牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method）

牛顿法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），将非线性方程 f(x) = 0 近似为：   f(xk) + f´(xk)(xk+1 -  xk

) = 0，得

牛顿法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），将非线性方程 f(x) = 0 近似为：   f(xk) + f´(xk)(xk+1 -  xk) = 0，得


如果f'是连续的，并且待求的零点x是孤立的，那么在零点x周围存在一个区域，只要初始值x₀位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果f'(x)不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍

例题二：
编写一个程序，求以下方程的根：
x³-5x²+6x-80=0
算法设计：牛顿迭代法
利用牛顿迭代公式 x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f'(x(n));
循环体为：
for(int i=0;i
{
        x1=x0-f(x0)/df(x0);
        x0=x1;
}
其中n为迭代次数，该值越大根值越精确；x0为在方程根取值范围内的任意值，作为初始迭代的条件。
C++实现如下：

#include

using namespace std;  

float f(float x)  

{  

    float y;  

    y=x*x*x-5.0*x*x+16.0*x-80.0;  

    return y;  

}  

float df(float x)  

{  

    float y;  

    y=3.0*x*x-10.0*x+6;  

    return y;  

}  

int main()  

{  

    float x0,x1;  

    int n;  

    cout<<"输入x0:";  

    cin>>x0;  

    cout<<"迭代次数:";  

    cin>>n;  

    for(int i=0;i

    {  

        x1=x0-f(x0)/df(x0);  

        x0=x1;  

    }  

    cout<<"方程的根:x="<

    return 0;  

}  

迭代次数:10
方程的根:x=5.15874
Press any key to continue

输入x0:2

迭代次数:100
方程的根:x=5
Press any key to continue

非线性代数方程组求解
n 个变量 个方程的非线性方程组, 其一般形式如下: 

式(1)中 是定义在 维欧式空间中开域上的实值函数。若用向量记,令: 

则方程组(1)也可以表示为: 

非线性数值方法种类较多，最常用的是Newton迭代法。求解非线性方程组的Newton法是一个最基本而且十分重要的方法,目前使用的很多有效的迭代法都是以Newton法为基础,或由它派生而来。

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