与乘法同，除法古谓之实如法而一，言实首如法者一为一，有如法者几则为几，即此商除之理也。除已，退法一位，再商除之，一退实仍不满法者，再退之，商数当空一位，所谓上位有空绝者法退二位也。除实适尽收去法数，上商即得数也，
原书注释：
凡除法至单而至，其有除至单数，而何有不尽之所实者，着再退位商之，其数奇零，修多能尽，故立命为之法，其法以法数为分母，以不尽之余实为分子，命之曰几分之几母者，将一整数刻为若干零分之母知此子者，为商中零分之几分也。注释结束。
故曰实为余者，以法命之，以法为母，实为子。
孙子算经曰，九九八十一自乘，得几何，答曰，六千五百六十一，术曰，重置其位，以上八呼下八，八八六十四，即下六千四百于中位，以上八呼下一，一八如八，即于中位下八十，退下位一等，收上位八十，以上位一呼下八，一八如八，即于中位下八十，以上为一呼下一，一一如一，即于中位下一，上下位俱收中位，即得六千五百六十一。
置银二百五十四两于中位，为实，置十九人于下位，为法，步进一位而商之，商一，置一于上十位，以上一呼下，于中位除去一百九十。余六十四，为次商实，退下位一等而商之，商三，置三于上单位，以上呼下，于中位除去三十，二十七，上商得一十三两，中实除七已至单位，最再退下位而商一，当得三钱六分八里四毫二丝一白，省当修不能尽，故商之单位为下必再除，便命下法十九为分母，中位实七为分子，是为各十三两零十九分两之七也。每人得十三两，又等每一两分为十九分中之七分，皆上位整数，下位分母也，皆为分子也。
上面描述的是下面的计算过程，
254/19=13*(7/19)，254-190=64。64-19*3=7。
九章算术曰，今有积五万五千二百二十五步，开为方几何，答曰，二百三十五步。古法草曰，置积五万五千二百二十五步于上，为实，中空一层，借一算置于下，乃步之，超一等进至百，再超一等进至万，是为万之面百，议得二百，置二于实上百位，是为议所得，即初商也。空初商法视借哉可步上实数足几数之自乘，即商即，合实数五足二二自乘数四，故实为二，
以乘所借一算，一二如二，置二百于实万下，是为实法，即方法也，以议二百与法二百相乘，二二如四，于实中除去四万，所谓议所得以一乘所借一算为法，而以除也。余实一万五千二百二十五，为次商实，乃倍方法二百为四百，退一等，置千下，所谓除已倍法为定法，其后除折而下也，以所借哉超一等退至百，是为言百之面十，议得三十，置三于实上十位，是为复议，即次商也，（空次商法以方法约实足几倍，即商几命实数十五足方法，四之三倍，故空为三三商以后仿此）。
以乘借算，一三如三，得三十，副置之，以加定法，得四百三十，以议三十与之相乘，三四一十二，三三如九，与实法中除去一万二千九百，所谓所得副以加实法以除也，余实二千三百二十五，为三商实，乃以副置之三十加于实法，得四百六十，退一等，置于百下，以借算超一等退至步，议得五步，置五与实上单位，即三商也，以乘借哉。一五如五，加定法，得四百六十五，以议五与之相乘，四五二九五六三十，五五二十五，共二千三百二十五，以除实，适尽，所谓以所得副从定法复除折下如前也，乃收去方法，及借算，上议二百三十五步，即方也。
注释：用算筹计算55225的平方根的过程，从55225的末位5开始，隔一位做一点，即作三点，得到开方数为3位数，先在方筹内查找和5相近的数，得到4在4和9之间，因为2*2等于4，得到开方数的第一位数是2，在用55225减去40000得到15225，2乘以2等于4，，3乘以4等于12小于15，所以得到开方结果的第二位数是3。430乘以30等于12900，15225减去12900等于2325，430加上30等于460，465乘以5等于2325。所以，得到开方结果435。
可以用下面的公式表示上面的计算过程，
2 2 2 2
(a+b+c) =a +2ab+2ac+2bc+b +c
上式中，a=400,b=30,c=5,a+b+c=435
即
2
55225=435
注释：用算筹计算55225的平方根的过程，
22=4，55225-40000=15225，34=12，15225-12000=3225，45=20，3225-2000=1225，56=300，1225-300=925，55=25，925-25=900，33=9，900-900=0。
可以用下面的公式表示上面的计算过程
2 2 2 2
(a+b+c) =a +2ab+2ac+2bc+b +c
上式中，a=400,b=30,c=5,a+b+c=435，
即
2
55225=435
此实偶商法后，以方为母，即不加借哉命分法也。
置积二十三万四千五百六十七步于上，为实，中方空，借一算于下，为偶步进二次，商四，以商乘偶得四，置于中位为方，以商乘方得一六，以除实余七万四千五百六十七，为次商，实以商乘偶得四，入方收八，方退一，偶退二，商八以商乘偶得八，入方得八八，以商乘方法得七〇四，以除实余四千一百六十七，为三商实，以商乘偶得八，入方得九六，方止一，偶退二，商四，以商乘偶得四，以商乘方得三八五六，以除实余三百一十一，为分子，以商二得四，入方得九百六十八，为分母收方偶哉，即得四百八十四步九百六十八分步之三百一十一也。
注释：用算筹计算234567的平方根的过程，
44=16，234567-160000=74567，80+8=88，888=704，74567-70400=4167，348=96，960+4=964，4167-3856=311，960+4*2=968，400+80+4=484，
可以用下面的公式表示上面的计算过程
2 2 2 2
(a+b+c) =a +2ab+2ac+2bc+b +c
上式中，a=400,b=30,c=5,a+b+c=435，
即
311 2
324567=(484 ）
968
tga=y=f(x)=u(x)=y/x，
函数f(x)的导数u(x)等于切线的斜率，
tga=u(x)，tga=sina/cosa，
导数等于微分，微分积分后变成原函数，即 f`(x)= tga=f(x)
(x)， 根据泰勒展开 3 5 2n+1 x x n x 2n+2 arc tg x=x- + -...+(-1) +o(x ) 3 5 2n+1 所以, 3 5 2n+1 f (x) f (x) n f (x) 2n+2
a=f(x)- + -...+(-1) +o(x ) 3 5 2n+1 方法1, 推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译 推导过程可参见《无穷小分析基础》,苏联，И.И普里瓦诺夫，C.A加里别伦著 因为, tga=y=f(x)=u(x)=y/x, a=arctgy,所以,
