面试官问我：什么是 “伸展树” ？

今天，我们来介绍一种更有意思的自平衡二叉树：伸展树。它的英文名字是Splay Tree。

Part 1 为什么要伸展

我们来回顾一下，二叉搜索树满足：左子结点 < 当前结点 < 右子结点

为什么要有平衡树呢？因为当二叉搜索树如下图“瘸腿”时，搜索左侧的结点，原来的速度 会掉到 ，与链表一个速度，失去了价值。

为了避免树瘸腿，我们可以通过适当的旋转来调整树的结构。

伸展树的核心，是通过不断的将结点旋转到根结点（即为splay操作），来保证整棵树不会跟链表一样。它由 Daniel Sleator 和 Robert Tarjan 发明 。

1.1 结点

node中记录的信息：

• parent：父结点的指针。

• child[0/1]: child[0]为左子结点的指针，child[1]为右子结点的指针。

• value：这个结点存了啥。

• count：二叉树中不存在两个值相同的结点，如果需要记录多个就需要一个变量来记录这个数值出现了多少次。（count就是来干这个活的）

• size：这个结点为根结点的子树中有多少个结点。

基础操作：

• maintain：更新结点的size。（更新要自底向上）

• get：获取自己的类型，0为左子结点，1为右子结点。

• connect: 连接两个结点。

class node {public:node *parent; // 父结点的指针node *child[2]; // child[0]为左子结点的指针，child[1]为右子结点的指针。int value, count, size; // 数据，出现次数，子树大小node(int _value) {value = _value;parent = child[0] = child[1] = NULL;count = size = 1;}};

我们把对指针是否为NULL提到了两个基础操作中，所以只能放在伸展树的类中。

destroy：销毁整个树。

因为结点使用的是堆空间（new出来的），所以必须要销毁（delete），否则会内存泄漏。

class splayTree {
public:node *root;splayTree() {root = NULL;}~splayTree() {destroy(root); // 从root开始销毁}void destroy(node *current) { // 销毁结点if (current) {destroy(current->child[0]); // 后序遍历destroy(current->child[1]);delete current;}}void maintain(node *current) { // 更新sizeif (current == NULL) { // 可能传入的是一个空指针return;}current->size = current->count; // 先将自己加上if (current->child[0]) { // 防止没儿子，NULL，报错current->size += current->child[0]->size; // 加上儿子}if (current->child[1]) {current->size += current->child[1]->size;}}int get(node *current) { // 获得结点是左结点还是右结点，0左1右if (current == NULL || current->parent == NULL) { // 传入空指针；根结点没有父亲，特判一下return -1;}return current->parent->child[1] == current; // 父亲的右子结点 是不是 自己}void connect(node *parent, node *current, int type) { // 父结点指针，当前结点指针，类型（0左1右）if (parent) { // parent 可能为NULLparent->child[type] = current;}if (current) { // current 也可能为NULLcurrent->parent = parent;}}
};

可能会有读者好奇：这个size是用来干什么的呢？别急，等到查询排名时就会用到。

1.2 左旋 & 右旋

通过旋转，我们能在保证旋转可以保证左子结点 < 当前结点 < 右子结点的情况下调整结点之间的关系。

旋转有两种定义：

1. 对以x为根的子树进行旋转。

2. 把x向上旋转。

1.2.1 以x为根的子树进行旋转

1.2.2 把x向上旋转

上面的动画使用文字叙述即为：

• 左旋

1. 将被旋转结点的左结点变为父结点的右结点。

2. 父结点变为被旋转结点的左子结点

3. 原父结点的父结点（爷爷）变为被旋转结点的父结点。

• 右旋

• 1. 将被旋转结点的右结点变为父结点的左结点。

  2. 父结点变为被旋转结点的右子结点

  3. 原父结点的父结点（爷爷）变为被旋转结点的父结点。

虽然1、2两种旋转定义不同，但是只看移动这分明就是一种嘛。

有细心的读者发现：左右旋的方式与AVL、红黑树等其他二叉树相同。
因为这是唯一一种不改变中序遍历的旋转方式。

左旋与右旋都不会改变中序遍历的结果，如上方动图，中序遍历始终为1 y 2 x 3

除了举例论证，你也可以这样理解：

这是因为左旋和右旋会保证旋转后的二叉树左子结点 < 当前结点 < 右子结点，因为旋转没有插入或删除结点，所以二叉树的中序遍历没变。

1.2.3 合并左右旋

想要合并左右旋，只能使用定义二：把x向上旋转。（原因见下）

左旋和右旋虽然属于两种操作，但是细想想：
一个结点不是左子结点，就是右子结点。因为我们要将结点向上旋转，所以每一个结点（除了根结点），只能朝一个方向旋转，也就是父结点的方向。

