【高等数学基础进阶】常微分方程-part1

文章目录

• • 一、常微分方程的基本概念
  • 二、一阶线性微分方程
  • • 可分离变量的方程 y ′ = f ( x ) g ( x ) y'=f(x)g(x) y′=f(x)g(x)
    • 齐次方程 d y d x = ϕ ( y x ) \frac{dy}{dx}=\phi (\frac{y}{x}) dxdy​=ϕ(xy​)
    • 线性方程 y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y'+P(x)y=Q(x) y′+P(x)y=Q(x)
    • 伯努利方程 y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y α ( α ≠ 1 ) y'+P(x)y=Q(x)y^{\alpha}(\alpha \ne 1) y′+P(x)y=Q(x)yα(α=1)
    • 全微分方程$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$
  • 三、可降阶的高阶方程
  • • y ( n ) = f ( x ) y^{(n)}=f(x) y(n)=f(x)
    • y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y''=f(x,y') y′′=f(x,y′)
    • y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y''=f(y,y') y′′=f(y,y′)
  • 四、高阶线性微分方程
  • • 线性方程的解的结构
    • 二阶常系数齐次线性微分方程 y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y''+py'+qy=0 y′′+py′+qy=0
    • 高阶常系数齐次线性微分方程 y ( n ) + p 1 y ( n − 1 ) + p 2 y ( n − 2 ) + ⋯ + p n − 1 y ′ + p n y = 0 y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+p_2y^{(n-2)}+\cdots+p_{n-1}y'+p_ny=0 y(n)+p1​y(n−1)+p2​y(n−2)+⋯+pn−1​y′+pn​y=0
    • 二阶常系数非齐次线性微分方程 y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x ) y''+py'+qy=f(x) y′′+py′+qy=f(x)
    • • f ( x ) = e λ x P m ( x ) f(x)=e^{\lambda x}P_{m}(x) f(x)=eλxPm​(x)
      • f ( x ) = e α x [ P l ( x ) cos ⁡ β x + P n ( x ) sin ⁡ β x ] f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x] f(x)=eαx[Pl​(x)cosβx+Pn​(x)sinβx]
    • 欧拉方程 x n y ( n ) + a 1 x n − 1 y ( n − 1 ) + ⋯ + a n − 1 x y ′ + a n y = f ( x ) x^{n}y^{(n)}+a_{1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}xy'+a_{n}y=f(x) xny(n)+a1​xn−1y(n−1)+⋯+an−1​xy′+an​y=f(x)
  • 五、差分方程
  • • 一阶常系数线性齐次差分方程 y t + 1 + a y t = 0 y_{t+1}+ay_{t}=0 yt+1​+ayt​=0
    • 一阶常系数线性非齐次差分方程 y t + 1 + a y t = f ( t ) y_{t+1}+ay_{t}=f(t) yt+1​+ayt​=f(t)
    • • f ( t ) = P m ( t ) f(t)=P_{m}(t) f(t)=Pm​(t)
      • f ( t ) = d t ⋅ P m ( t ) ( d ≠ 0 ) f(t)=d^{t}\cdot P_{m}(t)(d \ne 0) f(t)=dt⋅Pm​(t)(d=0)

一、常微分方程的基本概念

定义：含有未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程

定义：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶

定义：找出这样的一个函数，把这个函数带入微分方程使该方程成为恒等式，这个函数就叫做微分方程的解

定义：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。即几阶微分方程，通解中就会有几个任意常数

定义：由于通解中含有任意常数，为了确定任意常数的值，引入初值条件，例如：如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是 y ∣ x = x 0 = y 0 y|_{x=x_0}=y_0 y∣x=x0​​=y0​，如果微分方程是二阶的，确定任意常数的条件为 y ∣ x = x 0 = y 0 , y ′ ∣ x = x 0 = y 0 ′ y|_{x=x_0}=y_0,y'|_{x=x_0}=y'_0 y∣x=x0​​=y0​,y′∣x=x0​​=y0′​，其中 x 0 , y 0 , y 0 ′ x_0,y_0,y'_0 x0​,y0​,y0′​都是给定的值，上述条件即为初值条件，通过初值条件可以确定通解中的任意常数，所得到的就是微分方程的特解。由于几阶微分方程就含有几个任意常数，所以就需要知道几个初值条件