sina d(cosa)
f`(x)= tgada= da=- =-lncosa+C
cosa cosa
根据泰勒展开
2 5 6 2m
a a a m a 2m+1
cosa=1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
所以,
2 5 6 2m
a a a m a 2m+1
f(x)=-lncosa+C=-ln[1- + - -…+(-1) +o(a )]+C
2! 4! 6! (2m)!
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册
6
9)写出函数ln cos x的展开式至x 的项。根据5) 1 2 1 3 3
2 2 1 2 1 3 6
2 2
所以,
1 2 1 3 3
f(x)=-lncosa+C=(cos a-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) )
2 3 1 2 1 3 6
2 3 2 4 6 a a a 6
2 12 40
推导过程参见《高等混合算学下册》，商务印书馆1925年出版，梧兹（Woods），巴雷（Bailey）著，长沙易俊元译, tanudu=logsec u +C
cotudu=logsin u +C
所以, sina d(cosa) f`(x)= tanada= da=- =-lncosa+C=lnseca+C cosa cosa
cosa d(sina)
f(x)= cotada= da=- =lnsina+C sina csina 因为, tga=y=f`(x)=u(x)=y/x,
所以, f(x)= tgada=logsec a +C
2 3 5 n
x x x n-1 x n
ln(1+x)=x- + - -…+(-1) +o(x )
2 3 4 n
所以,
1 2 1 3 3
ln sec x=ln[1+(sec x-1)]=(sec x-1)- (sec x-1) + (sec x-1) + o((sec x-1) )
2 2 1 2 1 3 6
2 2
所以,
1 2 1 3 6
f(x)=lnseca+C=(sec a-1)- (sec x-1) + (sec x-1) +o((sec a-1) )
2 2 1 2 1 3 6
2 2
因为,
2 5 6 2m
a a a m a 2m+1
cosa=1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
lnsinθ=-lncscθ, lncosθ=-lnsecθ,
所以, 2 5 6 2ma a a m a 2m+1
2! 4! 6! (2m)!
因为, 推导过程可参见《古今算学丛书，割圆密率捷法》，清光绪戊戌六月算学书局印成，,
清咸丰壬子年，湖北人戴煦识，夏鸾翔编写，1898年刘铎整理
当45°≥θ>0°时, 2 4 6 8 θ θ 2 θ 2 16 θ 2 16 272
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78 10 2n S θ 2 16 272 7936 θ n
+…+ 2 3*4 5*6 7*8 9*10 2 (n+1)(n+2)...*2n
S *(2n-2)(2n-1) S (2n-2)(2n-1)
n-2 n-3
S 2n(2n+1) 2n(2n+1) 2n(2n+1)
n-1 12
S = - + …-2
n 12 34 56
2 S =2
1
-22=16 S =16
12 2
20
- +24=272 S =272
12 3*4 3
336 70
- + -24=7936 S =7936
12 34 56 4
9792 2016 168
- + - +25=353792 S =7936
12 34 56 78 5
436480 89760 7392 330
当67.5°≥θ>45°时
lnsecθ=lnsec(2θ-90°)-lnsec(90°-θ)+ln2,
当78.75°>θ≥67.5°时
lnsecθ=lnsec[2(2θ-90°)-90°]-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+2ln2,
当84.375°>θ≥78.75°时
lnsecθ=lnsec[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+3ln2,
当85.375°>θ≥84.375°时
lnsecθ=lnsec[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+4ln2,
当86.375°>θ≥85.375°时,
lnsecθ=lnsec[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+5ln2,
当87.375°>θ≥86.375°时,
lnsecθ=lnsec[2[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec8(90°-θ)-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+6ln2,
当88.375°>θ≥87.375°时,
lnsecθ=lnsec[2[2[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec12(90°-θ)-lnsec10(90°-θ)-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+7ln2,
所以,
f(x)=ln sec a+C=
2 4 6 8
a a 2 a 2 16 a 2 16 272
+ + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
所以,
f(x)=lnseca+C-lncosa+C=
2 4 6 2m
a a a m a 2m+1
-ln[1- + - -…+(-1) +o(a )]
2! 4! 6! (2m)!
