Python统计之Beta分布

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• • Beta分布
  • beta函数

Beta分布

投硬币，硬币是正还是反，这属于两点分布的问题。

疯狂投硬币，正面出现的次数，服从二项分布：【Python】从二项分布到泊松分布

二项分布中，若特定时间内的伯努利试验次数趋于无穷大，那么在某一时刻发生某事件的概率，服从泊松分布。

在某一时刻，发生第N次事件，其概率服从$\Gamma$分布：【Python】Gamma分布详解

回到抛硬币的问题，如果硬币出现正反的概率是未知的，考虑到时间地点重力等因素的不同，硬币出现正面的概率甚至可能是不稳定的，换言之，硬币出现正面的概率，或许也是服从某种分布的。

暂且将这个概率设为$\theta$，则经过n次伯努利试验，在$\theta$发生的情况下，正面出现$k$次的概率为

π ( k ∣ θ ) = ( n k ) θ k ( 1 − θ ) n − k \pi(k\vert\theta)=\binom{n}{k}\theta^k(1-\theta)^{n-k} π(k∣θ)=(kn​)θk(1−θ)n−k

由于这个$\theta$实际上是未知的，但这个$P$却可通过不断地伯努利试验来去逼近，所以接下来就可以通过贝叶斯公式，来将$\theta$表达出来

π ( θ ∣ k ) = π ( k ∣ θ ) π ( θ ) ∫ π ( k ∣ θ ) π ( θ ) d θ \pi(\theta\vert k)=\frac{\pi(k\vert\theta)\pi(\theta)}{\int\pi(k|\theta)\pi(\theta)\text d\theta} π(θ∣k)=∫π(k∣θ)π(θ)dθπ(k∣θ)π(θ)​

其中，$\pi (\theta |k)$表示$k$发生的情况下，$\theta$发生的概率；$\pi (\theta )$为$\theta$发生的概率。

设$\theta$服从均匀分布，则在$(0,1)$范围内，其概率密度$\pi (\theta )=1$，于是$\pi (\theta |k)$可以写为

π ( θ ∣ k ) = θ k ( 1 − θ ) n − k ∫ θ k ( 1 − θ ) n − k d θ \pi(\theta\vert k)=\frac{\theta^k(1-\theta)^{n-k}}{\int\theta^k(1-\theta)^{n-k}\text d\theta} π(θ∣k)=∫θk(1−θ)n−kdθθk(1−θ)n−k​

由于 Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t \Gamma(x)=\int^\infty_0t^{x-1}e^{-t}\text dt Γ(x)=∫0∞​tx−1e−tdt，则上式可写为

π ( θ ∣ k ) = Γ ( n + 1 ) Γ ( k + 1 ) Γ ( n − k + 1 ) θ k ( 1 − θ ) n − k \pi(\theta\vert k)=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)}\theta^k(1-\theta)^{n-k} π(θ∣k)=Γ(k+1)Γ(n−k+1)Γ(n+1)​θk(1−θ)n−k

此即$\mathrm{B}$分布。

所以，$\mathrm{B}$分布就是在抛$n$次硬币，出现$k$次正面后，则单次抛硬币出现正面的概率。

beta函数

在Numpy中，random.beta(a,b)即为$\mathrm{B}$分布，其表达式为 p ( x ) = Γ ( a + b ) Γ ( a ) Γ ( b ) x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 p(x)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1} p(x)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)​xa−1(1−x)b−1。

显而易见，当$a=b=1$时，$p(x)=1$，退化为均匀分布。

当a和b的取值不同时，$\mathrm{B}$分布表现出不同的分布特性

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.random import betaa_s = [0.5, 5, 1, 2, 2]
b_s = [0.5, 1, 3, 2, 5]for a,b in zip(a_s, b_s):xs = beta(a, b, size=20000)plt.hist(xs, 100, alpha=0.5, label=f"a={a}, b={b}")plt.legend()
plt.show()

效果为

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