所以可以将两种操作整合为一种：
当被旋转的结点的类型为左子结点时，进行右旋。
当被旋转的结点的类型为右子结点时，进行左旋。

那么如何用一组代码来表达两种旋转呢？
我们之前对child定义为数组，那么可以使用child[数值]来决定访问的是左结点还是右结点。在内嵌套get(...)，可以得到与被旋转结点类型相同的子结点。

如果get(...)得到的为0（左），怎样让其变成1（右），来访问右结点呢？
这个问题等同于将get(...)取反。

1. x ^ 1可以将0变1，1变0。

2. !x，疑似可以，但get(...)的返回值为int型，不建议使用!。

下面这个动画对应左旋：

由于旋转改变了父子关系，所以当前结点与父结点的size会发生变化，需要重新更新。
旋转之后，父亲变为儿子，所以要先更新原父亲（被旋转结点在旋转前的父结点），后更新原儿子（被旋转结点）。

代码实现，注释中也藏了一些知识点（关于maintain的顺序）：

void rotate(node *current) {if (current == root || current == NULL) { // 根结点没有父结点，旋转不了；防止传入空指针后报错return;}node *parent = current->parent; // 爹爹node *grandParent = parent->parent; // 爷爷，可能是NULLint type = get(current); // 被旋转结点的类型，0为右旋，1为左旋int parentType = get(parent); // 爹爹的类型connect(parent, current->child[type ^ 1], type); // 将三角形的结点挂到父结点connect(current, parent, type ^ 1); // 儿子变父亲if (parent == root) { // 如果父结点为根结点，需要将根结点指针更新root = current;}connect(grandParent, current, parentType); // 爷爷认孙子为儿子maintain(parent); // 此时parent（父亲）变为最底层的结点了，对其先进行更新maintain(current); // parent结点更新之后，位于parent父亲位置的current进行更新// 为啥不更新 grandParent 呢？是因为旋转是在 grandParent 以下的位置进行的，子树大小无变化。
}

下面的splay采用定义2，也就是上面的实现。

1.3 splay

splay名字很高大上，其实很简单。
splay其实就是将某一个结点经过几次旋转后达到根结点位置。

当前结点、父结点与爷爷结点的位置不同，向上旋转的方式也不同。

前文，我们将左旋与右旋写到了一起，使用的定义是把x向上旋转，此时splay的逻辑如下：

• 当前结点为x

1. 如果x的父结点为根结点，直接对x进行旋转。

2. 如果父结点不是根结点，且x与父结点的类型相同，对父结点进行旋转。

3. 如果父结点不是根结点，且x与父结点的类型不同，对x进行旋转。

void splay(node *current) {if (current == NULL || current->parent == NULL) { // 根结点没有父结点，会形成死循环；为current传入NULL以防万一return;}while (current->parent->parent) { // 父结点不是根结点（是根结点的话get(current->parent)无法正常执行）if (get(current) == get(current->parent)) { // 类型相同rotate(current->parent);} else {rotate(current);}}rotate(current); // 父亲为根结点，旋转自己篡位
}

