自再现模形成过程matlab,平行平面腔自再现模的matlab数值计算

平行平面腔自再现模的matlab数值计算

平行平面腔自再现模的数值解法 石鹏(2010302749) 目前，平行平面腔在中等以上激光器中仍普遍应用，但是平行平面腔的自 再现模积分方程至今尚未得到精确的解析解。本文就条形腔和矩形对积分方程 做数值计算。计算的思想基于Fox-Li 数值迭代法，计算用matlab 软件实现， 结果可以很直观地用图形表示出来。 1.矩形腔的分离变量法 先来看谐振腔的自再现模。所谓自再现，就是指不管初始分布 的具体特征如何，只 1 u 要经过足够多次的往返渡越后，所生成的场分布都将明显带有衍射的痕迹，而且，具有这 种特点的场分布将不再受到衍射作用的影响，形成一种稳定的场分布。 设 为经过 次渡越后在某一镜面上的光场分布，根据菲涅耳—基尔霍夫衍射   , q u x y   q 积分公式，可以得到光波再渡越一次腔长距离后的光场分布 与 之间的关系为： 1 q u  q u(1)       1 , , 1 cos 4 ik q q ik e u x y u x y ds              按照自再现模的概念， 和 应满足关系： 。光场分布 的模长为振幅 1 q u  q u 1 q q u u    q u 分布，相角为相位分布。 对于矩形腔， 的计算公式为：      2 2 2 x x y y L         按幂级数展开近似为：     2 2 2 2 x x y y L L L         代入(1) ，可以得到积分方程的核为：       2 2 2 2 , , , x x y y ik L L ikL i K x y x y e e L                   可以看出，方形镜平行平面腔的自再现模的积分方程对 、 两个坐标是对称的。令 x y ， (2)       , mn m n u x y u x u y  mn m n     这样就可以对积分方程进行分离变量， 和 的方程具有相同的形式： x y(3)       2 2 x x a ik ikL L m m m a i u x e e u x dx L            这就是条形腔的积分方程，求解矩形腔的自再现模的关键就是解这个方程。2.积分方程的数值解法 积分方程(1) ， (3)在数学上称为第二类弗里德霍姆方程。这儿使用Fox-Li 数值迭 代的方法来求解。方程(3)可以表示为以下形式：(4)       1 a q q a u x K x x u x dx        (5)     2 2 x x ik ikL L i K x x e e L         其中 为积分的核函数。方程(4)的含义是场分布 经过一次传输以后   K x x     q u x 得到新的场分布 。根据自再现模的性质，不管初始分布 具有什么样的形式，   1 q u x    1 u x 用方程(4 )经过足够多次迭代得到的光场分布都具有相同的形式。 现在任意给一个初始分布，来解方程(4) 。先将方程(4)离散化：(6)       1 1 2 n q i q i i a u x K x x u x n        再次迭代就要用到 ，把 代入上式，令 分别等于 1,2,3 ，计算 的前   1 q i u x   i x  i   1 q i u x   几项， ； ；       1 1 1 1 2 n q i q i i a u x K x x u x n              1 2 2 1 2 n q i q i i a u x K x x u x n        ，可以发现(6)式具有矩阵的形式，把它写出来：       1 3 3 1 2 n q i q i i a u x K x x u x n        (7)                               1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 n 1 2 2 q q n q q n q n q n n n n u x u x K x x K x x K x x u x u x K x x K x x K x x a n u x u x K x x K x x K x x                                                        … … … … … … … … … 把上式简化表示为 ，可以发现矩阵表示有特殊的含义：在(4)中， 1 q q U KU   是一个关于 和 的函数，而在(7 )中 是一个数值矩阵。传输一次就是给   K x x   x x  K 左乘一个 ，于是，初始分布经过 q 次传输以后就是给初始分布左乘一个 ： q U K q K(8) 1 q q U K U  这就是积分方程(4)的数值方法的迭代公式。可以发现，用积分方程迭代的重点就是 计算核矩阵 。我把它做成了一个函数文件 kernel ： K function K = kernel( Lambda , L , x ) %KERNEL 计算积分方程的核Kk = 2*pi/Lambda ; [ X , Y ] = meshgrid(x) ; K = sqrt( 1i/(Lambda*L) * exp(-1i*k*L) ) * exp(-1i*k * (Y-X).^2 / (2*L) ) ; end Kernel函数的输入参数为波长、腔长和一个把坐标轴离散化后的向量x 。 其中用到了一个生成网格数据的函数meshgrid，它可以得到一个横向向右递增 的矩阵X 和一个纵向向下递增的矩阵Y，用来计算矩阵 。这种算法的结果得到 K 了一个数值矩阵，并且把函数积分的N次迭代转化为对数值矩阵求N 次方。 matlab计算矩阵的速度比计算函数的速度要快，这就增加了程序的效率，优化 了算法。这儿得到的 中并没有步长2a/n ，因为n 是在函数外部定义的，所以在 K 函数外部调用比较方便。 3.条形腔的自再现模 方程(3)就是条形腔的自再现模的积分方程，经过前面的讨论，它的解法 就是利用公式(8 )来进行迭代。计算条形腔的振幅和相位分布的函数为bar1 ， 下面给出bar1函数的一段代码： M = 500 ; T = 300 ; x = linspace(-a,a,M) ; x1 = ones( M , 1 ) ; K = kernel( Lambda , L , x ) ; y = (2*

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