简单多边形的三角剖分（并附带python实现代码）

简单多边形的三角剖分

1 折线、闭折线、简单闭折线、简单多边形

折线：将平面上一些点的序列连接起来，可以得到一条折线。

如：有点列 A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2,...,A_n A1​,A2​,...,An​，则将其顺次连接，得到的一条折线。

点列中的点，称为折线的控制点。

闭折线：如果一条折线的起点和终点相同，则称该折线为闭折线。以连续两控制点为端点的线段，称为折线的边。有一个共同端点的边称为相邻边。

如：顺次连接点列 A 1 , A 2 , . . . , A n , A 1 A_1,A_2,...,A_n,A_1 A1​,A2​,...,An​,A1​，得到的一条闭折线。

简单闭折线：一条闭折线，如果其控制点和边满足如下四点，则该闭折线称为简单闭折线。

1、闭折线包含至少三个不同的控制点
2、控制点两两不同
3、连续的三个控制点不共线
4、不相邻的两条边，不相交

简单闭折线的控制点，也称为其顶点。

简单多边形：由简单闭折线围成的图形称为简单多边形。简单多边形按照边的数目，给其命名为简单n边形。
简单多边形，是单连通的。

下列图形都是简单多边形：

图一

说明：若无特殊交待，下述多边形均指简单多边形。

2 多边形的三角剖分

多边形的三角剖分：一个多边形，如果可以表示为一些内部两两不交的三角形的并，并且这些三角形满足如下条件

1、三角形的顶点，是多边形的顶点
2、若两三角形相交，则其要么交于一点，要么交于一边（即恰有一条公共边）。

则称这样的三角形划分方法为该多边形的一个三角剖分。

例如

图二

多边形的分类：多边形可以分为凸多边形和凹多边形。若连接多边形内任意两点的线段也在多边形内，就称这样的多边形为凸多边形；不是凸多边形的多边形称为凹多边形。

剩余图形：超过三个点的多边形，可以擦去一个点，形成一个新的多边形。比如，多边形$ABCDA$，擦去$B$点，形成新的图形$ACDA$，擦去$A$点则形成新图形$BCDB$。如果记原图形$ABCDA$为$\mathbf{G}$，则擦去一点$B$后的图形记为 G B \mathbf{G_B} GB​。

图三

拆出三角形：擦去的一个点，必然能和其相邻的两个点构成一个三角形，这个三角形称为该擦去点的拆出三角形。上图中的$\Delta ABC$就是$B$点的拆出三角形。

凸顶点、凹顶点：多边形$\mathbf{G}$的一个顶点$V$，如果不包含在擦除该顶点后的剩余图形中，即 V ∉ G V V\notin\mathbf{G_V} V∈/​GV​，则称$V$为$\mathbf{G}$的一个凸顶点；否则称为凹顶点。

命题1：若一个多边形的每个顶点都是凸顶点，则该多边形为凸多边形。
三角形是最简单的凸多边形。

命题2：一个凹多边形，至少有一个凹顶点，至少有三个凸顶点。

命题3：一个凸$n$边形（$n>$

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