2014年新课标II卷压轴题
已知函数 $f(x)={\rm e}^x-{\rm e}^{-x}-2x$．
(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性；
(2) 设 $g(x)=f(2x)-4bf(x)$，当 $x>0$ 时，$g(x)>0$，求 $b$ 的最大值；
(3) 已知 $1.4142<\sqrt 2<1.4143$，估计 $\ln 2$ 的近似值（精确到 $0.001$）．
(1) 由于 $f'(x)={\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2 \geqslant 0$（等号当且仅当 $x=0$ 时取得），于是函数 $f(x)$ 在定义域上单调递增；
(2) $b$ 的最大值为 $2$．证明如下：
根据题意，$g(x)={\rm e}^{2x}+{\rm e}^{-2x}-4x-4b\left({\rm e}^x-{\rm e}^{-x}-2x\right)$．由于 $g(0)=0$，于是考虑$$g'(x)=2{\rm e}^{2x}+2{\rm e}^{-2x}-4-4b\left({\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2\right).$$
注意到 $g'(0)=0$，于是计算$$g''(x)=4{\rm e}^{2x}-4{\rm e}^{-2x}-4b\left({\rm e}^x-{\rm e}^{-x}\right).$$注意到 $g''(0)=0$，于是计算$$g'''(x)=8{\rm e}^{2x}+8{\rm e}^{2x}-4b\left({\rm e}^x+{\rm e}^{-x}\right).$$此时 $g'''(0)=16-8b$，显然 $g'''(0)\geqslant 0$ 即 $b\leqslant 2$．
下面证明 $b$ 可以取得 $2$．
事实上，$g(x)={\rm e}^{2x}+{\rm e}^{-2x}-4x-4b\left({\rm e}^x-{\rm e}^{-x}-2x\right)$，其导数\[\begin{split}g'(x)&=2{\rm e}^{2x}+2{\rm e}^{-2x}-4-8\left({\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2\right)\\& = \left({\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2\right)\left({\rm e}^x+{\rm e}{-x}-2b+2\right)\end{split}\]
当 $b=2$ 时，显然有 $g'(x)\geqslant$（$x>0$）．因此 $b$ 的最大值为 $2$．
(3) 根据(2)，$g\left(\ln \sqrt 2\right)=\dfrac 32-2\sqrt 2b+2(2b-1)\ln 2$．
当 $b\leqslant 2$ 时，$g\left(\ln \sqrt 2\right)>0$，从而 $\ln 2>\dfrac {8\sqrt 2-3}{12}>0.6928$；
当 $b>2$ 时，${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}$ 在区间 $\left(0,2b-2\right)$ 上 $g'(x)<0$，注意到当 $x=\ln \sqrt 2$ 时，${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}=\dfrac {3\sqrt 2}{2}$，于是令 $2b-2=\dfrac {3\sqrt 2}{2}$，即 $b=\dfrac {3\sqrt 2}{4}+1$，则此时$$ g\left(\ln \sqrt 2\right)=-\dfrac 32-2\sqrt 2+(3\sqrt 2+2)\ln 2<0,$$从而 $\ln 2<\dfrac {18+\sqrt2}{28}<0.6934$．
综上，$\ln 2$ 的近似值为 $0.693$．
事实上，考虑到$$\ln (1+x)=x-\dfrac {x^2}{2}+\dfrac {x^3}{3}-\dfrac {x^4}{4}+\dfrac {x^5}5-\cdots \\ \ln (1-x)=-x-\dfrac {x^2}{2}-\dfrac {x^3}{3}-\dfrac {x^4}{4}-\dfrac {x^5}5-\cdots$$ 于是$$\ln \dfrac {1+x}{1-x}=2\left(x+\dfrac {x^3}3+\dfrac {x^5}5+\cdots \right).$$ 其中，令 $x=\dfrac 13$ 即得 $\ln 2$ 的近似值．
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