假设太阳半径、地球半径和日地距离同时变为当前的1%

假设太阳半径、地球半径和日地距离同时变为当前的1%

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背景

这个问题实际上是一个高考题，是2014年北京卷23题第（2）问。原题抄录如下：

设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径Rs和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长?

解析

地球绕太阳作圆周运动，万有引力提供向心力。
根据牛顿第二定律和万有引力定律可得：

$F=ma$
G M m r 2 = m ω 2 r \dfrac {GMm}{ r ^2 } = m \omega ^2 r r2GMm​=mω2r
G M r 2 = 4 π 2 T 2 ⋅ r \dfrac {GM}{ r ^2 } = \dfrac { 4 \pi ^2 }{ T ^2 } \cdot r r2GM​=T24π2​⋅r
T 2 r 3 = 4 π 2 G M \dfrac { T^2 }{ r^3 } = \dfrac { 4 \pi ^2 } {GM} r3T2​=GM4π2​
至此，我们从牛顿第二定律和万有引力定律推导出了与开普勒第三定律完全一致的结论。

T 2 = 4 π 2 G ⋅ r 3 M T^2 = \dfrac{ 4 \pi ^2 } {G} \cdot \dfrac{ r^3 }{ M } T2=G4π2​⋅Mr3​
T 1 2 T 0 2 = r 1 3 r 0 3 ⋅ M 0 M 1 \dfrac{ T_1 ^2 }{ T_0 ^2 } = \dfrac{ r_1 ^3 }{ r_0 ^3 } \cdot \dfrac{M_0}{M_1} T02​T12​​=r03​r13​​⋅M1​M0​​
根据质量、密度与体积的关系可知：
M = ρ V = ρ ⋅ 4 3 R S 3 M= \rho V = \rho \cdot \frac{4}{3} R_S ^3 M=ρV=ρ⋅34​RS3​
T 1 2 T 0 2 = r 1 3 r 0 3 ⋅ R S 0 3 R S 1 3 = ( 1 100 ) 3 ⋅ ( 100 1 ) 3 = 1 \dfrac{ T_1 ^2 }{ T_0 ^2 } = \dfrac{ r_1 ^3 }{ r_0 ^3 } \cdot \dfrac{ R_{S0} ^3 }{ R_{S1} ^3} = ( \dfrac {1}{100} ) ^3 \cdot ( \dfrac {100}{1} ) ^3 = 1 T02​T12​​=r03​r13​​⋅RS13​RS03​​=(1001​)3⋅(1100​)3=1

结论：“设想地球”的1年就等于1个实际的地球年。

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