张宇1000题概率论与数理统计 第二、三章 一维随机变量及其分布及一维随机变量函数的分布

目录

• 第二章  一维随机变量及其分布
• • $A$组
  • • 10.若随机变量$X$存在正概率点，即存在一点$a$，使得 P { X = a } > 0 P\{X=a\}>0 P{X=a}>0，则$X$为（  ）。
      $(A)$连续型随机变量；
      $(B)$离散型随机变量；
      $(C)$非连续型随机变量；
      $(D)$非离散型随机变量。
  • $B$组
  • • 4.设随机变量$X$服从正态分布$N(0,1)$，对给定的$\alpha (0<\alpha <1)$，数 u α u_\alpha uα​满足 P { X > u α } = α P\{X>u_\alpha\}=\alpha P{X>uα​}=α，若 P { ∣ X ∣ < x } = α P\{|X|P{∣X∣<x}=α，则$x$等于（  ）。
      ( A ) u α 2 ; (A)u_{\frac{\alpha}{2}}; (A)u2α​​;
      ( B ) u 1 − α 2 ; (B)u_{1-\frac{\alpha}{2}}; (B)u1−2α​​;
      ( C ) u 1 − α 2 ; (C)u_{\frac{1-\alpha}{2}}; (C)u21−α​​;
      ( D ) u 1 − α . (D)u_{1-\alpha}. (D)u1−α​.
    • 12.通过某交叉路口的汽车流可以看作服从泊松分布。已知在$1$分钟内没有汽车通过的概率为$0.2$，则$1$分钟内有超过$1$辆汽车通过的概率是______。
• 第三章  一维随机变量函数的分布
• • $B$组
  • • 3. X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2)，$F(x)$为其分布函数，则随机变量$Y=F(X)$的分布函数（  ）。
      $(A)$处处可导；
      $(B)$恰有$1$个不可导点；
      $(C)$恰有$2$个不可导点；
      $(D)$恰有$3$个不可导点。
  • $C$组
  • • 1.
    • • （2）若$X\sim B(n,p)$，求$X$取值为偶数时的概率 P { X P\{X P{X为偶数$\}$。
• 写在最后

第二章  一维随机变量及其分布

$A$组

10.若随机变量$X$存在正概率点，即存在一点$a$，使得 P { X = a } > 0 P\{X=a\}>0 P{X=a}>0，则$X$为（  ）。
$(A)$连续型随机变量；
$(B)$离散型随机变量；
$(C)$非连续型随机变量；
$(D)$非离散型随机变量。

解  不同的随机变量类型有不同的特点：连续型随机变量只在区间上取值，在任何定点的概率为零，且分布函数在实轴上连续；离散型随机变量，其定义域为若干离散点（正概率点），分布函数为阶梯形函数，在间断处右连续；还有一类，既不是连续型也不是离散型随机变量，简称为一般类型随机变量，其概率既在区间上取正值，也在定点上取正值，且分布函数有间断点。
  依本题题设，随机变量$X$存在正概率点，可以否定为连续型随机变量，但不能进一步确定是离散型还是一般类型随机变量，只能判定为非连续型随机变量，故选$(C)$。（这道题主要利用了随机变量类型定义求解）

$B$组

4.设随机变量$X$服从正态分布$N(0,1)$，对给定的$\alpha (0<\alpha <1)$，数 u α u_\alpha uα​满足 P { X > u α } = α P\{X>u_\alpha\}=\alpha P{X>uα​}=α，若 P { ∣ X ∣ < x } = α P\{|X|P{∣X∣<x}=α，则$x$等于（  ）。
( A ) u α 2 ; (A)u_{\frac{\alpha}{2}}; (A)u2α​​;
( B ) u 1 − α 2 ; (B)u_{1-\frac{\alpha}{2}}; (B)u1−2α​​;
( C ) u 1 − α 2 ; (C)u_{\frac{1-\alpha}{2}}; (C)u21−α​​;
( D ) u 1 − α . (D)u_{1-\alpha}. (D)u1−α​.

