离散数学学习笔记----一阶逻辑基本概念
一阶逻辑基本概念
一些笔记：
重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换都是矛盾式。
对公式中的个体域及个体常项、函数符号、谓词符号的指定称作解释，指定自由出现的个体变项的值称为赋值。
注意解题格式。以下给出书上几道例题。
用0元谓词将下列命题符号化：只有2是偶数，4才是偶数。
解: F ( 4 ) → F ( 2 ) F(4) \rightarrow F(2) F(4)→F(2)，其中F（x）：x为偶数。
在一阶逻辑中将下列命题符号化：有的实数是无理数，有的实数是有理数。
解： ∃ x ( F ( x ) ∧ G ( x ) ) ∧ ∃ y ( F ( y ) ∧ H ( y ) ) \exists x(F(x) \wedge G(x)) \wedge \exists y (F(y)\wedge H(y)) ∃x(F(x)∧G(x))∧∃y(F(y)∧H(y)),其中 F ( x ) : x 是 实 数 ， G （ x ） ： x 是 有 理 数 ， H （ x ） ： x 是 无 理 数 F(x):x是实数，G（x）：x是有理数，H（x）：x是无理数 F(x):x是实数，G（x）：x是有理数，H（x）：x是无理数。
证明 ∀ x ( F ( x ) → G ( y ) ) \forall x(F(x)\rightarrow G(y)) ∀x(F(x)→G(y))为可满足式，但不是永真式。
证：取解释 I I I为：个体域为全总个体域， F ( x ) : x F(x):x F(x):x为自然数，G（y）：y为整数， I I I下的赋值 σ 1 ( y ) = 1 \sigma_1(y)=1 σ1(y)=1。不难看出，在 I I I与 σ 1 \sigma_1 σ1下，题中公式为真命题，所以它为可满足式。
取 σ 2 ( y ) = 1.5 \sigma_2(y)=1.5 σ2(y)=1.5，则在 I I I和 σ 2 \sigma_2 σ2下公式为假命题，所以它不是永真式。
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