矩阵运算中选择分块矩阵策略的研究

矩阵运算中选择分块矩阵策略的研究

摘要：本文给出了分块矩阵的定义、性质以及在运算中的应用。利用分块矩阵可以降低矩阵运算的级数，使矩阵的结构更清晰明朗。本文通过对矩阵运算的研究，充分总结了在矩阵运算中选择分块矩阵的六大策略，为矩阵运算中何时何处选择分块提供了依据。

关键词：矩阵分块特殊矩阵 分块策略

中图分类号：O1-0数学理论

Research on Strategies of Hyper Matrix Selection in Matrix Operation

Abstract：This paper has define Hyper matrix of nature and use in matrix.Using Hyper matrix can be reduced to a series of matrix operations, mack matrix structure more clear.This paper has summarize six strategies based on fully researched on matrix operations.The purpose of the paper is to found in the matrix operations when and where to select the block optimal solution.

Key words: Hyper matrix; Special matrix; Matrix strategy

0       引言

矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等。在生产实践中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格，矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统等。

在实际中，我们往往要处理高维或者结构复杂的矩阵。分块矩阵是矩阵中的一个重要概念。分块矩阵可以用来降低高级数的矩阵，使矩阵的结构更清晰明朗，从而使一些矩阵的相关计算简单化。透彻的了解分块矩阵，灵活的应用矩阵分块，研究分块矩阵的性质及应用是非常必要的。

1       分块矩阵的定义和性质

1.1         分块矩阵的定义

当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是一很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具：矩阵分块。对级数较高矩阵的处理是矩阵的相关内容中重要的一部分，分块矩阵形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构。

分块矩阵具体的定义是把一个矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵。然后把每个小矩阵看成一个元素。用纵线与横线将矩阵A划分成若干较小的矩阵：

其中每个小矩阵Aij(i=1,……s;j=1,……t)叫做A的一个子块；分成子块的矩阵叫做分块矩阵^[1]。

1.2         分块矩阵的性质

分块矩阵首先仍满足矩阵的乘法和加法。在矩阵的加法和乘法中，是将对应位置上的元素进行相乘相加，求和得到新的矩阵的元素。对于分块矩阵，求解的时候，将不再局限于某一个元素或者某一行一列，而是可以将每个分块的子矩阵作为一个元素进行运算。

设为同型矩阵（行和列数分别相等）。若采用相同的分块法。则可以直接相加，

乘法:设，将C有分块为多个矩阵，其中是矩阵，且^[2]。

对于分块矩阵，将每个子矩阵作为分块矩阵的一个元素，在处理分块矩阵的运算时，将对应位置上的分块矩阵子矩阵进行运算。这样就把高维的矩阵运算换化为多个低维矩阵的运算。

本文探讨分块后和分块前的矩阵运算的复杂度的问题。对于加法，对于一个m*n维的矩阵和m*n维的矩阵，相加，其实就是m*n次加法运算。当将m*n维的矩阵进行分块后，其实还是m*n次加法运算，矩阵的运算复杂度没有变化。对乘法来说，当一个m*n维的矩阵和n*m维的矩阵相乘，需要进行m平方×n次加法和乘法。当转换为分块矩阵而言，其实运算的复杂度是没有变化的。当分块矩阵的好处就是将高维换成低维运算，对于a1+a2+a3+a4+…+…=b和a1+a2=b1，b1+a3=b2，……=b相对而言，后者对于计算者来说，更加直观，可以快速的得到b1，b2的结果，最终得到总和b的结果。而前者，一下子无法获得最后的结果，在人的角度上，对于多个元素的相加也是会产生b1，b2的中间运算过程。由此可以得出，在将高维换为低维，对于人的理解和建立相关模型是清晰明了的。

2       分块矩阵在运算中的应用

2.1         分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用

分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中有着广泛的应用。作为线性代数的一个重要内容和工具的矩阵，大家往往容易忽视矩阵分块的作用。下面从矩阵列（行）向量线性相关性和矩阵分解两个方面来分析分块矩阵的应用。