定义：微分方程的解对应的曲线就叫做微分方程的积分曲线

二、一阶线性微分方程

可分离变量的方程 y ′ = f ( x ) g ( x ) y'=f(x)g(x) y′=f(x)g(x)

定义：如果一个一阶微分方程能写成$g(y)dy=f(x)dx$的形式，也就是说，能把微分方程写成一端只含的函数和$dy$，另一端只含$x$的函数和$dx$，那么原方程就称为可分离变量的微分方程

求解方法

1. 将微分方程化为$g(y)dy=f(x)dx$
2. 将上式两端同时积分得 ∫ g ( y ) d t = ∫ f ( x ) d x \begin{aligned} \int g(y)dt=\int f(x)dx\end{aligned} ∫g(y)dt=∫f(x)dx​
3. 设$G(x)$及$F(x)$依次为$g(y)$及$f(x)$的原函数，得$G(y)=F(x)+C$

齐次方程 d y d x = ϕ ( y x ) \frac{dy}{dx}=\phi (\frac{y}{x}) dxdy​=ϕ(xy​)

定义：如果一阶微分方程可以化为 d y d x = ϕ ( y x ) \frac{dy}{dx}=\phi (\frac yx) dxdy​=ϕ(xy​)的形式，那么就称该微分方程为齐次方程。

$n$次齐次函数，即 f ( t x , t y ) = t n f ( x , y ) f(tx,ty)=t^{n}f(x,y) f(tx,ty)=tnf(x,y)
显然本题所谓的齐次方程就是$0$次齐次函数，因此叫齐次方程

求解方法

1. 将原微分方程化为 d y d x = f ( y x ) \frac{dy}{dx}=f(\frac yx) dxdy​=f(xy​)的形式
2. 令 u ( x ) = y x u(x)=\frac yx u(x)=xy​，则$y=ux$， d y d x = u + x d u d x \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx} dxdy​=u+xdxdu​
3. 原微分方程可化为 u + x d u d x = f ( u ) \begin{aligned} u+x\frac{du}{dx}=f(u)\end{aligned} u+xdxdu​=f(u)​，将其分离变量得 d u f ( u ) − u = d x x \begin{aligned} \frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}\end{aligned} f(u)−udu​=xdx​​，两边同时积分得 ∫ d u f ( u ) − u = ∫ d x x \begin{aligned} \int\frac{du}{f(u)-u}=\int\frac{dx}x\end{aligned} ∫f(u)−udu​=∫xdx​​
4. 求出积分之后，将 y x \frac yx xy​代替$u$，得到齐次方程的通解

线性方程 y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y'+P(x)y=Q(x) y′+P(x)y=Q(x)

通解为
y = e − ∫ P ( x ) d x [ ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C ] \begin{aligned} y=e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q\left(x\right)e^{\int P(x)dx}dx+C\right]\end{aligned} y=e−∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]​
在这里的如果有 ∫ p ( x ) d x = ∫ 1 x d x = ln ⁡ x \begin{aligned} \int_{}^{}p(x)dx=\int_{}^{} \frac{1}{x}dx=\ln x\end{aligned} ∫​p(x)dx=∫​x1​dx=lnx​，可以不加绝对值

伯努利方程 y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y α ( α ≠ 1 ) y'+P(x)y=Q(x)y^{\alpha}(\alpha \ne 1) y′+P(x)y=Q(x)yα(α=1)

求解方法及通解形式

1. 将等式两端同除 y n y^n yn，得 y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) (1) \begin{aligned} y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)\quad\text{(1)}\end{aligned} y−ndxdy​+P(x)y1−n=Q(x)(1)​
2. 令 z = y 1 − n z=y^{1-n} z=y1−n，那么 d z d x = ( 1 − n ) y − n d y d x \begin{aligned} \frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}\end{aligned} dxdz​=(1−n)y−ndxdy​​
3. 将$(1-n)$乘在(1)式两端，经过代换变成 d z d x + ( 1 − n ) P ( x ) z = ( 1 − n ) Q ( x ) \begin{aligned} \frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)\end{aligned} dxdz​+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)​，解出方程的通解，再将$z$用 y 1 − n y^{1-n} y1−n代换，得到方程的通解

全微分方程$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

判定方法：
∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} ∂y∂P​=∂x∂Q​

解法：
偏积分、凑微分、线积分

三、可降阶的高阶方程

y ( n ) = f ( x ) y^{(n)}=f(x) y(n)=f(x)