1.4 查找

find(value)用于查找一个结点，其数据与value相同。

由于平衡树终究是在BST（二叉搜索树）之上进行变换，查找方式大体与BST相同：

1. 如果当前结点的值小于要搜索的值：向右结点查找（右结点比当前结点大）

2. 如果当前结点的值大于要搜索的值：向左结点查找（左结点比当前结点小）

3. 如果两个值相等：恭喜你，找到结点了。

其中，如果在向子结点查找时，发现子结点为空，那么必然找不到结点了。（1、2都是对目标值进行逼近，不存在结点存在只是没有被搜索的情况）

可是伸展树有一个特性：在每执行完一次操作（查找、插入、删除等等）后都要对结点进行splay

在查找这种操作中，被查找的结点需要在查找到后进行splay

node* find(int value) {node *current = root; // 从根结点开始搜索while (current) {if (current->value < value) {current = current->child[1]; // 小了，往大了走} else if (current ->value > value) {current = current->child[0]; // 大了，往小了走} else { // 不大也不小不就是找到了吗？splay(current);return current;}}return NULL; // 找不到结点，退出。（找到得到结点的话会在while循环就退出）
}

1.5 查询排名

rank(value)，值为value的结点的排名，为这个结点在中序遍历中排第几位。
虽然排名为中序遍历的排名，但是我们并不需要对整个树进行中序遍历。
排名可以看做：结点左面的结点个数 + 1（这个1对应它自己）

由于我们事先不知道值value对应哪一个结点，所以我们需要将上文的find整合进来。
维护一个变量leftSize，用于记录结点左侧共多少个结点，

1. 如果当前结点的值大于要搜索的值：向左结点查找（左边没有结点，leftSize不改变）

2. 这个时候果断将leftSize += 左子树大小，因为目标结点不是在当前结点就是在右结点，这两种情况都约过了左子树。
   如果两个值相等，那么就是找到了，将leftSize += 1，对找到的结点进行splay，返回leftSize。（+ 1是自己的）

3. 2没有返回目标结点必然在右子树，leftSize += 当前结点的count向右结点查找吧。

int rankOfNode(int value) {// 这里传入的value为被查询排名的结点的valuenode *current = root; // 从根结点开始搜索int leftSize = 0; // 左侧的所有结点总和while (current) {if (value < current->value) { // 目标结点小于当前结点，向左走current = current->child[0];} else {// 无论是目标结点为当前结点，还是在右子树，都跨过了左子树if (current->child[0]) { // 可能没有左子树leftSize += current->child[0]->size;}if (value == current->value) {leftSize += 1; // 加上自己的。你就想最左边结点leftSize = 0，可是排名是1splay(current);return leftSize;}// 找到结点的话会return，所以这里必然是目标结点大，向右走leftSize += current->count; // 把当前结点越过，加上current = current->child[1]; // 这个current变到右子结点是必须放在最后的，否则前面会乱}}return -1; // 找不到结点，输出-1
}

1.6 查询排名为rank的结点

当我们知道了排名，怎样找对应的结点呢？

勘误：动画中判断应为rank <= 0，而非rank == 0。由于例子中所有结点的count都为1，所以表面看来没有问题。

我们设 以当前结点为根结点的树中，需要查询排名为rank。

1.如果rank > 左子树的size：

• 那么目标结点只能存在于当前结点与右子树之间。我们对rank -= 左子树的size + 当前结点的count。

• • 如果此时rank <= 0，那么目标结点就在根结点。（一个极端例子，第一个结点的count为999，1 ~ 999都对应了这一个结点，rank -= count就会出现负数）

  • 如果此时rank > 0，那么目标结点还在右结点，把当前结点设置为右结点，整个过程再来一遍。

2.如果rank <= 左子树的size：

• 那么目标结点肯定藏匿于左子树，将目标结点设置为左结点，再来一遍。

向右走，越过了左子树的所有结点与当前结点，所以要对rank减越过的结点。
向左走，越过了空气什么也没有越过，故rank不动。

因为rank在做完减法后就会判断是否为小于0，小于0就退出了。所以其余时间里rank > 0。

node* nodeOfRank(int rank) {node *current = root; // 从根结点查找while (current) {if ((current->child[0] && rank > current->child[0]->size) || current->child[0] == NULL) {// 1. 左子树存在，rank > 且左子树大小// 2. 左子树不存在，大小可看做0。因为rank > 0，所以无需判断可知 rank > 左子树大小。if (current->child[0]) {rank -= current->child[0]->size;}rank -= current->count;if (rank <= 0) {splay(current);return current;}current = current->child[1]; // 不是在左子树、当前结点，就是在右子树呗} else {current = current->child[0]; // 目标结点在左子树}}return NULL;
}