2.1.1        关于矩阵列(行)向量线性相关性

矩阵的列（行）向量相关与无关性的问题很显然都会涉及到利用矩阵分块，因为矩阵的列（行）都可看作是矩阵的子块，对于处理矩阵的分解问题也是一样，在线性代数中还有很多问题都可类似的通过分块矩阵来解决。

根据文献3，我们可以论证：当需要研究矩阵的某一位置的性质，如矩阵行，矩阵列时，可以将矩阵按照行列分解。矩阵按照行列分块后，每一块具有相同的特性，当证明其中某一块具有一些性质时，必然可以推出矩阵的其他块具有相同的此性质。这样，将证明矩阵的整体转换为证明矩阵的分块，而又能由矩阵的块推演出矩阵的总体特性，这就是分块矩阵的重要性质。

2.1.2        矩阵的分解

分块矩阵应用最多的就是矩阵分解，如何在运算中将一个矩阵分块其实是矩阵分块的焦点。一个矩阵，可以按照多种规则和方式进行分块和构造它，但其中并不是每一种矩阵的分块都是所需要的分块，如何针对问题合理的分解矩阵是值得考究的。将矩阵分块，目的是为了简化运算和降低维数，对不同的运算来说，需要根据运算的特性来分块矩阵，盲目的分块其实并不能简化矩阵运算。

构造矩阵的时候，分别在运算的过程中构造出M和N矩阵，结论是A=MN，由此可以推出，如果需要证明此结论，必然是二个矩阵相乘得到此结论，已知矩阵A可以分解A，如果A又可以写成A=MN的形式，那么M和N必然可以是P，Q逆矩阵的分块矩阵的一个子块，由此构造P，Q逆矩阵的分块矩阵，最终证明了结论的正确性^[4]。由上所述，可以看出，在矩阵运算中，对矩阵分块的构建，是有理有据的，矩阵的分块并不是无端的分块，当需要对一个矩阵进行分块的时候，往往是这个矩阵的每一块是研究的重点，或者矩阵的分块后的，每一块具有相同的特性，需要研究这每一块的特性。

2.2         分块矩阵在矩阵计算方面的应用

分块矩阵在矩阵中最大的应用就是简化矩阵计算。分块矩阵可以降低矩阵的维数，从而简化矩阵运算。分块矩阵可以将矩阵的某一块作为一个整体进行运算，分块矩阵的思想在矩阵计算方面有诸多应用，下面主要从分块矩阵求矩阵行列式和分块矩阵求逆矩阵方面讲解分块矩阵在矩阵计算方面的应用。根据这些应用，总结出分块矩阵在矩阵计算中是如何体现分块的思想。

2.2.1        分块矩阵求矩阵行列式

在线性代数中，分块矩阵是一个十分重要的概念，它可以使矩阵的表示简单明了，使矩阵的运算得以简化。在矩阵行列式的求解过程中，常常利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题。而事实上，利用分块矩阵方法计算行列式，时常会使行列式的计算变得简单，并能收到意想不到的效果^[5][6]。

在利用分块矩阵计算行列式的时候，首先需要进行一些初等变换，将一般的矩阵形式转为分块矩阵容易处理的形式，然后在进行分块，直接对形式一般的矩阵分块是不明智的，这样常常是没有办法简化运算的。

分块矩阵同样是满足矩阵的加减乘除等性质，但分块后，可以将原本整体的矩阵，转化为单个的块进行运算，而对分块后的子块矩阵，往往会有特殊的形式或者至少维数降低，这样带来的计算便利将给整个运算带来巨大的便利。

