AI 人工智能之概率论基础(2)

二维随机变量

设试验 E 的样本空间为 S={e} ，而 X=X(e) ， Y=Y(e) 是定义在 S={e} 上的两个随机变量成为由这两个随机变量组成的向量 (X(e),Y(e)) 为二维随机变量或者二维随机向量。

设 (X,Y) 为二维随机变量，对任意实数 x,y ，二元函数:

 称为二维随机变量 (X,Y) 的分布函数，或者称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数。

二维随机变量分布函数具有下列五条基本性质:

二维离散型随机变量

若二维随机变量 (X,Y) 的所有取值为有限对或者可列对 (xi,yj) ， i,j=1,2,… ，则称 (X,Y) 是离散型随机变量。

记 P{X=xi,Y=yi}=pij,   i,j=1,2,… ，则称它为二维离散型随机变量 (X,Y) 的（概率）分布律，或者称为 X 和 Y 的联合（概率）分布律。

分布律有两种常用的表示法：公式法和列表法。
这种分布律具有下面两种性质:

二维离散随机变量的联合分布

设（X，Y）是二维随机变量，x，y是任意实数，二元函数：

F(x,y)=P({X≤x∩Y≤y})=P(X≤x,Y≤y)，被称二维随机变量(X，Y)的分布函数，或称为X和Y的联合分布函数。

将二维随机变量（X，Y）看成是平面上随机点的坐标，分布函数F（x，y）在（x，y）处的函数值就是随机点（X，Y）落在如图以（x，y）为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。

例如：设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量在中等可能地取一整数值。试求的分布律。
解：P(X = i) = 1/4, i = 1,2,3,4

根据联合分布率：P(AB)=P(A)·P(B|A)(乘法公式)：

P(XY) = P(X=i) · P(Y=j|x=i) = 1

0	1	2	3	4
1
2	0
3	0	0
4	0	0	0

 联合分布函数

二维连续性随机变量

对二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y),使得对任意x,y有:

则称(X,Y)是二维连续型随机变量，称f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，记为(X,Y) ~ f(x,y) .

f(x,y) 的性质(二元函数f(x,y)是二维连续型随机变量的概率密度的充要条件)：

联合分布函数、联合概率密度函数性质:

设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),概率密度为f(x,y),则：

(1) F(x,y) 是(x,y)的二元连续函数；

(2) 在的连续点处,有

 (4)设G是平面上的某个区域，则

 [注]这是计算概率，及求随机变量函数的分布的依据.

例如：

边缘分布

边缘分布函数：二维随机变量的 X 和 Y 都是随机变量，有各自的分布函数，记为 ，称为边缘分布函数：

二维离散型随机变量的边缘分布函数：

 二维离散型随机变量的边缘分布率：

 多维随机变量的边缘分布

多维随机向量 (X1,X2,...,Xn) 的联合分布函数为 F(x1,x2,⋯,xn)

1 维边缘分布函数：比如关于  的 1 维边缘分布函数

2 维边缘分布函数：比如关于  的 2 维边缘分布函数

依次，多维随机变量可以有 k, (1≤k

离散型随机变量有 k 维边缘分布律，这里以 k=1 为例：

连续性边缘分布概率密度

连续型随机变量有 k 维边缘概率密度，这里以 k=1 为例：

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