素数p阶群乘法循环群啥意思_抽象代数2-3 群元素的阶和循环群
研究一个群，自然的想法是先从最简单的一个元素"a" 开始，与"a" 有关的自然是a和自己以及它的逆的一些运算构成的幂
一、群元素的阶
研究一个群，自然的想法是先从最简单的一个元素"a" 开始",与"a" 有关的自然是下面的元素：
第一个自然的想法是：a的幂和最特殊的元素---单位元e有没有关系？
定义1（群元素的阶） 设a是群G中的一个元素，使得的最小正整数n称为a的阶，记作|a|. 若这样的n不存在，则称a是无限阶的,记为|a|=+∞。注： （1）单位元|e|=1； （2）
； （3）
.
第2条
例1：整数加群中0的阶为1，1的阶为+∞。
例2：4次单位根群 G={1,-1,i,-i}中
观察
定义2：若群G中每个元素的阶都有限，则称G为周期群；若G中除e外，其余元素的阶无限，则称G为无扭群；既不是周期群也不是无扭群的群称为混合群。
定理1：有限群中每个元素的阶都有限 。
证明：处理有限群的方法我们用过很多遍了，就是形式地写出很多个元素，其中必有相等的元。例如此定理：中必有相等的，设
，则
注：无限群中元素的阶可能有限也可能无限，甚至可能都有限。
例3 ：设
接着例2，给了一个元素a的阶数之后，我们自然的想知道a的幂次的阶和a的阶是否有关系。
定理2：设群G中元素a的阶是n,则
证明：对m用一下带余除法:m=nq+r,考虑阶数n的最小性即可。
定理3：设群G中元素a的阶是n,则
证明一个元素x的阶数为r，只需证明(1)
定理3的证明：为了方便书写，设
(1)
(2) 设还有，由定理2，
而
故
，从而
,
是
的阶。
推论1：设|a|=st, 则, 其中s,t 是正整数。推论2：设|a|=n, 则
接下来自然考虑两个元素乘积的阶数，遗憾的是，通常情况下两个元素a,b的乘积ab的阶数与a的阶和b的阶没有什么关系，只有附加上乘法交换，并且两个元素的阶互素的时候才有如下结论。
定理4：若群中元素|a|=m,|b|=n, 则当ab=ba,且 (m,n)=1时， |ab|=mn.
定理4的证明：(1)
（2）设还有(那么为了建立s和m,n的关系，我们给这个式子做m次方，建立s和m,n的桥梁) 故
由
及定理2知,
同理
.故 |ab|=mn.
反例4：在一般线性群中，
定理5: 设G 为交换群，且G中所有元素有最大阶m，则G中每个元素的阶都是m的因数。
定理5的证明：设G中元素a有最大阶m，任取另一个元素b，设其阶为n。若.则必然存在素数p，使得
。
(这是两个整数，n不整除m的等价条件，也是处理不整除的通常做法，想想为什么？)
由|a|=m,|b|=n,得因此我们只需要构造一个G中阶大于
的元即可，所以令
,由定理4,
矛盾。
共轭元是非交换代数、非结合代数中非常重要的概念。实际上共轭元的阶数相等。证起来很容易。
定理6：元素b与其共轭元阶相同。
关于元素的阶数可以做几个练习：
练习1：证明定理6以及：（1）ab与ba阶相同；（2）abc,bca,cab阶相同；（3）设a是群G中唯一的一个2阶元，证明：对任意G中元素x，均有ax=xa。
练习2：有限群中阶大于2的元素一定是偶数个；从而偶数阶群中一定有2阶元素。
二、循环群
接下来我们考虑由a的所有幂次构成的集合，根据我们开头写的幂的运算规则，很容易验证这些元素构成一个群。这是一个比较简单的群，其结构我们已经完全清楚了。
首先，给出生成的概念。假设M是群G里面的一个非空真子集，那么G中包含M的子群总是存在的，因为G本身就是一个包含M的子群。用
定义3：若G=,则称G为由a生成的一个循环群，并称a为G的一个生成元。
显然，由幂的运算规则，循环群一定是交换群。
运算用乘法表示时：
运算用加法表示时：
- 若循环群G=是无限群，那么
互不相同，否则的话，若
,则
,从而
,群G中最多有i-j个互不相同的元素，与G是无限群矛盾。
- 若循环群G=是n阶有限群，则|a|必须是n,从而由
知：
. （n阶群G是循环群⇔G 有n阶元素。）
例5：整数加群是一个无限循环群，生成元为1或-1.
例6：n次单位根群
有了上面两个例子，我们自然的想，对于下面的有限群，是不是同构的？
定理7（循环群的结构定理）设G=。则：（1）若G是无限循环群，则(2) 若G是n阶有限循环群，则
,(实际上我们更常用：
)
所以：无限循环群彼此同构（同构于整数加群）；有限同阶的循环群彼此同构（同构于n 次单位根群或模n剩余类群）；不同阶的循环群不同构。
定理7的证明：只需构造从群G到我们要证的群，例如整数加群的一个映射。证明这个映射是双射，并且是群同态，从而是群同构。
（1）令. 显然是双射，且是同态，从而是同构：
（2）令，显然是双射，且是同态，从而是同构：
由例5和例6，以及上面的循环群的结构定理，马上可以知道下面的结论：
定理8：（1）无限循环群有两个生成元; （2）n阶循环群有φ(n)个生成元。
证：（1）无限循环群有两个生成元，即 与。
（2）是n阶循环群的生成元，当且仅当
注：φ(n)为欧拉函数：在0和n之间，与n互素的整数的个数。欧拉函数在现在的RSA密码体制中有重要地位。
欧拉函数实际上很容易得到：例如最简单情况:
循环群的结构我们已经清楚了，那下一步自然是要考虑其子结构。
定理9：循环群的子群仍是循环群.
定理9的证明：设H是循环群的子群。若H=｛e｝, 则H显然是循环群；若则H中必含有
我们取一个最特殊的元素：取
为H中最小的正整数幂。往证
显然有
另一方面，对任意的,由带余除法，
得
由m最小知r=0。从而
定理10：无限循环群有无限多个子群; 当< >为ｎ阶循环群时，对ｎ的每个正因数ｋ， < >有且只有一个ｋ阶子群.
定理10的证明：（1）无限循环群有无穷个互不相同的子群（低次幂不能被高次幂生成的子群包含）。（2）若
,则
，
是一个k阶子群。唯一性显然，若还有一个k阶子群
,则
,故
; ,均有k个元素，所以两者相等。
推论：n阶循环群有且仅有T(n)个子群。
练习3：证明：n阶有限循环群同构于模n剩余类群：
参考文献：杨子胥. 近世代数,第3版.高等教育出版社, 2011.
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