信号与系统学习记录

目录

• 第一章 绪论
• • 1.1 信号与系统
  • • 1.1.1 信号
    • 1.1.2 系统
    • 1.1.3 信号理论与系统理论
    • 1.1.4 通信系统与信号处理
  • 1.2 信号的描述、分类和典型
  • • 1.2.1 信号的描述
    • 1.2.2 信号的分类
    • 1.2.3 信号的典型
  • 1.3 信号的运算
  • • 1.3.1 对自变量的变换
    • 1.3.2 微分和积分
    • 1.3.3 信号的加法和乘法
  • 1.4 $\star$阶跃信号和冲激信号
  • • 1.4.1 奇异信号
    • 1.4.2 单位斜变函数
    • 1.4.3 $\star$单位阶跃函数
    • 1.4.4 $\star \star$ 单位冲激函数 $♢$
    • 1.4.5 小结
  • 1.5 信号的分解
  • • 1.5.1 直流分量和交流分量
    • 1.5.2 奇分量和偶分量
    • 1.5.3 脉冲分量
    • 1.5.4 实部分量和虚部分量
    • 1.5.5 正交分量
    • 1.5.6 分形分量
  • 1.6 系统模型及其分类
  • • 1.6.1 信号的时域运算（基本元件）
    • 1.6.2 系统的定义和表示
    • 1.6.3 系统的分类
  • $\star \star$ 1.7 线性时不变系统
  • • 1.7.1 线性与非线性系统
    • 1.7.2 时变与非时变系统
    • 1.7.3 因果与非因果系统
  • 1.8 系统分析方法
• 第二章 连续时间系统的时域分析
• • 2.1 引言
  • 2.2 微分方程的建立与求解
  • • 2.2.1 微分方程的建立
    • 2.2.2 微分方程的经典法求解
  • 2.3 起始点的跳变
  • • 2.3.1 0 − 0_{-} 0−​状态和 0 + 0_{+} 0+​状态
    • 2.3.2 电容电压的跳变
    • 2.3.3 电感电流的跳变
    • 2.3.4 求解示例
    • 2.3.5 冲激函数匹配法确定初始条件
  • 2.4 零输入响应和零状态响应
  • • 2.4.0 定义与特点
    • 2.4.1 起始状态与激励源的转换
    • 2.4.2 电容电感的等效电路
    • 2.4.3 系统响应划分
    • 2.4.4 对线性非时变系统的进一步认识
  • 2.5 冲激响应和阶跃响应
  • • 2.5.1 冲激响应
    • 2.5.2 阶跃响应
    • 2.5.冲激响应与阶跃响应的关系

第一章 绪论

1.1 信号与系统

1.1.1 信号

• 消息（Message）：在通信系统中，一般将包含信息的语言、文字、图像或数据统称为消息
• 信息（information）：是指传达给人的消息能消除受信者的某些不确定性
• 信号（Signal）：指消息的表现形式与传送载体，通常表示为时间的函数。电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、磁通等
• 三者之间的关系：信息是消息的内容，消息借助一定形式的信号传送出去，即信息是消息的传输内容，信号是消息的传输形式

1.1.2 系统

• 系统（system）：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的，具有稳定功能的整体。如太阳系、电系统、通信系统、控制系统、经济系统、生态系统等。
• 系统可以看作是变换器、处理器
• 电系统具有特殊的重要地位，某个电路的输入、输出是完成某种功能，如微分、积分、放大，也可以称系统

在电子技术领域中，“系统”、“电路”、“网络”三个名词在一般情况下可以通用

1.1.3 信号理论与系统理论

1.1.4 通信系统与信号处理

通信系统：为传送消息二装设的全套技术设备（包括传输信道）

• 在通信系统中传送的本质内容是信息
• 发送端：将信息表示成具体的消息，再将消息加载到信号上，才能在实际的通信系统中传输
• 接收端：经过对含有噪声的信号进行处理，使之变成文字、语言或图像形式的消息，人们再从中得到有用的信息

