合同矩阵充要条件

两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。

正惯性指数是矩阵正特征值个数，负惯性指数是矩阵负特征值个数。

即合同矩阵的充分必要条件是特征值的正负号个数相同。

证明：

本论证中的所有矩阵先假设为对称矩阵，但不限于对称矩阵。

根据定义，若矩阵A和矩阵B满足
B = P T A P (1.1) B = P^T A P \tag{1.1} B=PTAP(1.1)
则称A与B合同。

根据对称矩阵的性质，可以得出：
A = Q T Λ Q (1.2) A = Q^T \Lambda Q \tag{1.2} A=QTΛQ(1.2)

其中，$\Lambda$既可以是普通的对角矩阵（即标准型），也可以是规范型（即对角元素的绝对值为1）。

将（1.1）带入（1.2）可得：

B = P T Q T Λ Q P = ( Q P ) T Λ ( Q P ) (1.3) B =P^T Q^T \Lambda Q P =(QP) ^T \Lambda (Q P)\tag{1.3} B=PTQTΛQP=(QP)TΛ(QP)(1.3)

假设 $（QP）=R$，则（1.3）可化为

B = ( R ) T Λ ( R ) (1.4) B =(R) ^T \Lambda (R)\tag{1.4} B=(R)TΛ(R)(1.4)

假若对角矩阵$\Lambda$是标准型，则 $\Lambda$一定可以利用矩阵乘法化为规范型矩阵。

从（1.2）和（1.4）可以得出，若A和B满足合同条件（1.1），等价于合同矩阵有相同的特征值（规范型），结论得证。

注意：
在对称矩阵中，合同跟相似是等价的，两者能够相互推导。但是在非对称矩阵中，合同和相似是不同的。

还是要感谢万能的知乎。

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