叶丙成-概率-chapter2-概率公理条件概率

国立台湾大学叶丙成《机率》课程学习-chapter2-概率公理&条件概率
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2-1概率公理以及衍生性质

2.1.1概率公理

1. 公理：近代数学常以数条公理作为整套理论的基石
   好处是头过身过，公理常是不能被证明的基本性质
   概率三公理(axioms of probability)
2. 公理1:对任何事件$A$而言，$P(A)>=0$
3. 公理2:$P(S)=1$
4. 公理3:事件 A 1 , A 2 , … A_1,A_2,\dots A1​,A2​,…互斥 ⇒ P ( A 1 ⋃ A 2 ⋃ A 3 ⋃ …   ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + P ( A 3 ) + … \Rightarrow P(A_1\bigcup A_2\bigcup A_3\bigcup \dots)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+\dots ⇒P(A1​⋃A2​⋃A3​⋃…)=P(A1​)+P(A2​)+P(A3​)+…

2.1.2衍生性质

1. 若 E = { o 1 , o 2 , … , o n } E=\{o_1,o_2,\dots,o_n\} E={o1​,o2​,…,on​},则 P ( E ) = P ( { o 1 } ) + P ( { o 2 } ) + ⋯ + P ( { o n } ) P(E)=P(\{o_1\})+P(\{o_2\})+\dots+P(\{o_n\}) P(E)=P({o1​})+P({o2​})+⋯+P({on​})
   证明： E = { o 1 } ⋃ { o 2 } ⋃ ⋯ ⋃ { o n } E=\{o_1\}\bigcup\{o_2\}\bigcup\dots\bigcup\{o_n\} E={o1​}⋃{o2​}⋃⋯⋃{on​}
   因为 { o 1 } , { o 2 } , … , { o n } \{o_1\},\{o_2\},\dots,\{o_n\} {o1​},{o2​},…,{on​}互斥
   ⇒ P ( { o 1 } ) + P ( { o 2 } ) + ⋯ + P ( { o n } ) \Rightarrow P(\{o_1\})+P(\{o_2\})+\dots+P(\{o_n\}) ⇒P({o1​})+P({o2​})+⋯+P({on​})

2. $P(\varphi )=0$
   $$证明：S\bigcap \varphi =\varphi \Rightarrow S,\varphi 互斥$$
   $$又S=S\bigcup \varphi$$
   $$\Rightarrow P(S)=P(S\bigcup \varphi )=P(S)+P(\varphi )$$
   $$\Rightarrow P(\varphi )=0$$

3. P ( A ) = 1 − P ( A c ) P(A)=1-P(A^c) P(A)=1−P(A

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