【形式化方法】Basic Propositional Logic 基本命题逻辑z3

Part A: 基本命题逻辑

这个模块、我们学习如何用z3来解决基本命题逻辑的问题

命题的声明:

我们可以在声明两个布尔类型的命题，当然，这两个命题有两种取值true 或者是false，声明命题P和Q如下：

    P = Bool('P')Q = Bool('Q')

或者，我们可以用简短的写法：

    P, Q = Bools('P Q')

用连接词来创建命题:

Z3支持连接词：/\(And), \/(Or), ~(Not), ->(Implies)等等。我们可以通过写lisp风格的抽象语法树来创建命题。比如，这个析取：

P \/ Q （在Z3中连接词\/写成 Or）在AST写法如下：

    F = Or(P, Q)

Solve 的使用:

Example A-1: z3中最简单的用法就是直接把命题用z3来写，并通过调用solve()函数来检查可满足性，这个solve()函数将创建一个solver实例来检验命题的可满足性，并且如果命题可满足的话输出一个模型，代码如下：

    F = Or(P, Q)solve(F)

通过以上的调用，z3的输出可能是这样的：

    [P=True, Q=False]

这个模型是命题P，Q让命题F可满足的一个结果。很显然，这只是几个可能的模型的其中一个。

Example A-2: 不是所有命题都是可满足的，比如下面这个命题:

    F = And(P, Not(P))solve(F)

Z3 会输出:

    no solution

这表明命题F是不可满足的，就是说，不管P的取值是什么，命题F都不可能成立。

获取更多的解法:

再看看Example A-1的例题:

    F = Or(P, Q)solve(F)

默认情况下，Z3只输出真值表的第一行:

    P    Q    P\/Q-----------------t    t     tt    f     tf    t     tf    f     f

 总之，我们用Z3来检验命题的可满足性，输出一行已经是足够的。但是如果我们想要输出几行怎么办呢？这里有个技巧: 当我们得到一个答案时，我们对这个答案进行否定，并与原命题结合，然后再检查它的可满足性。对于上面的例子:

    F = Or(P, Q)  # 命题Fsolve(F)      #输出一个结果F = And(F, Not(And(P, Not(Q))))  # 对答案进行否定（Not）、然后与原命题F结合（And）solve(F)F = And(F, Not(And(Not(P), Q)))  # 对答案进行否定（Not）、然后与原命题F结合（And）solve(F)F = And(F, Not(And(P, Q)))       # 对答案进行否定（Not）、然后与原命题F结合（And）solve(F)

输出会包括三种可能的解法：

    [P = True, Q = False][P = False, Q = True][P = True, Q = True]no solution

Exercise 1：

Question： (P /\ Q) \/ R

P, Q, R =Bools('P Q R')  # Exercise1
F = Or((And(P, Q)), R)
solve(F)

Exercise 1-2 ：

Question：P \/ ( Q \/ R )

P, Q, R = Bools('P Q R')  # exercise1-2
F = Or(P, Or(Q, R))
solve(F)

Exercise 1-3： 

Question： (P \/ Q) /\ (Q /\ R) /\ (P /\ ~R)P, Q, R = Bools('P Q R')  # exercise1-3
S = And(P, Not(R))
M = And(Q, R)
N = Or(P, Q)
F = And(N, And(M, S))
solve(F)

输出：no solution

Exercise 1-4 ：

Question： (P /\ ~S /\ R) /\ (R /\ ( ~P \/ (S /\ ~Q)))

P, Q, R, S = Bools('P Q R S')
# left
A = And(Not(S), R)
B = And(P, A)
# right
C = And(S, Not(Q))
D = Or(Not(P), C)
E = And(R, D)
# left and right
F = And(B, E)
solve(F)

输出： no solution

Exercise 1-4 ：

Question：输出所有的结果 (P /\ Q) \/ R

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