图像形态学

形态学（Morphology)是生物学中研究动植物形态和结构的一个学科分支。数学形态学（Mathematical Morphology)是一门建立在集合论基础上的学科，它是几何形态分析和描述的有力工具。数学形态学是一种有效的非线性图像处理和分析理论，由一组形态学的代数运算构成。最基本的形态学运算有膨胀（Dilation）、腐蚀（Erosion）、开（Opening）和闭（Closing)。基于这些基本运算可以推导和组合成各种实用的形态学图像处理算法，用它们可以进行图像形状和结构的分析及处理。

数学形态学中的基本概念

1.击中/击不中

设有两幅图像A和B，如果A∩B≠∅，那么称B击中(Hit)A，记为B↑A，否则如果A∩B=∅，那么称B击不中（Miss）A。

2.平移与反射

设A是一幅数字图像，a是A的元素，b是一个点，那么定义A被b平移后的结果
A + b = { a + b ∣ a ∈ A } A + b = \left\{ a+b|a \in A \right\} A+b={a+b∣a∈A}
即取出图像中每个点a的坐标值，将其与点b的坐标值相加，得到一个新的点的坐标值a+b,所有这些新点构成的图像就是A被b平移的结构，记作A+b。一幅数字图像A关于原点的反射定义为
A ^ = { x ∣ x = − a , a ∈ A } \hat{A} = \left\{x | x = -a,a \in A \right\} A^={x∣x=−a,a∈A}
即反射后的图像 A ^ \hat{A} A^是由原图像A的每个点坐标值取相反数后得到的点所构成的图像。

3.结构元素

在形态学图像处理中，结构元素被定义为用于收集邻域信息的“探针”。通常形态学图像处理以在图像中移动一个结构元素并进行一种类似于卷积运算的方式进行，只是以逻辑运算代替卷积运算的乘加运算。结构元素的形状和尺寸选择十分重要，是有效提取图像信息的关键。常见的结构元素由十字形、方形、圆形等。

二值形态学的基本运算

二值形态学运算的过程就是在图像中移动结构元素，将结构元素与其下面重叠部分的图像进行交、并等集合运算。

腐蚀

腐蚀是一种最基本的数学形态学运算。腐蚀表示使用结构元素对一个图像进行探测，以便找出在图像内部可以放下该结构元素的区域。

设A为目标图像，B为结构元素，则使用B对A进行腐蚀可用A㊀B表示，并定义
A ⊖ B = { x ∣ B + x ⊆ A } A\ominus B = \left\{x|B+x \subseteq A \right\} A⊖B={x∣B+x⊆A}
可见，A㊀B表示将B平移x后仍包含在A内的所有点x组成的集合，即用B腐蚀A的到的结合是B完全包含在A时B的原点位置的集合。腐蚀运算要求结构元素必须完全包含在被腐蚀图像内部。

膨胀

腐蚀可以看做是将图像A中每一个与结构元素B全等的子集B+x收缩到点x。膨胀运算将A中每一个点x扩大为B+x。使用B对A进行膨胀运算，记为A⊕B，并定义为
A ⊕ B = { x ∣ ( B ^ + x ) ∩ A ≠ ∅ } A\oplus B = \left\{ x|(\hat{B}+x) \cap A \ne \varnothing \right\} A⊕B={x∣(B^+x)∩A​=∅}
过程如下：先对结构元素做关于原点的反射，得到放射集合 B ^ \hat{B} B^，然后再目标图像上讲 B ^ \hat{B} B^平移x，则那些 B ^ \hat{B} B^平移后与目标图像A至少有1个非0元素相交时对应的B的原点位置所组成的集合就是膨胀运算的结果，显然，A平移后的 B ^ \hat{B} B^的交集不为空集，可以理解为膨胀运算的另一种定义为
A ⊕ B = { x ∣ ( B ^ + x ) ∩ A ⊆ A } A\oplus B = \left\{ x|(\hat{B}+x) \cap A \subseteq A \right\} A⊕B={x∣(B^+x)∩A⊆A}
在膨胀运算中，当结构元素在目标图像上平移时，允许结构元素中的非原始带你像素超出目标图像的范围。

腐蚀和膨胀具有对偶性，并且腐蚀具有收缩图像的作用，膨胀则具有扩充图像的作用。

开闭运算

开运算是腐蚀和膨胀的组合运算：先用结构元素B对目标图像A进行腐蚀，然后对其结果再用同一个结构元素B进行膨胀运算。使用结构运算对目标图像A进行开运算，用符号$A\circ B$表示，其定义为
$$A\circ B=(A\ominus B)\oplus B$$
开运算也可通过计算所有填入图像内部的结构元素平移的并集的得到，其数学表达式为
$$A\circ B=\cup (B+x:B+x\subseteq A)$$
开运算具有平滑图像外边缘的作用。

闭运算是开运算的对偶运算，是膨胀和腐蚀的组合运算:先用结构元素B对目标图像A进行膨胀运算，然后在对其结构再用同一个结构元素B进行腐蚀运算。使用结构元素对目标图像A进行闭运算，用符号$A\cdot B$表示，其定义为
$$A\cdot B=(A\oplus B)\ominus B$$
闭运算具有平滑图像内边缘的作用。

参考：《数字图像与视频处理》- 卢官明　唐贵进　崔子冠　编著

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