伽玛函数1/2值计算

2023-10-24 07:51:26

$\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$

$\Gamma(\frac{1}{2})=\int_{0}^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt$

解法一：

由余元公式：

$\Gamma(1-x)\Gamma(x)=\frac{\pi}{sin\pi x}$

可得

$\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

解法二：

$\Gamma(\frac{1}{2})=\int_{0}^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt$

令 $t=\frac{x^{2}}{2}$

$\begin{aligned} \Gamma(\frac{1}{2})&=\int_{0}^{\infty}\sqrt{2}x^{-1}e^{-\frac{x^{2}}{2}}d\frac{x^{2}}{2}\\ &=\int_{0}^{\infty}\sqrt{2}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx \end{aligned}$

由标准正态分布密度函数：

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}},-\infty< x<\infty$

$\begin{aligned} \Gamma(\frac{1}{2})=&\int_{0}^{\infty}2\sqrt{\pi}f(x)dx\\ =&2\sqrt{\pi}(1-F(0))\\ =&2\sqrt{\pi}\frac{1}{2}\\ =&\sqrt{\pi} \end{aligned}$

解法三：

$\Gamma(\frac{1}{2})=\int_{0}^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt$

令 $t=x^{2}$

$\begin{aligned} \Gamma(\frac{1}{2})=&\int_{0}^{\infty}x^{-1}e^{-x^{2}}dx^{2}\\ =&\int_{0}^{\infty}2e^{-x^{2}}dx \end{aligned}$

令 $I=\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx$

则

$I^{2}=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy$

转化为极坐标：

$\begin{aligned} I^{2}=&\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\infty}e^{-\rho^{2}}\rho d\rho d\theta\\ =&\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[-\frac{1}{2}e^{-\rho^{2}}]_{0}^{\infty}d\theta\\ =&\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}d\theta\\ =&\frac{\pi}{4} \end{aligned}$

$I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

$\Gamma(\frac{1}{2})=2I=\sqrt{\pi}$

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