求解方法：
将微分方程 y ( n ) = f ( x ) y^{(n)}=f(x) y(n)=f(x)的两端同时$x$积分得 y ( n − 1 ) = ∫ f ( x ) d x + C 1 y^{(n-1)}=\int f(x)dx+C_1 y(n−1)=∫f(x)dx+C1​，再对等式两边同时积分得 y ( n − 2 ) = ∫ [ ∫ f ( x ) d x + C 1 ] d x + C 2 y^{(n-2)}=\int[\int f(x)dx+C_1]dx+C_2 y(n−2)=∫[∫f(x)dx+C1​]dx+C2​，连续积分$n$次，得到方程含有$n$个任意常数的通解

y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y''=f(x,y') y′′=f(x,y′)

求解方法

1. 令 y ′ = p y'=p y′=p，则 y ′ ′ = d p d x = p ′ y''=\frac{dp}{dx}=p' y′′=dxdp​=p′
2. 原微分方程变为 d p d x = f ( x , p ) \begin{aligned} \frac{dp}{dx}=f(x,p)\end{aligned} dxdp​=f(x,p)​，解微分方程得 p = p ( x , C 1 ) p=p(x,C_1) p=p(x,C1​)
3. 由于 d y d x = p \frac{dy}{dx}=p dxdy​=p，则 d y d x = p ( x ) \frac{dy}{dx}=p(x) dxdy​=p(x)，解得 y = ∫ p ( x , C 1 ) d x + C 2 y=\int p(x,C_1)dx+C_2 y=∫p(x,C1​)dx+C2​

y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y''=f(y,y') y′′=f(y,y′)

求解方法：

1. 令 y ′ = p y'=p y′=p，则 y ′ ′ = d p d x = d p d y d y d x = p d p d y \begin{aligned} y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}\end{aligned} y′′=dxdp​=dydp​dxdy​=pdydp​​
2. 原微分方程变为 p d p d y = f ( y , p ) \begin{aligned} p\frac{dp}{dy}=f(y,p)\end{aligned} pdydp​=f(y,p)​，解微分方程得 p = p ( y , C 1 ) p=p(y,C_1) p=p(y,C1​)
3. 由于 d y d x = p \frac{dy}{dx}=p dxdy​=p，再对其分离变量，解得微分方程的通解

四、高阶线性微分方程

线性方程的解的结构

齐次方程： y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = 0 y''+p(x)y'+q(x)y=0 y′′+p(x)y′+q(x)y=0
非齐次方程： y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)

定理1：如果 y 1 ( x ) y_{1}(x) y1​(x)和 y 2 ( x ) y_{2}(x) y2​(x)是齐次方程的两个线性无关的特解，那么
y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x) y=C1​y1​(x)+C2​y2​(x)
就是齐次方程的解

定理2：如果 y ∗ y^{*} y∗是非齐次方程的一个特解， y 1 ( x ) y_{1}(x) y1​(x)和 y 2 ( x ) y_{2}(x) y2​(x)是齐次方程的两个线性无关的特解，则
y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + y ∗ ( x ) y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)+y^{*}(x) y=C1​y1​(x)+C2​y2​(x)+y∗(x)
是非齐次方程的通解

定理3：如果 y 1 ∗ ( x ) , y 2 ∗ y^{*}_{1}(x),y^{*}_{2} y1∗​(x),y2∗​是非齐次方程的两个特解，则
y ( x ) = y 1 ∗ ( x ) − y 2 ∗ y(x)=y^{*}_{1}(x)-y^{*}_{2} y(x)=y1∗​(x)−y2∗​
是齐次微分方程的解

定理4：如果 y 1 ∗ ( x ) , y 2 ∗ y^{*}_{1}(x),y^{*}_{2} y1∗​(x),y2∗​分别是方程
y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f 1 ( x ) y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f 2 ( x ) \begin{aligned} y''+p(x)y'+q(x)y=f_{1}(x)\\ y''+p(x)y'+q(x)y=f_{2}(x) \end{aligned} y′′+p(x)y′+q(x)y=f1​(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=f2​(x)​
的特解，则
y 1 ∗ ( x ) + y 2 ∗ y^{*}_{1}(x)+y^{*}_{2} y1∗​(x)+y2∗​
是方程 y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) y''+p(x)y'+q(x)y=f_{1}(x)+f_{2}(x) y′′+p(x)y′+q(x)y=f1​(x)+f2​(x)的一个特解

