线性代数张宇9讲 第四讲 伴随矩阵、初等矩阵与矩阵方程

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• 例题四
• • 例4.13  设 A = [ 2 − 2 − 4 − 1 3 4 1 − 2 − 3 ] \bm{A}=\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix} A=⎣⎡​2−11​−23−2​−44−3​⎦⎤​问是否存在非单位矩阵$\mathbf{B}$，使得$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{A}$？若不存在，请说明理由；若存在，求出所有满足$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{A}$的$\mathbf{B}(\mathbf{B}\ne \mathbf{E})$。
  • 例4.14  设 A = [ 1 a 1 0 ] , B = [ 0 1 1 b ] \bm{A}=\begin{bmatrix}1&a\\1&0\end{bmatrix},\bm{B}=\begin{bmatrix}0&1\\1&b\end{bmatrix} A=[11​a0​],B=[01​1b​]，当$a,b$为何值时，存在矩阵$\mathbf{C}$，使得$\mathbf{A}\mathbf{C}-\mathbf{C}\mathbf{A}=\mathbf{B}$，并求所有的矩阵$C$。
• 新版例题四
• • 例4.8
• 写在最后

例题四

例4.13  设 A = [ 2 − 2 − 4 − 1 3 4 1 − 2 − 3 ] \bm{A}=\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix} A=⎣⎡​2−11​−23−2​−44−3​⎦⎤​问是否存在非单位矩阵$\mathbf{B}$，使得$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{A}$？若不存在，请说明理由；若存在，求出所有满足$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{A}$的$\mathbf{B}(\mathbf{B}\ne \mathbf{E})$。

解  $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{A},\mathbf{A}(\mathbf{B}-\mathbf{E})=\mathbf{O},\mathbf{B}\ne \mathbf{E},\mathbf{B}-\mathbf{E}\ne \mathbf{O}$，故当$\mathbf{A}$可逆时，$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$有唯一零解，不存在$\mathbf{B}(\mathbf{B}\ne \mathbf{E})$，使得$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{A}$。
  当$\mathbf{A}$不可逆时，$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$有非零解，存在$\mathbf{B}(\mathbf{B}\ne \mathbf{E})$，使得$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{A}$成立。
A = [ 2 − 2 − 4 − 1 3 4 1 − 2 − 3 ] → [ 1 − 2 − 3 0 2 2 0 1 1 ] → [ 1 − 2 − 3 0 1 1 0 0 0 ] , \bm{A}=\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&-2&-3\\0&2&2\\0&1&1\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&-2&-3\\0&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}, A=⎣⎡​2−11​−23−2​−44−3​⎦⎤​→⎣⎡​100​−221​−321​⎦⎤​→⎣⎡​100​−210​−310​⎦⎤​,
  故$\mathbf{A}$不可逆，且$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$有通解 x = k [ 1 , − 1 , 1 ] T \bm{x}=k[1,-1,1]^\mathrm{T} x=k[1,−1,1]T，其中$k$为任意常数。对于不全为零的任意常数 k 1 , k 2 , k 3 k_1,k_2,k_3 k1​,k2​,k3​，有
B − E = [ k 1 k 2 k 3 − k 1 − k 2 − k 3 k 1 k 2 k 3 ] , \bm{B}-\bm{E}=\begin{bmatrix}k_1&k_2&k_3\\-k_1&-k_2&-k_3\\k_1&k_2&k_3\end{bmatrix}, B−E=⎣⎡​k1​−k1​k1​​k2​−k2​k2​​k3​−k3​k3​​⎦⎤​,
  则
B = E + [ k 1 k 2 k 3 − k 1 − k 2 − k 3 k 1 k 2 k 3 ] = [ 1 + k 1 k 2 k 3 − k 1 1 − k 2 − k 3 k 1 k 2 1 + k 3 ] ≠ E , \bm{B}=\bm{E}+\begin{bmatrix}k_1&k_2&k_3\\-k_1&-k_2&-k_3\\k_1&k_2&k_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+k_1&k_2&k_3\\-k_1&1-k_2&-k_3\\k_1&k_2&1+k_3\end{bmatrix}\ne\bm{E}, B=E+⎣⎡​k1​−k1​k1​​k2​−k2​k2​​k3​−k3​k3​​⎦⎤​=⎣⎡​1+k1​−k1​k1​​k2​1−k2​k2​​k3​−k3​1+k3​​⎦⎤​​=E,
  且使$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{A}$成立。（这道题主要利用了构造齐次方程求解）

