导数的定义、性质及计算（导数的定义式计算）

• 导数，derivative，
  
  • first derivative：一阶导，second derivative：二阶导，
  • which derivative：几阶导？
  • a derivative：一个导数，并不确定阶数
• $|x|$ 的导数，$\text{sign}(x)$（在 $x=0$ 处没有定义）

1. 定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处有增量 $\Delta x$，$x_0+\Delta x$也在该邻域时，对应的函数取得增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。如果 $\Delta y$ 与 $\Delta x$ 之比，当 $\Delta x\rightarrow 0$ 时，极限存在，则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导（仅在 $x_0$ 这一点处，并不保证在所有点处），并称这个极限为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数记为 $f'(x_0)$，即：

$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x⇒ 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x⇒ 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

例：给定一个函数 $f$ 及自变量 $x$，定义：

$$Q(h)\equiv\frac{-f(x-2h)+16f(x-h)-30f(x)+16f(x+h)-f(x+2h)}{12h^2}$$

问 $Q(h)$ 是 $f$ 的几阶导数？

$$\begin{split} Q(h)\equiv&\frac{-f(x-2h)+16f(x-h)-30f(x)+16f(x+h)-f(x+2h)}{12h^2}\\ =&\frac{\left(f(x-h)-f(x-2h)\right)-15(f(x)-f(x-h)-f(x+h)+f(x))}{12h^2}+\frac{-(f(x+2h)-f(x+h))}{12h^2}\\ =&\frac{f'(x-2h)-15f'(x-h)+15f'(x)-f'(x+h)}{12h}\\ =&\frac{15f''(x-h)-3f''(x-2h)}{12}=f'' \end{split}$$

2. $\nabla$ 与 $\Delta$

• $\nabla$：梯度算子（gradient operator）
• $\Delta$：delta，变化量；

考察下面（二元函数导数）的定义：

$$\lim_{\Delta \mathrm x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta \mathrm x}=\lim_{\Delta \mathrm x\to 0}\frac{f(\mathrm x+\Delta\mathrm x)-f(\mathrm x)}{\Delta\mathrm x}=f'(\mathrm x)$$

任取一个比较小的变化 $\Delta \mathrm x$，则有：

$$\Delta f\approx f(\mathrm x+\Delta\mathrm x)-f(\mathrm x)=\Delta \mathrm x^T\cdot f'(\mathrm x)$$

• $f'(\mathrm x)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}\right)^T$
• $\Delta f\approx \Delta \mathrm x^T\cdot f'(\mathrm x)=\frac{\partial f}{\partial x_1}\Delta x_1+\frac{\partial f}{\partial x_1}\Delta x_1$

3. 导数的计算

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{} x^2\sin(1/x) & \text{if } x\neq 0\\ 0 & \text{if }x=0 \end{array} \right.$$

在 $x=0$ 处是可微的，根据导数的定义：

$$f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{h^2\sin(1/h)-0}{h}=0$$

然而，对于 $x\neq 0$，

$$f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$$

在 $x\to 0$ 时是没有极限的（$\cos(1/x)$ 一直在震荡）。

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