定理5：如果 y ∗ ( x ) y^{*}(x) y∗(x)是非齐次方程的一个特解， y 0 ( x ) y_{0}(x) y0​(x)是非齐次方程对应的齐次方程的通解，则
y = y 0 ( x ) + y ∗ ( x ) y=y_{0}(x)+y^*(x) y=y0​(x)+y∗(x)
是非齐次方程的通解

定理5就是对定理2的简单阐述，主要用于二阶常系数非齐次线性微分方程的求解。用定理2也可以

二阶常系数齐次线性微分方程 y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y''+py'+qy=0 y′′+py′+qy=0

特征方程 λ 2 + p λ + q = 0 \lambda^{2}+p \lambda+q=0 λ2+pλ+q=0

求解方法及通解形式

1. 写出微分方程的特征方程 λ 2 + p λ + q = 0 \lambda^2+p\lambda+q=0 λ2+pλ+q=0。即，将 y ′ ′ + p y ′ + q = 0 y''+py'+q=0 y′′+py′+q=0中y的几阶导数就变为$\lambda$的几次方
2. 求出特征方程的两个根 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1​,λ2​
3. 根据特征根的不同形式，写出微分方程的通解

特征方程 λ 2 + p λ + q = 0 \lambda^2+p\lambda+q=0 λ2+pλ+q=0的两个根 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1​,λ2​	微分方程 y ′ ′ + p y ′ + q = 0 y''+py'+q=0 y′′+py′+q=0的通解
两个不相等的实根 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1​,λ2​	y = C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x} y=C1​eλ1​x+C2​eλ2​x
两个相等的实根 λ 1 = λ 2 = λ \lambda_1=\lambda_2=\lambda λ1​=λ2​=λ	y = ( C 1 + C 2 x ) e λ x y=(C_1+C_2x)e^{\lambda x} y=(C1​+C2​x)eλx
一对共轭复根 λ 1 , 2 = α ± β i \lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i λ1,2​=α±βi	y = e α x ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sin ⁡ β x ) y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x) y=eαx(C1​cosβx+C2​sinβx)

高阶常系数齐次线性微分方程 y ( n ) + p 1 y ( n − 1 ) + p 2 y ( n − 2 ) + ⋯ + p n − 1 y ′ + p n y = 0 y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+p_2y^{(n-2)}+\cdots+p_{n-1}y'+p_ny=0 y(n)+p1​y(n−1)+p2​y(n−2)+⋯+pn−1​y′+pn​y=0

特征方程的根	微分方程通解中的对应项
单实数$\lambda$	给出一项： C e λ x Ce^{\lambda x} Ceλx
一对单复根 λ 1 , 2 = α ± β i \lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i λ1,2​=α±βi	给出两项： e α x ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sin ⁡ β x ) e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x) eαx(C1​cosβx+C2​sinβx)
$k$重实根$\lambda$	给出$k$项： e λ x ( C 1 + C 2 x + ⋯ + C k x k − 1 ) e^{\lambda x}(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1}) eλx(C1​+C2​x+⋯+Ck​xk−1)
一对$k$重复根 λ 1 , 2 = α ± β i \lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i λ1,2​=α±βi	给出$2k$项： e α x [ ( C 1 + C 2 x + ⋯ + C k x k − 1 ) cos ⁡ β x + ( D 1 + D 2 x + ⋯ + D k x k − 1 ) sin ⁡ β x ] e^{\alpha x}[(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})\cos\beta x+(D_1+D_2x+\cdots+D_kx^{k-1})\sin\beta x] eαx[(C1​+C2​x+⋯+Ck​xk−1)cosβx+(D1​+D2​x+⋯+Dk​xk−1)sinβx]

例1：设高阶常系数齐次线性微分方程的特征根是 λ 1 = 2 , λ 2 = λ 3 = 3 , λ 4 , 5 = 1 ± i , λ 6 , 7 = 2 ± 3 i , λ 8 , 9 = 2 ± 3 i \lambda_1=2,\lambda_2=\lambda_3=3,\lambda_{4,5}=1\pm i,\lambda_{6,7}=2\pm 3i,\lambda_{8,9}=2\pm 3i λ1​=2,λ2​=λ3​=3,λ4,5​=1±i,λ6,7​=2±3i,λ8,9​=2±3i

y 齐通 = C 1 e 2 x + e 3 x ( C 2 + C 3 x ) + e x ( C 4 cos ⁡ x + C 5 sin ⁡ x ) + e 2 x [ ( C 6 + C 7 x ) cos ⁡ 3 x + ( C 8 + C 9 x ) sin ⁡ 3 x ] y_{\text{齐通}}=C_1e^{2x}+e^{3x}(C_2+C_3x)+e^x(C_4\cos x+C_5\sin x)+e^{2x}[(C_6+C_7x)\cos3x+(C_8+C_9x)\sin3x] y齐通​=C1​e2x+e3x(C2​+C3​x)+ex(C4​cosx+C5​sinx)+e2x[(C6​+C7​x)cos3x+(C8​+C9​x)sin3x]