2.2.2        分块矩阵在求逆矩阵

在矩阵运算中，求一个矩阵的逆矩阵是最常见的运算，运用矩阵分块可以简化矩阵求逆的过程。矩阵分块并没有给矩阵求逆带来很大的便利，但当原始矩阵的有了0矩阵后，分块矩阵大大的简化了矩阵的求逆过程^[7]。当然对于一个初始的矩阵，它一般是无法满足矩阵中存在0矩阵的情况，但是可以通过矩阵的初等变换，使得它的某一部分是0矩阵，这样，就大大的简化了求逆的过程。按照正常的求逆过程，也是需要对初始矩阵进行初等变换，在进行了一些初等变换后，在对变换后的矩阵进行矩阵的分块，然后求解矩阵的逆，大大的简化过程。

3       矩阵分块的策略

通过对分块矩阵的介绍和对分块矩阵在运算中的应用的研究，可以得到以下的结论和观点。

（1）当面对高维的矩阵运算时，出发点是将高维化为低维运算。将矩阵的分成各个子模块进行运算，简化每个模块的运算，但这样的简化最终不能降低运算的复杂度；

（2）一个高维的矩阵，当关注其中的某一块，或者，矩阵中的一些位置元素相对结果有规律，可以考虑将矩阵分块，把简单的模块归为一个子矩阵，将复杂的模块归为一个子矩阵。这样研究运算，可以尽可能的忽略所不必关注的模块；

（3）在计算方面，当利用分块矩阵可以很清晰地描述矩阵的运算过程。当进行矩阵运算时，往往矩阵的某一个位置的所有元素具有相同的运算，将它们归为一个子矩阵，观察他们在运算过程中得到的结果，具体统一个体性。利用分块矩阵这一工具可以解决求逆矩阵与求高级行列式的问题，在求逆矩阵方面；

（4）分块矩阵在处理高维的矩阵运算有着不可替代的优势，分块的思想其实就是降低维数，忽略高维矩阵中不相关或者影响运算较小的模块。对于分块矩阵中的每个子矩阵，仍然可以继续分块，分块的方式多样灵活，在实际运用中，分块的方法给运算带来了巨大的便利；

（5）矩阵分块的焦点是如何分块，何时分块。往往在获得初始矩阵，就对矩阵进行分块是不明智的，此时的分块也没有给运算带来更多的简化。对于一般的矩阵，经过初等变换后，矩阵中的某一块出现了特殊的矩阵，此时进行矩阵分块，将给运算带来极大的便利；

（6）构造矩阵分块，在矩阵的运算和证明的过程中，往往要构造分块矩阵，如何构造分块矩阵满足当前的运算，一般有这样的规律，构造的分块矩阵中存在特殊的矩阵块，如单位矩阵或者0矩阵，构造的矩阵中有矩阵块可以将当前的矩阵运算转变成特殊的矩阵，或者出现特殊的矩阵块，实现运算和证明的简化。

4       结论

本文给出了分块矩阵的定义、性质以及在运算中的应用。通过论述，充分体现了分块矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了分块矩阵和矩阵分块在代数学中所具有的重要地位。在本文的最后，重点总结了在矩阵运算中选择分块矩阵的六大策略。

5       参考文献

[1] 洪毅.线性代数[M].广州：华南理工大学出版社，2005\

[2] 周甜.浅析分块矩阵的性质和应用[D].河南：河南理工大学数学与信息科学学院,2010

[3] 李玉梅.分块矩阵的几个重要应用[J].怀化师专学报，2000，19(4)：77-78

[4] LiuXianghua,The Application Of A Block-Matrix[J].2001.21(3):122-124

[5] 胡景明.分块矩阵在求高阶行列式中的应用[J].河北工程技术高等专科学校学报,2004(4):50-53

[6] 王莲花,李念伟,梁志新.分块矩阵在行列式计算中的应用[J]. 河南教育学院学报（自然科学卷），2005，14(3):12-15

[7] 徐猛.特殊矩阵类及其逆矩阵的快速分解算法[D].西安：西北工业大学硕士论文，2003

[8] 严坤妹.分块矩阵的应用[J].福建广播电视大学学报,2006，(5)：71-73

[9] (美)合恩(Horn,R. A.),杨奇译.矩阵分析.北京:机械工业出版社,2005

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