因为, y=tga, 所以, a=arctgy,所以,
f(x)=ln sec a+C=
2 4 6 8
arctg y arctg y 2 arctg y 2 16 arctg y 2 16 272
+ + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 7*8
所以,
f(x)=lnseca+C=-lncosa+C= 2 4 6 2marctg y` arctg y` arctg y` arctg y` 2m+1
2! 4! 6! (2m)!
上式中 2 3 4 5 (1-N) (1-N) 2 (1-N) 2 3 (1-N) 2 3 4
2 2 3 2 3 4 2 3 4 5
n
(1-N) 2 3 4 n-1
+…+ … ]
2 3 4 5 n
上式中，N<1
当N>1时，
m
lgN=m-[(1-N/10 )+ m 2 m 3 m 4 m 5
+ +
m n
+…+ … ]
2 3 4 5 n m
例如：
推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译 3 3 3
3 3 3 6 3 x 1+x dx= (t -1)t*3t dt=3 (t -t )dt=7 4 3 7 3 4
3 x 1+x dx=ln sec a+C=2 4 6 8
arctg y 2 arctg y 2 16 arctg y 2 16 272
+ + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78 3 2 3 4 3 6
= + + +
2 2 34 2 34 5*6 3 2
3 x 1+x dx=-ln cos a+C=2 4 6 2marctg y` arctg y` arctg y` arctg y` 2m+1
2! 4! 6! (2m)! 3 2 3 4 3 6 3 2marc(x 1+x ) arc(x 1+x ) arc(x 1+x ) arc(x 1+x )
2! 4! 6! (2m)! 3 2m+1
y =1/x
x y
也就是说原函数的导数等于1除以反函数的导数, 上面等式左右两边同时积分，得 dx= dy/x
x y
x y
也就是说原函数等于反函数绝对值的自然对数,
-1
设y =f(x),反函数为x =f (y)
x y
-1
f(x)=ln│f (y)│+C
因为,
f(x)=-lncosa+C=
2 4 6
a a a 6
= + + +o(a )
2 12 40
上式中tga=y=f(x)=y/x,
f(x)=-lncosa+C=
2 4 6
a a a 6 -1
= + + +o(a ) =ln│f (y)│+C
2 12 40 2 4 6 a a a
[ + + ]
f (y)=e
2 4 6
b b b
[ + + ]
-1 2 12 45
f (x)=e
上式中
-1
tgb=f (y)=x/y 第二部分通过导数斜率计算积分的方法 推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版 一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率tga=y=f`(x)=u(x)=y/x，
函数f(x)的导数u(x)等于切线的斜率tga=u(x)，tga=sina/cosa，
根据泰勒展开
3 5 7 2m
a a a m-1 a 2m
sina=a- + - -…+(-1) +o(a ) (a→0)
3! 5! 7! (2m)! 2 4 6 2ma a a m a 2m+1
2! 4! 6! (2m)! 3 5 7 2m-1a a a m-1 a 2m
3 5 7 2m-1
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册
3
a 4
tg a=a+ +o(a )
3 3 a 4
3
或者，
推导过程可参见三角函数计算页
u(x)=tgα=2√2kα/π，
上式中，k=1.3，或，
3 2
k=0.33α +0.5α +α+1
或者，
推导过程可参见《古今算学丛书，圆率考真》，光绪戊戌六月算学书局印，
推导过程参见三角函数的求法缀术页， 2 2 4α/π(2-8√2α/π+32α /π )
2 2
1-4α/π(2-8√2α/π+32α /π ) 2 2 α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )
2 2
1-α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π ) 2 2 α3√2/π(2-12α/π+36α /π )
2 2
1-α3√2/π(2-12α/π+36α /π )
或者，
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册，
推导过程参见惠更斯公式页， 2 2 8+6α ±2 4-2(-3α +16)
2
2± 4-2(-3α +16)
或者，
推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰，
收录于《白芙堂算学丛书》，推导过程参见数学拾遗页，
4 3 2
tgα≈7.5*(0.3α +0.2α +0.2α +0.2α+1)/2*1.01537228απ
或者
3 5 7
α α α
tgα=α+ + +
3 60 630
tga=sina/cosa=
3 5 7 2m
a a a m-1 a 2m
a- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m)! 2 4 6 2ma a a m a 2m+1
2! 4! 6! (2m)! 3 5 7 2ma a a m-1 a 2m
3! 5! 7! (2m)!
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