1.7 前趋后继

前趋pre：比查询结点小的最大结点。
后继next：比查询结点大的最小结点。

由于结点的左子树任意一个结点都比当前结点小，在左子树中取最大的结点即为前趋。
后继同理，右子树任意一个结点都比当前结点大，在右子树中取最小的结点即为后继。

取最大值最小值与BST相同：
最大：找树的最右侧结点。（右 > 中 > 左）
最小：找树的最左侧结点。（左 < 中 < 右）

node* preNext(int type, node *current) { // 0为前趋，1为后继if (current == NULL) {return NULL;}splay(current);current = current->child[type]; // 如果current没有左结点，那么current会变为NULLwhile (current && current->child[type ^ 1]) { // current->child[1]用来避免current为NULLcurrent = current->child[type ^ 1];}splay(current);return current;
}

1.8 插入

插入有三种情况：

1. 整棵树是空的，root为NULL，这种情况下我们直接将结点放在root的位置即可。

2. 在树的已有结点中存在新插入的值，由于二叉搜索树中不能出现两个值一样的结点，所以对已有的结点的count加1即可。

3. 树中没有这个新插入的值，那么我们需要找到合适的位置，在插入后进行splay

第三种情况：

1. 像find的过程一样，当前结点小于插入值向右子树查找，当前结点大于插入值向左查找（等于就属于第二种情况了），直到当前结点为NULL，找到一个空位置。（这里我们需要记录当前结点的parent，因为NULL结点是记录不了信息的）

2. 连接 NULL位置的父结点 与 插入的结点。

3. splay插入结点。

node* insert(int value) {if (root == NULL) {root = new node(value);return root;}node *current = root;node *parent = current->parent;int type; // 类型while (current) { // 和查找一模一样if (current->value < value) {parent = current;current = current->child[1];type = 1;} else if (current->value > value) {parent = current;current = current->child[0];type = 0;} else { // 已经有相同结点了，将其count++即可。current->count ++;splay(current);return current;}}current = new node(value);connect(parent, current, type);splay(current);return current;
}

1.9 合并两棵树

合并两棵树，我们设它们的根结点分别为x和y。
要使两棵树能够合并，x中的最大值要小于y中的最小值。

合并过程：

1. x或y有一个树是空的，返回不是空的那个。

2. x和y均不为空。

3. 1. splay x中的最大值。

   2. 此时x的根结点的右子树为空，将y作为x的右子树（因为右 > 中 > 左，x的最大值还在根结点，没有比最大值还有大的了，所有右侧没有结点）

合并操作需要在删除中遇到，动画与实现均在删除中。

1.10 删除

删除过程：

1. 我们首先将被删除的结点进行splay。

2. 销毁被删除结点，与左右子树断开联系。

3. 合并两棵树（右合并到左）

// 求以current为根的树的最大与最小值
node* minMax(int type, node *current) { // type == 0为min，type == 1为maxwhile (current->child[type]) {current = current->child[type];}splay(current);return current;
}void remove(node *current) {splay(current);if (current->count >= 2) {current->count --;return;}node *left = current->child[0];node *right = current->child[1];if (left) {left->parent = NULL;}if (right) {right->parent = NULL;}delete current;if (left && right) { // 两个都有left = minMax(1, left); // 求最大值最小值时默认进行了splayright = minMax(0, right);connect(left, right, 1);root = left;} else {if (left) { // 只有左结点root = left;} else { // 只有右结点，或者两个都没有。两个都没有right为NULL，root就变成NULL了root = right;}}
}

1.11 代码

LOJ上的普通平衡树^[2]