信号处理：对信号进行某种加工或变换，以达到消除信号中的多余内容、滤除混杂的噪声和干扰、将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特征参量

1.2 信号的描述、分类和典型

信号(Signal)：是随时间变化的某种物理量,是消息的表现形式与传送载体

1.2.1 信号的描述

描述方式：1）表达式 2）波形 3）频谱

• 物理上： 信号是信息寄寓变化的形式
• 数学上： 信号是一个或多个变量的函数
• 形态上： 信号表现为一种波形
• 自变量： 时间、位移、周期、频率、幅度、相位等

1.2.2 信号的分类

1. 确定性信号和随机信号
   1）确定性信号：对于指定的某一时刻t,可确定一相应的函数值f(t)。
   若干不连续点除外（信号与系统）
   2）随机信号：具有不可预知的不确定性（随机信号分析）
   3）伪随机信号：貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）（扩频通信）
2. 周期信号和非周期信号
   1）周期信号：$$f(t)=f(t+nT),n=0,\pm 1,\pm 2,\pm \mathrm{3...}$$
   2）非周期信号：
   准周期信号：频率之比为无理数，如：$$sint+sin\pi t$$
   瞬态：除准周期信号外的一切可以用时间函数描述的非周期信号

说明：
两个连续周期信号的和信号不一定是周期信号。
只有当两个周期信号的周期之比为有理数时，和信号才是周期信号，其周期等于两信号周期的最小公倍数

3. 连续信号和离散信号
   连续时间信号：信号存在的时间范围内，任意时刻都有定义（即都可以给出确定的函数值，可以有有限个间断点），用t表示连续时间变量。
   

离散时间信号：在时间上是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值，其他时间没有定义，用整数序号n表示离散时间变量

模拟信号、抽样信号和数字信号

这里有一个表格，可以很好的判断信号的类型

4. 一维信号和多维信号
   一维信号：只由一个自变量描述的信号，如语音信号
   多维信号：由多个自变量描述的信号，如图像信号

5. 能量信号和功率信号
   能量信号(Energy signal)：E为有限值，P = 0
   E = lim ⁡ T → ∞ ∫ − T T ∣ f ( t ) ∣ 2 d t E=\lim_{T\to \infty}\int_{-T}^{T}{|f(t)|^2}dt E=T→∞lim​∫−TT​∣f(t)∣2dt
   功率信号(Power signal)：P为有限值，E = 0
   P = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T ∫ − T T ∣ f ( t ) ∣ 2 d t P=\lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}{|f(t)|^2}dt P=T→∞lim​2T1​∫−TT​∣f(t)∣2dt

1.2.3 信号的典型

1. 指数信号
   
2. 正弦信号
   
3. 复指数信号
   
4. 抽样信号
   
5. 钟型信号
   

1.3 信号的运算

1.3.1 对自变量的变换

• 平移
  $$f(t)⟹f(t\pm \tau )$$
  1)将信号$f(t)$沿着时间轴平移$\tau$个单位长度，得到$f(t\pm \tau )$;
  2)满足“左加右减”原则，向右移动表示滞后，向左移动表示超前；
  3）在信号与系统的课程中应该持有一种思想，即：
  认为t的负半轴是过去，而t=0的点是当下时刻，t的正半轴为将来，这种思想有助于建立信号的时域观念
  

• 反褶
  $$f(t)⟹f(-t)$$
  以纵轴为对称轴折叠，将信号的过去与将来对调
  

• 尺度(展缩)
  $$f(t)⟹f(at)$$
  f ( t ) ⟹ f ( a t ) { a > 1 ⟶ 压缩，信号持续的时间缩短 0 < a < 1 ⟶ 扩展，信号持续的时间延长 f(t)\Longrightarrow f(at) \left\{\begin{matrix} a>1\longrightarrow 压缩，信号持续的时间缩短\\ 0f(t)⟹f(at){a>1⟶压缩，信号持续的时间缩短0<a<1⟶扩展，信号持续的时间延长​
  波形的压缩与扩展，标度变换
  

