三角形推广到多边形的面积计算（几何计算）

        我们先来看在坐标系下三角形的面积计算

        A(x1, y1),B(x2, y2), C(x3, y3)这三点，向量AB我记为a，向量AC我记为b，S_ABC = 1/2 absin，a = (x, y), b = (m, n)，代入:

a = (x2-x1, y2-y1)，b = (x3-x1, y3-y1)
则 x = x2-x1, y = y2-y1, m = x3-x1, n = y3-y1;
则 S_ABC = 1/2|x1y2+x2y3+x3y1-x1y3-x3y2-x2y1|
实际上更好的办法是用三阶行列式写出来（只怪本人还未学线性代数）:

        在这里我并没有规定方向，所以需要加上绝对值。实际上，如果是逆时针方向则为正，顺势针方向则为负，我们在这里可以将它称为有向面积:
        代码如下:

#include
#include
using namespace std;
int main()
{int x1, y1, x2, y2, x3, y3;double S;cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> x3 >> y3;S = 0.5 * fabs(x1 * y2 + x2 * y3 + x3 * y1 - x1 * y3 - x3 * y2 - x2 * y1);printf("%.2lf\n", S);return 0;
}

        那对于多边形呢？实际上我们看，一个多边形也可以进行拆分成若干三角形，三角形面积的累加就为多变形的面积，如图:

        在这里我们可以起一个起点，比如S点，那么多边形SABCDE可以化成SBA、SCB、SDC、SED四个三角形的面积之和，假设S(x0, y0)，A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)、D(x4, y4)、E(x5, y5)，在这里我们取逆时针方向（因为为正)，利用上面的三阶行列式及其展开:

        然后我们再来求加和，可以得到:

        发现什么特点了吗？是不是交错相乘相减再求累加和，但是在这里需要注意最后一项是首尾坐标，在这里是S(x0, y0)和E(x5, y5)点，被减去，我们可以得到一个公式:
        S = ∑ i = 0 n − 1 x i y ( i + 1 ) − x ( i + 1 ) y i \sum_{i=0}^{n-1} x_iy_(i+1)-x_(i+1)y_i ∑i=0n−1​xi​y(​i+1)−x(​i+1)yi​-(x0yn-1-xn-1y0)
        代码如下：

#include
#include
using namespace std;
int main()
{int i, n, a[100][2];double S;printf("请问有多少个顶点?\n");cin >> n;for (i = 0; i < n; i++){cin >> a[i][0] >> a[i][1];}S = 0;for (i = 0; i < n - 1; i++){//按照逆时针方向旋转S += 0.5 * (a[i][0] * a[i + 1][1] - a[i + 1][0] * a[i][1]);}S += 0.5 * (a[0][0] * a[n - 1][1] - a[n - 1][0] * a[0][1]);printf("面积为:\n");printf("%.2f\n", S);return 0;
}

在这里无论是凸多边形还是凹多边形，都可以采用这样的方式去求解，因为当你规定逆时针方向时，实际上的面积是为有向面积，此时，你在顺势针方向上读时的面积为负则恰好减去原来多的一块面积，所以也可也采用此方法。
听说也可以采用皮克定理来做，有兴趣的同学可以看一看，只做借鉴。

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