我们上述的几种操作个个对应题目需要。但是当我们仔细读题：

求 的前趋（前趋定义为小于 ，且最大的数）；
求 的后继（后继定义为大于 ，且最小的数）。

本文中的前趋后继为结点的前一个与后一个，而题目中 可能不存在，怎么办呢？
简单！将x插入到树中，进行查询，随后再删除不就行了吗？

完整代码如下，LOJ中不开优化测评记录^[3]：

//
// Created by Cat-shao on 2021/5/8.
//#include 
#include 
#include using namespace std;class splayTree {
public:class node {public:node *parent; // 父结点的指针node *child[2]; // child[0]为左子结点的指针，child[1]为右子结点的指针。int value, count, size; // 数据，出现次数，子树大小node(int _value) {value = _value;parent = child[0] = child[1] = NULL;count = size = 1;}};node *root;splayTree() {root = NULL;}~splayTree() {destroy(root);}void destroy(node *current) {if (current) {destroy(current->child[0]);destroy(current->child[1]);delete current;}}void maintain(node *current) { // 更新sizeif (current == NULL) { // 可能传入的是一个空指针return;}current->size = current->count; // 先将自己加上if (current->child[0]) { // 防止没儿子，NULL，报错current->size += current->child[0]->size; // 加上儿子}if (current->child[1]) {current->size += current->child[1]->size;}}int get(node *current) { // 获得结点是左结点还是右结点，0左1右if (current == NULL || current->parent == NULL) { // 传入空指针；根结点没有父亲，特判一下return -1;}return current->parent->child[1] == current; // 父亲的右子结点 是不是 自己}void connect(node *parent, node *current, int type) { // 父结点指针，当前结点指针，类型（0左1右）if (parent) { // parent 可能为NULLparent->child[type] = current;}if (current) { // current 也可能为NULLcurrent->parent = parent;}}void rotate(node *current) {if (current == root || current == NULL) { // 根结点没有父结点，旋转不了；防止传入空指针后报错return;}node *parent = current->parent; // 爹爹node *grandParent = parent->parent; // 爷爷，可能是NULLint type = get(current); // 被旋转结点的类型，0为右旋，1为左旋int parentType = get(parent); // 爹爹的类型connect(parent, current->child[type ^ 1], type); // 将三角形的结点挂到父结点connect(current, parent, type ^ 1); // 儿子变父亲if (parent == root) { // 如果父结点为根结点，需要将根结点指针更新root = current;}connect(grandParent, current, parentType); // 爷爷认孙子为儿子maintain(parent); // 此时parent（父亲）变为最底层的结点了，对其先进行更新maintain(current); // parent结点更新之后，位于parent父亲位置的current进行更新// 为啥不更新 grandParent 呢？是因为旋转是在 grandParent 以下的位置进行的，子树大小无变化。}void splay(node *current) {if (current == NULL || current->parent == NULL) { // 根结点没有父结点，会形成死循环；为current传入NULL以防万一return;}while (current->parent->parent) { // 父结点不是根结点（是根结点的话get(current->parent)无法正常执行）if (get(current) == get(current->parent)) { // 类型相同rotate(current->parent);} else {rotate(current);}}rotate(current); // 父亲为根结点，旋转自己篡位}node* find(int value) {node *current = root; // 从根结点开始搜索while (current) {if (current->value < value) {current = current->child[1]; // 小了，往大了走} else if (current->value > value) {current = current->child[0]; // 大了，往小了走} else { // 不大也不小不就是找到了吗？splay(current);return current;}}return NULL; // 找不到结点，退出。（找到得到结点的话会在while循环就退出）}int rankOfNode(int value) {// 这里传入的value为被查询排名的结点的valuenode *current = root; // 从根结点开始搜索int leftSize = 0; // 左侧的所有结点总和while (current) {if (value < current->value) { // 目标结点小于当前结点，向左走current = current->child[0];} else {// 无论是目标结点为当前结点，还是在右子树，都跨过了左子树if (current->child[0]) { // 可能没有左子树leftSize += current->child[0]->size;}if (value == current->value) {leftSize += 1; // 加上自己的。你就想最左边结点leftSize = 0，可是排名是1splay(current);return leftSize;}// 找到结点的话会return，所以这里必然是目标结点大，向右走leftSize += current->count; // 把当前结点越过，加上current = current->child[1]; // 这个current变到右子结点是必须放在最后的，否则前面会乱}}return -1; // 找不到结点，输出-1}node* nodeOfRank(int rank) {node *current = root; // 从根结点查找while (current) {if ((current->child[0] && rank > current->child[0]->size) || current->child[0] == NULL) {// 1. 左子树存在，rank > 且左子树大小// 2. 左子树不存在，大小可看做0。因为rank > 0，所以无需判断可知 rank > 左子树大小。if (current->child[0]) {rank -= current->child[0]->size;}rank -= current->count;if (rank <= 0) {splay(current);return current;}current = current->child[1]; // 不是在左子树、当前结点，就是在右子树呗} else {current = current->child[0]; // 目标结点在左子树}}return NULL;}node* preNext(int type, node *current) { // 0为前趋，1为后继if (current == NULL) {return NULL;}splay(current);current = current->child[type]; // 如果current没有左结点，那么current会变为NULLwhile (current && current->child[type ^ 1]) { // current->child[1]用来避免current为NULLcurrent = current->child[type ^ 1];}splay(current);return current;}node* insert(int value) {if (root == NULL) {root = new node(value);return root;}node *current = root;node *parent = current->parent;int type; // 类型while (current) { // 和查找一模一样if (current->value < value) {parent = current;current = current->child[1];type = 1;} else if (current->value > value) {parent = current;current = current->child[0];type = 0;} else { // 已经有相同结点了，将其count++即可。current->count ++;splay(current);return current;}}current = new node(value);connect(parent, current, type);splay(current);return current;}node* minMax(int type, node *current) { // type == 0为min，type == 1为maxwhile (current->child[type]) {current = current->child[type];}splay(current);return current;}void remove(node *current) {splay(current);if (current->count >= 2) {current->count --;return;}node *left = current->child[0];node *right = current->child[1];if (left) {left->parent = NULL;}if (right) {right->parent = NULL;}delete current;if (left && right) { // 两个都有left = minMax(1, left); // 求最大值最小值时默认进行了splayright = minMax(0, right);connect(left, right, 1);root = left;} else {if (left) { // 只有左节点root = left;} else { // 只有右节点，或者两个都没有。两个都没有right为NULL，root就变成NULL了root = right;}}}
};void LOJ104()
{int n, opt, x;splayTree tree = splayTree();scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d%d", &opt, &x);switch (opt) {case 1: tree.insert(x); break;case 2: tree.remove(tree.find(x)); break;case 3: printf("%d\n", tree.rankOfNode(x)); break;case 4: printf("%d\n", tree.nodeOfRank(x)->value); break;case 5:tree.insert(x);printf("%d\n", tree.preNext(0, tree.find(x))->value);tree.remove(tree.find(x));break;case 6:tree.insert(x);printf("%d\n", tree.preNext(1, tree.find(x))->value);tree.remove(tree.find(x));break;}}
}int main()
{LOJ104();
}