• 一般情况
  f ( t ) ⟶ f ( a t ± b ) = f [ a ( t ± b a ) ] ( 设 a > 0 ) f(t)\longrightarrow f(at±b)=f[a(t±\frac{b}{a})] (设a>0) f(t)⟶f(at±b)=f[a(t±ab​)](设a>0)
  notice：所有的变换应该是只针对自变量$t$进行的变换
  

1.3.2 微分和积分

• 微分
  f ′ ( t ) = d f ( t ) d t f ^\prime(t)=\frac{df(t)}{dt} f′(t)=dtdf(t)​
  
• 积分
  ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ \int_{-\infty}^t f(\tau)d\tau ∫−∞t​f(τ)dτ
  

1.3.3 信号的加法和乘法

在通信系统的调制、解调等过程中将经常遇到两信号相乘运算

1.4 $\star$阶跃信号和冲激信号

1.4.1 奇异信号

函数本身有不连续点(跳变点)，或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数

1.4.2 单位斜变函数

斜变信号也称斜坡信号或斜升信号。这是指从某一时刻开始随时间正比例增长的信号。如果增长的变化率是1，就称为单位斜变信号

• 单位斜变信号
  
• 有延迟的单位斜变信号
  
• 斜变信号表示三角脉冲
  

1.4.3 $\star$单位阶跃函数

单位阶跃函数的物理背景是，在t=0时刻对某一电路接入单位电源（可以是直流电压源或直流电流源)，并且无限持续下去。
容易证明，单位斜变函数的导数等于单位阶跃函数

• 单位阶跃函数
  
• 有延迟的单位阶跃函数
  
• 门函数（窗函数）
  其他函数只要用门函数处理(乘以门函数)，就只剩下门内的部分
  f ( t ) = u ( t + τ 2 ) − u ( t − τ 2 ) f(t)=u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2}) f(t)=u(t+2τ​)−u(t−2τ​)
  
• 符号函数（Signum）
  s g n ( t ) = { 1 , t > 0 0 , t < 0 sgn(t)= \left\{\begin{matrix} 1,t>0\\ 0,t<0 \end{matrix}\right. sgn(t)={1,t>00,t<0​
  用阶跃函数表示
  $sgn(t)=-u(-t)+u(t)=2u(t)-1$ u ( t ) = 1 2 [ s g n ( t ) + 1 ] u(t)=\frac{1}{2}[sgn(t)+1] u(t)=21​[sgn(t)+1]
  

1.4.4 $\star \star$ 单位冲激函数 $♢$

某些物理现象需要用一个时间极短，但取值极大的函数模型来描述，例如力学中瞬间作用的冲击力，电学中的雷击电闪，数字通信中的抽样脉冲等。“冲激函数”的概念就是以这类实际问题为背景而引出的。
单位冲激函数定义

• 数学逼近定义
  
  如果矩形脉冲的面积不是固定为1，而是E,则表示一个冲激强度为E倍单位值的δ函数，即Eδ(t)(在用图形表示时，可将此强度E注于箭头旁)
  
  
  上图所示分别为三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲以及抽样函数演变为冲激函数
• Dirac函数定义
  
  1）函数值只在t = 0时不为零
  2）积分面积为1
  3）t =0 时，$\delta (t)\to \infty$，为无界函数

单位冲激函数的性质

• 抽样性
  乘积形式：$$f(t)\delta (t)=f(0)\delta (t)$$
  积分形式： ∫ − ∞ ∞ f ( t ) δ ( t ) d t = f ( 0 ) \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t)dt =f(0) ∫−∞∞​f(t)δ(t)dt=f(0)
  
  移位形式： ∫ − ∞ ∞ f ( t ) δ ( t − t 0 ) d t = f ( t 0 ) \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-t_0)dt =f(t_0) ∫−∞∞​f(t)δ(t−t0​)dt=f(t0​)