例4.14  设 A = [ 1 a 1 0 ] , B = [ 0 1 1 b ] \bm{A}=\begin{bmatrix}1&a\\1&0\end{bmatrix},\bm{B}=\begin{bmatrix}0&1\\1&b\end{bmatrix} A=[11​a0​],B=[01​1b​]，当$a,b$为何值时，存在矩阵$\mathbf{C}$，使得$\mathbf{A}\mathbf{C}-\mathbf{C}\mathbf{A}=\mathbf{B}$，并求所有的矩阵$C$。

解  设 C = [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] \bm{C}=\begin{bmatrix}x_1&x_2\\x_3&x_4\end{bmatrix} C=[x1​x3​​x2​x4​​]，则
[ 1 a 1 0 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] − [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] [ 1 a 1 0 ] = [ 0 1 1 b ] , \begin{bmatrix}1&a\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1&x_2\\x_3&x_4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}x_1&x_2\\x_3&x_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&a\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\1&b\end{bmatrix}, [11​a0​][x1​x3​​x2​x4​​]−[x1​x3​​x2​x4​​][11​a0​]=[01​1b​],
  得
{ − x 2 + a x 3 = 0 , − a x 1 + x 2 + a x 4 = 1 , x 1 − x 3 − x 4 = 1 , x 2 − a x 3 = b , \begin{cases} -x_2+ax_3=0,\\ -ax_1+x_2+ax_4=1,\\ x_1-x_3-x_4=1,\\ x_2-ax_3=b, \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​−x2​+ax3​=0,−ax1​+x2​+ax4​=1,x1​−x3​−x4​=1,x2​−ax3​=b,​
  对方程组的增广矩阵作初等行变换，有
[ 0 − 1 a 0 − a 1 0 a 1 0 − 1 − 1 0 1 − a 0 0 1 1 b ] → [ 1 0 − 1 − 1 0 1 − a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 a + 1 b ] . \left[\begin{array}{c:c} \begin{matrix} 0&-1&a&0\\ -a&1&0&a\\ 1&0&-1&-1\\ 0&1&-a&0 \end{matrix}& \begin{matrix} 0\\1\\1\\b \end{matrix} \end{array}\right]\to \left[\begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1&0&-1&-1\\ 0&1&-a&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{matrix}& \begin{matrix} 1\\0\\a+1\\b \end{matrix} \end{array}\right]. ⎣⎢⎢⎡​0−a10​−1101​a0−1−a​0a−10​​011b​​⎦⎥⎥⎤​→⎣⎢⎢⎡​1000​0100​−1−a00​−1000​​10a+1b​​⎦⎥⎥⎤​.
  当$a\ne -1$或$b\ne 0$时，方程组无解。
  当$a=-1$且$b=0$时，方程组有解，其同解方程组为 { x 1 − x 3 − x 4 = 1 , x 2 + x 3 = 0 , \begin{cases}x_1-x_3-x_4=1,\\x_2+x_3=0,\end{cases} {x1​−x3​−x4​=1,x2​+x3​=0,​通解为
x = [ 1 , 0 , 0 , 0 ] T + k 1 [ 1 , − 1 , 1 , 0 ] T + k 2 [ 1 , 0 , 0 , 1 ] T , \bm{x}=[1,0,0,0]^\mathrm{T}+k_1[1,-1,1,0]^\mathrm{T}+k_2[1,0,0,1]^\mathrm{T}, x=[1,0,0,0]T+k1​[1,−1,1,0]T+k2​[1,0,0,1]T,
  其中 k 1 , k 2 k_1,k_2 k1​,k2​为任意常数。（这道题主要利用了增广矩阵求解）

新版例题四

例4.8

写在最后

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   另，关于矩阵的公式如下（部分证明见第五讲向量的例题部分，传送门在这里）

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