1.12 时间复杂度

伸展树可视化^[4]（需要将网址复制到浏览器中，网址见页脚）

在学完了伸展树的基础操作之后，我们发现主要是splay来维护整个二叉树平衡，然而splay后的树并不平衡。

伸展树的时间复杂度是均摊的 ，Tarjan是怎么将这个复杂度算出来的呢？

你百度一下，就会看见很多人使用了势函数来证明。

身为一个蒟蒻，我无法证明。可是，经过测试，伸展树与其他平衡树的速度大同小异。

1.13 与其他平衡树比较

这么看伸展树就一打酱油的，那这个东西到底有什么意义呢？

伸展树的优势在于操作多

欲知后事如何，且听下回分解！

参考与鸣谢

1. OI Wiki^[5]：OIer的算法wiki，知识点全面但是小白看不懂，大家可以收藏。

2. KHIN^[6]：问了KH很多问题，受益颇多。

3. manim幼儿园^[7]：本文所有的动画皆为manim所做，manim幼儿园的视频教程十分详细。

伸展树算法偏难，你若有什么问题，欢迎回复，或者在LOJ的讨论^[8]中发出你的观点。

讨论中可能会跟进一些内容（如前趋后继的更好实现、勘误）。

参考资料

[1]

splay tree demo: https://www.link.cs.cmu.edu/splay/

LOJ上的普通平衡树: https://loj.ac/p/104

LOJ中不开优化测评记录: https://loj.ac/s/1141137

伸展树可视化: https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/SplayTree.html

OI Wiki: https://oi-wiki.org/ds/splay/#_11

KHIN: https://www.luogu.com.cn/user/236807

manim幼儿园: https://manim.wiki/

LOJ的讨论: https://loj.ac/d/3181