• 奇偶性
  $$\delta (t)=\delta (-t)$$
  $\delta (t)$为偶函数，可以用数学逼近定义或者筛选性得以证明，下面为通过筛选性进行证明
  

• 冲激偶 $♢$
  定义
  冲激函数的微分（阶跃函数的二阶导数）将呈现正、负极性的一对冲激，称为冲激偶信号，以8(t)表示。可以利用规则函数系列取极限的概念引出 δ ′ ( t ) \delta^\prime(t) δ′(t),在此借助三角形脉冲系列
  性质
  

• 标度变换
  

1.4.5 小结

$R(t)、u(t)、\delta (t)$ 之间的关系

冲激函数性质总结

1.5 信号的分解

1.5.1 直流分量和交流分量

1.5.2 奇分量和偶分量

例题

1.5.3 脉冲分量

矩形窄脉冲序列

连续阶跃信号之和

将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，后面的卷积积分中将用到，可利用卷积积分求系统的零状态响应。

1.5.4 实部分量和虚部分量

1.5.5 正交分量

1.5.6 分形分量

1.6 系统模型及其分类

1.6.1 信号的时域运算（基本元件）

• 基本元件
  
  
• 系统框图
  1、连续时间系统的框图由加法器、倍乘单元和积分器构成，因此，须将微分方程改写成积分方程后再绘制。
  2、同一系统（或微分方程)对应的框图不唯一，信号流图也有该性质
  例
  

1.6.2 系统的定义和表示

• 定义
  系统(System) 由一些单元按一定规则相互连接而成的具有一定功能的有机整体；
  单元与系统之间没有明显的界限各单元之间的连接是有一定规则的，连接方式不同，所组成的系统也不同；系统的功能是指在给定激励（输入）下，达到怎样的响应（输出）
  系统可以看作信号的变换器、处理器
• 表示
  

1.6.3 系统的分类

$\star \star$ 1.7 线性时不变系统

1.7.1 线性与非线性系统

定义

判断方法

1.7.2 时变与非时变系统

定义

时不变性

判断方法

线性时不变系统的微积分特性

1.7.3 因果与非因果系统

定义

判断方法
输出不超前于输入

因果信号

1.8 系统分析方法

建立系统模型的两种方法

• 输入——输出描述法
  – 着眼于激励与响应的关系，而不考虑系统内部变量情况
  – 单输入/单输出系统
  – 列写一元 n 阶微分方程

• 状态变量分析法
  – 不仅可以给出系统的响应，还可以描述内部变量，如电容电压 v C ( t ) v_C(t) vC​(t)或电感电流 i L ( t ) i_L(t) iL​(t)的变化情况
  – 研究多输入/多输出系统
  – 列写多个一阶微分方程

数学模型的求解方法

• 时域分析
  – 经典法求解 { 连续系统：微分方程 离散系统：差分方程 经典法求解 \left\{\begin{matrix} 连续系统：微分方程\\ 离散系统：差分方程 \end{matrix}\right. 经典法求解{连续系统：微分方程离散系统：差分方程​
  – 卷积积分法

• 变换域分析
  – 傅里叶变换——FT
  – 拉普拉斯变换——LT
  – z 变换——ZT
  – 离散傅里叶变换——DFT
  – 离散沃尔什变换——DWT

第二章 连续时间系统的时域分析

2.1 引言

本章要点：

• 线性系统完全响应的求解:齐次解和特解
• 零输入响应和零状态响应
• $\star$ 卷积积分：针对零状态响应 $♢$
  
  系统分析过程
  
• 经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与$\delta (t)$有关的问题有待进一步解决—— $h(t)$
• 卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求 (新方法)
  y z s ( t ) = f ( t ) ∗ h ( t ) y_{zs}(t)=f(t)*h(t) yzs​(t)=f(t)∗h(t)

2.2 微分方程的建立与求解

2.2.1 微分方程的建立

若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述
根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程，对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程；