例2：求方程 y ( 4 ) − 2 y ′ ′ ′ + 5 y ′ ′ = 0 y^{(4)}-2y'''+5y''=0 y(4)−2y′′′+5y′′=0的通解

解特征方程
λ 4 − 2 λ 3 + 5 λ 2 = 0 ⇒ λ 2 ( λ 2 − 2 λ + 5 ) = 0 \lambda^4-2\lambda^3+5\lambda^2=0\Rightarrow\lambda^2(\lambda^2-2\lambda+5)=0 λ4−2λ3+5λ2=0⇒λ2(λ2−2λ+5)=0
解得，
λ 1 = λ 2 = 0 ， λ 3 , 4 = 2 ± 4 − 20 2 = 1 ± 2 i \lambda_1=\lambda_2=0，\lambda_{3,4}=\frac{2\pm\sqrt{4-20}}{2}=1\pm2i λ1​=λ2​=0，λ3,4​=22±4−20 ​​=1±2i
故
y 齐通 = C 1 + C 2 x + e x [ C 3 cos ⁡ 2 x + C 4 sin ⁡ 2 x ] y_{\text{齐通}}=C_1+C_2x+e^x[C_3\cos 2x+C_4\sin 2x] y齐通​=C1​+C2​x+ex[C3​cos2x+C4​sin2x]

二阶常系数非齐次线性微分方程 y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x ) y''+py'+qy=f(x) y′′+py′+qy=f(x)

求解方法及通解形式

先求二阶常系数齐次线性微分方程的通解（得到 λ 1 , λ 2 \lambda_{1},\lambda_{2} λ1​,λ2​）
一下分两种情况讨论（其余情况不讨论）

f ( x ) = e λ x P m ( x ) f(x)=e^{\lambda x}P_{m}(x) f(x)=eλxPm​(x)

当
f ( x ) = e λ x P m ( x ) f(x)=e^{\lambda x}P_{m}(x) f(x)=eλxPm​(x)
时， P m ( x ) P_{m}(x) Pm​(x)为$x$的$m$次多项式，则微分方程的特解可设为
y ∗ = x k Q m ( x ) e λ x y^{*}=x^{k}Q_{m}(x)e^{\lambda x} y∗=xkQm​(x)eλx
其中 Q m ( x ) Q_m(x) Qm​(x)是与 P m ( x ) P_m(x) Pm​(x)同次的多项式，$k$是特征方程含根$\lambda$的重数
y ∗ = x k Q m ( x ) e λ x y^{*}=x^{k}Q_{m}(x)e^{\lambda x} y∗=xkQm​(x)eλx中的
{ e λ x 照抄 x k 中的 k = { 0 , λ 1 ≠ λ 且 λ 2 ≠ λ 1 , λ 1 = λ , λ 2 ≠ λ 或 λ 2 = λ , λ 1 ≠ λ 2 , λ 1 = λ 2 = λ Q m ( x ) 是设的与 P m ( x ) 同次多项式 \begin{cases}e^{\lambda x}\text{照抄}\\x^{k}\text{中的}k=\begin{cases}0,\lambda_{1}\ne\lambda\text{且}\lambda_{2}\ne\lambda\\1,\lambda_{1}=\lambda,\lambda_{2}\ne\lambda\text{或}\lambda_{2}=\lambda,\lambda_{1}\ne\lambda\\2,\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda\end{cases}\\Q_{m}(x)\text{是设的与}P_{m}(x)\text{同次多项式}\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​eλx照抄xk中的k=⎩ ⎨ ⎧​0,λ1​=λ且λ2​=λ1,λ1​=λ,λ2​=λ或λ2​=λ,λ1​=λ2,λ1​=λ2​=λ​Qm​(x)是设的与Pm​(x)同次多项式​

f ( x ) = e α x [ P l ( x ) cos ⁡ β x + P n ( x ) sin ⁡ β x ] f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x] f(x)=eαx[Pl​(x)cosβx+Pn​(x)sinβx]

