AI笔记: 数学基础之多元函数的概念和极限

多元函数

1 ） 概念

• 设D为一个非空的n 元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。
• 若对于每一个有序数组 ( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。
• 记为y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 变量x1,x2,…,xn称为自变量，y称为因变量。
• 当n=1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D，当n=2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D。二元及以上的函数统称为多元函数。

更好的理解，可以通过二元函数、三元函数的定义 作如下表述

• 设D是平面上的一个点集，如果对于每个点$P(x,y)\in D$
• 变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应
• 则称z是变量x,y的二元函数，记为$z=f(x,y)$ (或 记为 $z=f(P)$)
• 类似地可定义三元及以上函数
• 当$n\ge 2$时, n元函数统称为多元函数
• 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念

2 ） 例子

• 圆柱体的体积： V = π r 2 h , { ( r , h ) ∣ r > 0 , h > 0 } V = \pi r^2 h, \ \ \ \{(r,h) | r > 0, h > 0\} V=πr2h,   {(r,h)∣r>0,h>0}
• 定量理想气体的压强： p = R T V { ( V , T ) , ∣ V > 0 , T > T 0 } p = \frac{RT}{V} \ \ \ \{(V,T), | V > 0, T > T_0 \} p=VRT​   {(V,T),∣V>0,T>T0​} (R为常数)
• 三角形面积的海伦公式
  • p = a + b + c 2 p = \frac{a + b + c}{2} p=2a+b+c​
  • S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) { ( a , b , c ) ∣ a > 0 , b > 0 , c > 0 , a + b > c } S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \ \ \ \{ (a,b,c) | a > 0, b > 0, c > 0, a + b > c \} S=p(p−a)(p−b)(p−c) ​   {(a,b,c)∣a>0,b>0,c>0,a+b>c}

二元函数$z=f(x,y)$的图形

• 设函数$z=f(x,y)$的定义域为D, 对于任意取定的$P(x,y)\in D$, 对应的函数值为 $z=f(x,y)$, 这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标, 在这个三维空间就确定一点M(x,y,z)
• 取遍D上的一切点(x,y)时，的一个空间点集 { ( x , y , z ) ∣ z = f ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D } \{(x,y,z) | z = f(x,y), (x,y) \in D\} {(x,y,z)∣z=f(x,y),(x,y)∈D}, 这个点集称为二元函数的图形
• 如下图，二元函数的图形通常是一张曲面

例子

• (1) 二元函数 z = 1 − x 2 − y 2 z=\sqrt{1-x^2-y^2} z=1−x2−y2 ​定义域为圆域 { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ≤ 1 } \{ (x,y) | x^2 + y^2 \leq 1 \} {(x,y)∣x2+y2≤1}, 图形为中心在原点的上半球面

• (2) z = s i n ( x y ) , ( x , y ) ∈ R 2 z=sin(xy), (x,y) \in R^2 z=sin(xy),(x,y)∈R2 说明：二元函数 $z=f(x,y),(x,y)\in D$的图形一般为空间曲面$\Sigma$

• (3) 三元函数 u = a r c s i n ( x 2 + y 2 + z 2 ) u=arcsin(x^2 + y^2 + z^2) u=arcsin(x2+y2+z2) 定义域为单位闭球体 { ( x , y , z ) , ∣ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 } \{ (x,y,z), | x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 \} {(x,y,z),∣x2+y2+z2≤1}, 图形为四维空间中的超曲面

多元函数的极限

一元函数的极限

• 若$\forall \epsilon >0$, $\exists \delta >0$
• 当点 x ∈ U ˚ ( x 0 , δ ) x \in \mathring{U}(x_0, \delta) x∈U˚(x0​,δ)时，$f(x)\in U(a,\epsilon )$, 即 $|f(x)-a|<\epsilon$
• 则称 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = a \lim_{x \to x_0} f(x) = a limx→x0​​f(x)=a

多元函数的极限

• 设二元函数$f(P)=f(x,y)$的定义域为D, P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0, y_0) P0​(x0​,y0​)是其聚点.
• 如果存在常数A, $\forall \epsilon >0$, 总存在正数$\delta$
• 使得在 P 0 P_0 P0​的空心$\delta$邻域内的一切点P(x,y)都成立 $|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<\epsilon$
• 则称常数A为函数f(x,y) 当 ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) (x,y) \to (x_0, y_0) (x,y)→(x0​,y0​) 时的极限，记为
• lim ⁡ x → x 0 , y → y 0 f ( x , y ) = A \lim_{x \to x_0, y \to y_0} f(x,y) = A limx→x0​,y→y0​​f(x,y)=A 或 f ( x , y ) ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) → A f(x,y)_{(x,y) \to (x_0, y_0)} \to A f(x,y)(x,y)→(x0​,y0​)​→A, 也记作
• lim ⁡ P → P 0 f ( P ) = A \lim_{P \to P_0} f(P) = A limP→P0​​f(P)=A 或 f ( P ) → A ( P → P 0 ) f(P) \to A(P \to P_0) f(P)→A(P→P0​)
• 二元函数的极限也称为二重极限

例子

• 设 f ( x , y ) = ( x 2 + y 2 ) s i n 1 x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ≠ 0 ) f(x,y) = (x^2 + y^2) sin \frac{1}{x^2 + y^2} \ \ \ (x^2 + y^2 \neq 0) f(x,y)=(x2+y2)sinx2+y21​   (x2+y2​=0), 求证 lim ⁡ x → 0 , y → 0 f ( x , y ) = 0 \lim_{x \to 0, y \to 0} f(x,y) = 0 limx→0,y→0​f(x,y)=0
• 分析：
  • 因为 ∣ ( x 2 + y 2 ) s i n 1 x 2 + y 2 − 0 ∣ ≤ x 2 + y 2 < ε |(x^2 + y^2) sin \frac{1}{x^2 + y^2} - 0| \leq x^2 + y^2 < \varepsilon ∣(x2+y2)sinx2+y21​−0∣≤x2+y2<ε
  • 所以 $\forall \epsilon >0$, ∃ δ = ε \exists \delta = \sqrt{\varepsilon} ∃δ=ε ​, 当 0 < ρ = x 2 + y 2 < δ 0 < \rho = \sqrt{x^2 + y^2} < \delta 0<ρ=x2+y2 ​<δ时，
  • 总有 ∣ f ( x , y ) − 0 ∣ ≤ x 2 + y 2 < δ 2 = ε |f(x,y) - 0| \leq x^2 + y^2 < \delta^2 = \varepsilon ∣f(x,y)−0∣≤x2+y2<δ2=ε
  • 故： lim ⁡ x → 0 , y → 0 f ( x , y ) = 0 \lim_{x \to 0, y \to 0} f(x,y) = 0 limx→0,y→0​f(x,y)=0

本文来自互联网用户投稿，文章观点仅代表作者本人，不代表本站立场，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处。 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请点击【内容举报】进行投诉反馈！