伯努利数与自然数幂和推导

伯努利数

Ps.在本篇$blog$中$[x^n]F(x$)表示$F(x)$的第$n$项的系数。

定义

我们用生成函数法来定义伯努利数$B_n$

$$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{i\geq0}\frac{B_i}{i!}x^i$$

换言之，就是$\frac{x}{e^x-1}$为伯努利数的$EGF$。

一些性质

因为

$$\frac{x}{e^x-1}*(e^x-1)=x$$

所以有

$$[x^n]\frac{x}{e^x-1}*(e^x-1)=[n=1]=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{B_i}{i!}*\frac{1}{(n-i)!}$$

$$\sum_{i=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c}{n}\\{i}\end{array}\right){B_i}=[n=1]n!=[n=1]$$

上式便是伯努利数的一个性质，还有一个是当$n\geq1$时，有$B_{2n+1}=0$，然而我并不会证。

伯努利数与自然数幂和

我们记

$$F_k(n)=\sum_{i=1}^ni^k$$

我们把看成一个关于$x$的函数，定义$f$序列满足$f$序列的生成函数为$F_k(x)$，便有

$$F_k(x)=\sum_{i\geq0}f_ix^i$$

关于$f$序列显然的一点是$f_0=0$，据说由归纳法可以得知，$F_k(x)$是一个$k+1$次的多项式，但是我不会证。

将$F_k(x-1)$展开，得

$$F_k(x-1)=\sum_{i\geq0}f_i(x-1)^i$$

$$F_k(x-1)=\sum_{i\geq0}f_i\sum_{j=0}^i\left(\begin{array}{c}{i}\\{j}\end{array}\right)x^j(-1)^{i-j}$$

$$F_k(x-1)=\sum_{j=0}^nx^j\sum_{i=j}^nf_i\left(\begin{array}{c}{i}\\{j}\end{array}\right)(-1)^{i-j}$$
根据 $F_k(x)$的定义，显然我们有 $F_k(x-1)+x^k$= $F_k(x)$，所以 $[x^n]F_k(x-1)+x^k$= $[x^n]F_k(x)$,于是我们便知

$$\sum_{i=j}^nf_i\left(\begin{array}{c}{i}\\{j}\end{array}\right)(-1)^{i-j}=f_j \ \ \ \ \ where\ \ 0\leq j< k$$

$$\sum_{i>j}^nf_i\left(\begin{array}{c}{i}\\{j}\end{array}\right)(-1)^{i-j}=0$$

$$\sum_{i>j}^n{i!f_i(-1)^{i-j}\over {j!(i-j)!}}=0 \ \ \ \ \ where\ \ 0\leq j< k$$

$$\sum_{i>j}^ni!f_i(-1)^{i-j}{1\over {(i-j)!}}=0 \ \ \ \ \ where\ \ 0\leq j< k$$

$$\sum_{i>j}^n{i!f_i(-1)^{i}\over {(i-j)!}}=0 \ \ \ \ \ where\ \ 0\leq j< k$$

还有一条等式是

$$1+f_k-f_{k+1}\left(\begin{array}{c}{k+1}\\{k}\end{array}\right)=f_k \ \ \ \ \ where j=k$$

$$1=f_{k+1}\left(\begin{array}{c}{k+1}\\{k}\end{array}\right)$$

我们可以惊奇地发现，$f_{k+1}$我们可以直接推得，但我们依然要对该式子变形以便我们接下来的推导

$$(-1)^{k+1}k!=(-1)^kf_{k+1}(k+1)!$$

如此这般我们便得到了两条恒等式。

我们记$f'_{k+1-i}=(-1)^i\ i!f_i$，记$f'$的$OGF$为$F'(x)$，我们让$F'(x)$和$(e^x-1)$卷积一下，看一下会有什么奇迹银翘

$$[x^{k+1-j}\ ]F'(x)(e^x-1)=\sum_{k+1-i<k+1-j\ (i>j)}{f'_{k+1-i}\over (i-j)!}\ \ \ \ \ \ where\ 0\leq j<k$$

$$=\sum_{k+1-i<k+1-j\ (i>j)}{(-1)^ii!f_{i}\over (i-j)!}=0\ \ \ \ \ \ where\ 0\leq j<k$$

以及

$$[x^{k+1-j}\ ]F'(x)(e^x-1)=(-1)^{k+1}(k+1)!f_{k+1}=(-1)^{k+1}k!=[x^{1}\ ]F'(x)(e^x-1) \ \ \ \ \ \ where\ j=k$$
终上所述， $F'(x)(e^x-1)=(-1)^{k+1}k!\ x$，变一下式子，便得
$$F'(x)=(-1)^{k+1}k!\ {x\over {e^x-1}}$$

一看，咦，右边的不就是伯努利数的$EGF$，这么巧啊。

再构造一个多项式$F(x)$满足

$$F(x)=\sum_{i> 0}{n^ix^i\over (-1)^ii!}$$

然后我们让$F(x)$和${x\over {e^x-1}}$卷一下，得

$$(-1)^{k+1}k![x^{k+1}]F(x){x\over {e^x-1}}=\sum_{i> 0}{n^i\over (-1)^ii!}f'_{k+1-i}$$

$$=\sum_{i> 0}{n^i\over (-1)^i\ i!}f_i*(-1)^i\ i!=\sum_{i> 0}f_in^i=\sum_{i=1}^ni^k$$
从上式我们可以看出，我们只需用多项式求逆预处理出伯努利数的指数型生成函数，再用 $F(x)$卷积一下便可在 $O(k\ log\ k)$的时间内求出 $1\thicksim n$的 1，2......k 1 ， 2...... k $1，2......k$次幂和。

我们再化简一下上面的式子，

$$\sum_{i=1}^ni^k=(-1)^{k+1}k!\sum_{i> 0}{n^i\over (-1)^ii!}f'_{k+1-i}$$

$$=(-1)^{k+1}k!\sum_{i> 0}{n^i\over (-1)^ii!}{B_{k+1-i}\over {k+1-i}!}$$

$$={1\over{k+1}}\sum_{i=1}^{k+1}(-1)^{k+1-i}\left(\begin{array}{c}{k+1}\\{i}\end{array}\right)n^iB_{k+1-i}$$

于是这样我们便得到了伯努利数推导自然数幂和的公式了。

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