当
f ( x ) = e α x [ P l ( x ) cos ⁡ β x + P n ( x ) sin ⁡ β x ] f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x] f(x)=eαx[Pl​(x)cosβx+Pn​(x)sinβx]
时，其中 P l ( x ) , P n ( x ) P_l(x),P_n(x) Pl​(x),Pn​(x)分别为$x$的$l$次，$n$次多项式，则微分方程的特解可设为
y ∗ = x k e α x [ R m ( 1 ) ( x ) cos ⁡ β x + R m ( 2 ) ( x ) sin ⁡ β x ] y^{*}=x^{k}e^{\alpha x}[R_m^{(1)}(x)\cos\beta x+R^{(2)}_m(x)\sin\beta x] y∗=xkeαx[Rm(1)​(x)cosβx+Rm(2)​(x)sinβx]
其中 R m ( 1 ) ( x ) , R m ( 2 ) ( x ) R_m^{(1)}(x),R_m^{(2)}(x) Rm(1)​(x),Rm(2)​(x)是两个$x$的$m$次多项式， m = max ⁡ { l , n } m=\max\{l,n\} m=max{l,n}，当$\alpha \pm \beta i$不是齐次方程的特征根时，取$k=0$；当$\alpha \pm \beta i$是齐次方程的特征根时，取$k=1$

再根据定理5即可得到通解

例3：求微分方程 y ′ ′ + y = x cos ⁡ 2 x y''+y=x\cos2x y′′+y=xcos2x的通解

齐次方程，
y ′ ′ + y = 0 ⇒ λ 2 + 1 = 0 ⇒ λ 1 , 2 = 0 ± i y''+y=0\Rightarrow \lambda^2+1=0\Rightarrow \lambda_{1,2}=0\pm i y′′+y=0⇒λ2+1=0⇒λ1,2​=0±i
因此
y 齐通 = e α x ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sin ⁡ β x ) = C 1 cos ⁡ x + C 2 sin ⁡ x y_{\text{齐通}}=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)=C_1\cos x+C_2\sin x y齐通​=eαx(C1​cosβx+C2​sinβx)=C1​cosx+C2​sinx
设
y ∗ = e α x x 0 [ ( a x + b ) cos ⁡ 2 x + ( c x + d ) sin ⁡ 2 x ] = ( a x + b ) cos ⁡ 2 x + ( c x + d ) sin ⁡ 2 x y ′ ∗ = sin ⁡ 2 x ( − 2 a x − 2 b + c ) + cos ⁡ 2 x ( 2 c x + 2 d + a ) y ′ ′ ∗ = sin ⁡ 2 x ( − 4 c x − 4 d − 4 a ) + cos ⁡ 2 x ( − 4 a x − 4 b + 4 c ) \begin{aligned} y^{*}&=e^{\alpha x}x^0[(ax+b)\cos2x+(cx+d)\sin2x]=(ax+b)\cos2x+(cx+d)\sin2x\\ y'^{*}&=\sin 2x(-2ax-2b+c)+\cos2x(2cx+2d+a)\\ y''^{*}&=\sin2x(-4cx-4d-4a)+\cos2x(-4ax-4b+4c) \end{aligned} y∗y′∗y′′∗​=eαxx0[(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x]=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x=sin2x(−2ax−2b+c)+cos2x(2cx+2d+a)=sin2x(−4cx−4d−4a)+cos2x(−4ax−4b+4c)​
将 y ∗ , y ′ ∗ , y ′ ′ ∗ y^{*},y'^{*},y''^{*} y∗,y′∗,y′′∗代入微分方程
$$\sin 2x(-3cx-3d-4a)+\cos 2x(-3ax-3b+4c)=x\cos 2x$$
有
{ − 3 c = 0 − 3 d − 4 a = 0 3 − 3 a = 1 − 3 b + 4 c = 0 ⇒ { a = − 1 3 b = 0 c = 0 \begin{cases}-3c=0\\-3d-4a=0\\3-3a=1\\-3b+4c=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=-\frac13\\b=0\\c=0\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​−3c=0−3d−4a=03−3a=1−3b+4c=0​⇒⎩ ⎨ ⎧​a=−31​b=0c=0​
故
y ∗ = − 1 3 x cos ⁡ 2 x + 4 9 sin ⁡ 2 x y^{*}=-\frac13x\cos2x+\frac49\sin2x y∗=−31​xcos2x+94​sin2x
故
y 非齐通 = y 齐通 + y ∗ = C 1 cos ⁡ x + C 2 sin ⁡ x − 1 2 x cos ⁡ 2 x + 4 9 sin ⁡ 2 x ( C 1 , C 2 为任意常数 ) \begin{aligned} y_{\text{非齐通}}&=y_{\text{齐通}}+y*\\ &=C_1\cos x+C_2\sin x-\frac12x\cos2x+\frac49\sin2x\\ &(C_1,C_2\text{为任意常数}) \end{aligned} y非齐通​​=y齐通​+y∗=C1​cosx+C2​sinx−21​xcos2x+94​sin2x(C1​,C2​为任意常数)​

