三维反对称矩阵_基于反对称矩阵分解的计算刚体三维运动旋转参数的线性算法...

一、引言在计算机视觉研究领域中,由单镜头序列图象估计刚体的三维运动参数是一个引人注目的课题,它对于行走机器人和自动车导向、目标寻迹,以及物体三维结构的识别和分析等,有着十分重要的意义。由于空间三维数据到图象二维平面的透视投影是非线性变换,且运动参数的待定分量多达12个,因而从不同的出发点可以导出不同的方法。但算法的线性化、解2电子学J1992年的唯一性和可靠性是研究的重点。R.Y.Tsai(l和H.C.Longuet一Higgins冈等人提出的中间参数矩阵算法是具有代表性的方法。其最大特点是利用图象特征对应点坐标(已知量)建立一个反应运动参数(未知量)之间相互制约关系的中间参数矩阵,从而将已知量与未知量之间的复杂非线性关系转化为一系列线性计算过程。由于Tsai的算法基于SVD,因而需要迭代计算且对噪声相当教感。为此,不少改进的算法相继被提出卜刀。然而,以往研究的一个很大缺陷在于旋转矩阵的计算是针对矩阵的全部9个分量进行的,忽略了计算的简化向题,不仅计算量大,而且在有噪声的情况下,计算误差很大,并很难保证旋转矩阵的正交性,使算法的可靠性受到很大影响。近来,有些算法在最优化技术的基础上引人旋转矩阵的正交性限制,使计算得到旋转矩阵的正交性得到了较好的保证价,)。但文献6和7的算法仍采用了SVD方法计算。根据空间解析几何可知,旋转矩阵的9个分量中实际上仅有3个是独立的。为此,本文提出了一个旨在减少未知量个数的简化线性算法,其基本思想是根据三维正交矩阵可唯一地分解成由一个三维反对称矩阵构成的因式乘积,从而将旋转矩阵9个分量的计算简化为对该反对称矩阵3个分量的计算。二、基本数学关系根据物理学和空间解析几何的原理,刚体在三维空间的运动可分解为旋转运动和平移运动的迭加。设运动刚体上某点在,时刻的三维坐标为(x,,,z),经过乙。时间的运动,在,+乙:时刻的坐标为(x‘,,尹,:‘),则运动前后三维坐标间的关系可由下式表达:Q二RP+T(l)其中”‘1‘“1T一1乙y},p=},卜Q一},{!L乙2JLZLzIJT为沿坐标轴的平移分量,R为三维旋转分量矩阵,且是正交矩阵。设在。和:+乙。时刻获取的二幅运动刚体序列图象中同一物点p和Q的图象坐标分别为(x,Y)和(x产,Y‘),根据中心透视投影几何,物点三维坐标与图象坐标有下列关系:一嘴/z,山一以:]/z,?厂lsezl|LXY一一!月‘LUZ一一P其中X/凡]二阿/厂毕少Q一2“一“‘巴尸(2)F:,F,分别为摄象系统X,Y方向的有效焦距(比例因数),可以通过系统定标确定,这里我们将其看作常量。从式(l)、(2)可知,运动参数R、T与序列图象特征点U、V之间的数学关系是非线性的,通过中间参数的介入可将非线性计算转化为线性计算。即,先由已知量(图象特征数据)计算出反映未知量(运动参数)之间约束关系的中间参数(基本矩阵),再由中间参数及约束关系计算出未知量。式(1)是一个向量关系式,用T对其两端作叉积运算,得TxQ=TxRP第4期范洪等:基于反对称矩阵分解的计算刚体三维运动旋转参数的线性算法再用Q对_L式两端作点积运算,得QTx(RP)=00一乙公乙y(3)令乙2一乙夕0乙X一乙x0…厂lesse|eeesL一一G我们称G为由T构成的反对称矩阵,则两个三维向量T和Rp的矢积Tx(RP)可以写成如下形式Tx(RP)=GRP因而式(3)可写成Q‘GRP=0考虑式(2),得V‘GRU=0(4)令E=GR(5)_“1”2“3洲七==}口‘“,“‘{={乞,1L已7ea口,JL七,J则有V‘EU=0E就是所谓的中间参数矩阵,E

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