• 元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等；
• 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL；

一个线性系统，其激励信号$e(t)$与响应信号$r(t)$之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述

若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的 n 阶线性常微分方程
阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定

2.2.2 微分方程的经典法求解

几种典型激励函数的特解

求解线性、常系数微分方程流程图

小结

• 常微分方程的全解由齐次解和特解组成
• 齐次解的函数形式仅依赖于系统本身的特性，而与激励函数的形式无关，称为系统的自由响应或固有响应
• 齐次解的系数与初始条件有关
• 特征方程根称为系统的固有频率
• 特解的形式由激励信号的形式确定，称为强迫响应

2.3 起始点的跳变

2.3.1 0 − 0_{-} 0−​状态和 0 + 0_{+} 0+​状态

由于激励信号的作用，响应$x(t)$及其各阶导数有可能在t=0时刻发生跳变，为区分跳变前后的状态，我们以 0 − 0_{-} 0−​表示激励接入之前的瞬时，以 0 + 0_{+} 0+​表示激励接人以后的瞬时。与此对应，给出 0 − 0_{-} 0−​时刻和 0 + 0_{+} 0+​时刻的两组状态，即:

我们称这组状态为“ 0 − 0_{-} 0−​状态”或“起始状态”。它包含了为计算未来响应所需要的过去全部信息。另一组状态是

这组状态被称为“ 0 + 0_{+} 0+​状态”或“初始状态”，也可称为“导出的起始状态”。

一般情况下，用时域经典法求得微分方程的解答应限于$0+<t<\infty$的时间范围。因而不能以 0 − 0_{-} 0−​状态作为初始条件，而应当利用 0 + 0_{+} 0+​状态作为初始条件。

在没有冲激电流（或阶跃电压）强迫作用于电容的条件下，电容两端电压C(t)不发生跳变；在没有冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于电感的条件下，流经电感的电流iz(t)不发生跳变。这时有:
v C ( 0 + ) = v C ( 0 − ) i L ( 0 + ) = i L ( 0 − ) v_C(0_{+}) = v_C(0_{-})\\ i_L(0_{+})=i_L(0_{-}) vC​(0+​)=vC​(0−​)iL​(0+​)=iL​(0−​)

2.3.2 电容电压的跳变

2.3.3 电感电流的跳变

2.3.4 求解示例

（1) 列出电路的微分方程

（2） 求解系统的完全响应

（3） 确定电路的初始状态 i ( 0 + ) 、 d d t i ( 0 + ) i(0_{+})、\frac{d}{dt}i(0_{+}) i(0+​)、dtd​i(0+​)
换路之前

换路之后

（4）求$i(t)$在 t > = 0 + t>=0_{+} t>=0+​时的全响应

2.3.5 冲激函数匹配法确定初始条件

例题分析


数学描述

方法说明

2.4 零输入响应和零状态响应

2.4.0 定义与特点

• 自由响应和零输入响应都满足齐次方程的解。
• 然而，它们的系数完全不同。零输人响应的A仅由起始储能情况决定，而自由响应的A要同时依从于起始状态和激励信号。
• 自由响应由两部分组成，其中，一部分由起始状态决定，另一部分由激励信号决定。二者都与系统自身参数密切关联。
• 若系统起始无储能，即0_状态为零，则零输人响应为零，但自由响应可以不为零，由激励信号与系统参数共同决定。
• 零输入响应由0-时刻到0+时刻不跳变，此时刻若发生跳变可能出现在零状态响应分量之中。

2.4.1 起始状态与激励源的转换

2.4.2 电容电感的等效电路

2.4.3 系统响应划分

求解

2.4.4 对线性非时变系统的进一步认识

2.5 冲激响应和阶跃响应

2.5.1 冲激响应

定义


n阶冲激响应的数学模型

h(t)解答的形式

例题

2.5.2 阶跃响应

定义

2.5.冲激响应与阶跃响应的关系

补充

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