例4：求微分方程 y ′ ′ + 5 y ′ + 4 y = 3 − 2 x y''+5y'+4y=3-2x y′′+5y′+4y=3−2x的通解

齐次方程，
y ′ ′ + 5 y ′ + 4 y = 0 ⇒ λ 2 + 5 λ + 4 = 0 ⇒ λ 1 = − 1 , λ 2 = − 4 y''+5y'+4y=0\Rightarrow \lambda^2+5\lambda+4=0\Rightarrow\lambda_1=-1,\lambda_2=-4 y′′+5y′+4y=0⇒λ2+5λ+4=0⇒λ1​=−1,λ2​=−4
故
y 齐通 = C 1 e − x + C 2 e − 4 x y_{\text{齐通}}=C_1e^{-x}+C_2e^{-4x} y齐通​=C1​e−x+C2​e−4x
设
y ∗ = x 0 ( a x + b ) = a x + b y ′ ∗ = a y ′ ′ ∗ = 0 \begin{aligned} y^{*}&=x^0(ax+b)=ax+b\\ y'^{*}&=a\\ y''^{*}&=0 \end{aligned} y∗y′∗y′′∗​=x0(ax+b)=ax+b=a=0​
将 y ∗ , y ′ ∗ , y ′ ′ ∗ y^{*},y'^{*},y''^{*} y∗,y′∗,y′′∗代入微分方程 y ′ ′ + 5 y ′ + 4 y = 3 − 2 x y''+5y'+4y=3-2x y′′+5y′+4y=3−2x中
解得
{ a = − 1 2 b = 11 8 \begin{cases}a=-\frac12\\b=\frac{11}8\end{cases} {a=−21​b=811​​
故
y ∗ = − 1 2 x + 11 8 y*=-\frac12x+\frac{11}8 y∗=−21​x+811​
故
y 非齐通 = y 齐通 + y ∗ = C 1 e − x + C 2 e − 4 x − 1 2 x + 11 8 y_{\text{非齐通}}=y_{\text{齐通}}+y^{*}=C_1e^{-x}+C_2e^{-4x}-\frac12x+\frac{11}8 y非齐通​=y齐通​+y∗=C1​e−x+C2​e−4x−21​x+811​

欧拉方程 x n y ( n ) + a 1 x n − 1 y ( n − 1 ) + ⋯ + a n − 1 x y ′ + a n y = f ( x ) x^{n}y^{(n)}+a_{1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}xy'+a_{n}y=f(x) xny(n)+a1​xn−1y(n−1)+⋯+an−1​xy′+an​y=f(x)

令 x = e t x=e^{t} x=et
y ′ = d y d x = d y d t d t d x = 1 x d y d t x y ′ = d y d t y ′ ′ = d 2 y d t 2 1 x 2 − 1 x 2 d y d t x 2 y ′ ′ = d 2 y d t 2 − d y d t \begin{aligned} y'&=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x} \frac{dy}{dt}\\ xy'&=\frac{dy}{dt}\\ y''&=\frac{d^{2}y}{dt^{2}} \frac{1}{x^{2}}- \frac{1}{x^{2}} \frac{dy}{dt}\\ x^{2}y''&=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}- \frac{dy}{dt} \end{aligned} y′xy′y′′x2y′′​=dxdy​=dtdy​dxdt​=x1​dtdy​=dtdy​=dt2d2y​x21​−x21​dtdy​=dt2d2y​−dtdy​​
记 D = d d t D= \frac{d}{dt} D=dtd​，则有
x y ′ = D y x 2 y ′ ′ = D 2 y − D y = D ( D − 1 ) y \begin{aligned} xy'&=Dy\\ x^{2}y''&=D^{2}y-Dy=D(D-1)y \end{aligned} xy′x2y′′​=Dy=D2y−Dy=D(D−1)y​
类似地
x k y ( k ) = D ( D − 1 ) ⋯ ( D − k + 1 ) y x^{k}y^{(k)}=D(D-1)\cdots (D-k+1)y xky(k)=D(D−1)⋯(D−k+1)y

例5：欧拉方程 x 2 d 2 y d x 2 + 4 x d y d x + 2 y = 0 ( x > 0 ) \begin{aligned} x^{2} \frac{d^{2}y}{dx^{2}}+4x \frac{dy}{dx}+2y=0\end{aligned}(x>0) x2dx2d2y​+4xdxdy​+2y=0​(x>0)

令 x = e t x=e^{t} x=et，有
D ( D − 1 ) y + 4 D y + 2 y = 0 D 2 y + 3 D y + 2 y = 0 \begin{aligned} D(D-1)y+4Dy+2y&=0\\ D^{2}y+3Dy+2y&=0 \end{aligned} D(D−1)y+4Dy+2yD2y+3Dy+2y​=0=0​
对应特征方程
r 2 + 3 r + 2 = 0 ⇒ r 1 = − 1 , r 2 = − 2 r^{2}+3r+2=0\Rightarrow r_{1}=-1,r_{2}=-2 r2+3r+2=0⇒r1​=−1,r2​=−2
有
y = C 1 e − t + C 2 e − 2 t = C 1 x + C 2 x 2 y=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-2t}=\frac{C_{1}}{x}+ \frac{C_{2}}{x^{2}} y=C1​e−t+C2​e−2t=xC1​​+x2C2​​

五、差分方程

一阶常系数线性齐次差分方程 y t + 1 + a y t = 0 y_{t+1}+ay_{t}=0 yt+1​+ayt​=0

通解为
y c ( t ) = C ⋅ ( − a ) t y_{c}(t)=C \cdot (-a )^{t} yc​(t)=C⋅(−a)t

一阶常系数线性非齐次差分方程 y t + 1 + a y t = f ( t ) y_{t+1}+ay_{t}=f(t) yt+1​+ayt​=f(t)

通解为
y t = y c ( t ) + y t ∗ y_{t}=y_{c}(t)+y ^{*}_{t} yt​=yc​(t)+yt∗​
分两种情况讨论

f ( t ) = P m ( t ) f(t)=P_{m}(t) f(t)=Pm​(t)

若$a\ne -1$，令
y t ∗ = Q m ( t ) y_{t}^{*}=Q_{m}(t) yt∗​=Qm​(t)
若$a=-1$，令
y t ∗ = t Q m ( t ) y_{t}^{*}=tQ_{m}(t) yt∗​=tQm​(t)

f ( t ) = d t ⋅ P m ( t ) ( d ≠ 0 ) f(t)=d^{t}\cdot P_{m}(t)(d \ne 0) f(t)=dt⋅Pm​(t)(d=0)

若$a+d\ne 0$，令
y t ∗ = d t ⋅ Q m ( t ) y_{t}^{*}=d^{t}\cdot Q_{m}(t) yt∗​=dt⋅Qm​(t)
若$a+d=0$，令
y t ∗ = t d t ⋅ Q m ( t ) y_{t}^{*}=td^{t}\cdot Q_{m}(t) yt∗​=tdt⋅Qm​(t)

例6：差分方程 y t + 1 − 2 y t = 2 t y_{t+1}-2y_{t}=2^{t} yt+1​−2yt​=2t的通解为（）

齐次方程的通解为
y c ( t ) = C ⋅ 2 t y_{c}(t)=C \cdot 2^{t} yc​(t)=C⋅2t
令 y t ∗ = a t 2 t y_{t}^{*}=at2^{t} yt∗​=at2t，代入原方程得
a ( t + 1 ) 2 t + 1 − 2 a t 2 t = 2 t ⇒ a = 1 2 a(t+1)2^{t+1}-2at2^{t}=2^{t} \Rightarrow a=\frac{1}{2} a(t+1)2t+1−2at2t=2t⇒a=21​
原方程通解为
y t = C 2 t + 1 2 t 2 t y_{t}=C2^{t}+ \frac{1}{2}t2^{t} yt​=C2t+21​t2t

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