解  如下图所示，条件 P { ∣ X ∣ < x } = α P\{|X|P{∣X∣<x}=α给出正态分布中 u α u_\alpha uα​的定值原则，并称 u α u_\alpha uα​为分位数。 u α u_\alpha uα​与$\alpha$相对应，为制定正态分布概率表奠定了基础。

  如下图所示，要确定其中的分位数$x$，$x$应满足等式 P { X > x } = 1 − α 2 P\{X>x\}=\cfrac{1-\alpha}{2} P{X>x}=21−α​，因此，可得 x = u 1 − α 2 x=u_{\frac{1-\alpha}{2}} x=u21−α​​，故选$(C)$。

（这道题主要利用了函数图像求解）

12.通过某交叉路口的汽车流可以看作服从泊松分布。已知在$1$分钟内没有汽车通过的概率为$0.2$，则$1$分钟内有超过$1$辆汽车通过的概率是______。

解  若$X\sim P(\lambda )$，则其分布律为 P { X = k } = λ k k ! e − λ ( k = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) P\{X=k\}=\cfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}(k=0,1,2,\cdots) P{X=k}=k!λk​e−λ(k=0,1,2,⋯)，从结构观察，泊松分布最重要的是确定泊松分布的参数$\lambda$。题中已明确在$X\sim P(\lambda )$的情况下，由已知， P { X = 0 } = λ 0 0 ! e − λ = e − λ = 0.2 P\{X=0\}=\cfrac{\lambda^0}{0!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}=0.2 P{X=0}=0!λ0​e−λ=e−λ=0.2，可得$\lambda =-\ln 0.2$，于是 P { X > 1 } = 1 − P { X = 0 } − P { X = 1 } = 1 − 0.2 − λ 1 1 ! e − λ = 0.478 P\{X>1\}=1-P\{X=0\}-P\{X=1\}=1-0.2-\cfrac{\lambda^1}{1!}e^{-\lambda}=0.478 P{X>1}=1−P{X=0}−P{X=1}=1−0.2−1!λ1​e−λ=0.478。（这道题主要利用了泊松分布求解）

第三章  一维随机变量函数的分布

$B$组

3. X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2)，$F(x)$为其分布函数，则随机变量$Y=F(X)$的分布函数（  ）。
$(A)$处处可导；
$(B)$恰有$1$个不可导点；
$(C)$恰有$2$个不可导点；
$(D)$恰有$3$个不可导点。

解  因为 F Y ( y ) = P { Y ⩽ y } = P { F ( X ) ⩽ y } F_Y(y)=P\{Y\leqslant y\}=P\{F(X)\leqslant y\} FY​(y)=P{Y⩽y}=P{F(X)⩽y}，于是：当$y<0$时， F Y ( y ) = 0 F_Y(y)=0 FY​(y)=0；当$0⩽y<1$时， F Y ( y ) = P { Y ⩽ F − 1 ( y ) } = y F_Y(y)=P\{Y\leqslant F^{-1}(y)\}=y FY​(y)=P{Y⩽F−1(y)}=y；当$y⩾1$时， F Y ( y ) = 1 F_Y(y)=1 FY​(y)=1。
  综上可得 F Y ( y ) = { 0 , y < 0 , y , 0 ⩽ y < 1 , 1 , y ⩾ 1. F_Y(y)=\begin{cases}0,&y<0,\\y,&0\leqslant y<1,\\1,&y\geqslant1.\end{cases} FY​(y)=⎩⎪⎨⎪⎧​0,y,1,​y<0,0⩽y<1,y⩾1.​故应选$(C)$。（这道题主要利用了复合函数求解）

$C$组

1.

（2）若$X\sim B(n,p)$，求$X$取值为偶数时的概率 P { X P\{X P{X为偶数$\}$。

解  令随机变量 Y = g ( X ) = 1 2 [ 1 + ( − 1 ) X ] Y=g(X)=\cfrac{1}{2}[1+(-1)^X] Y=g(X)=21​[1+(−1)X]。当$X=2k+1$（奇数）时， Y = 1 2 [ 1 + ( − 1 ) 2 k + 1 ] = 0 Y=\cfrac{1}{2}[1+(-1)^{2k+1}]=0 Y=21​[1+(−1)2k+1]=0；当$X=2k$（偶数）时， Y = 1 2 [ 1 + ( − 1 ) 2 k ] = 1 Y=\cfrac{1}{2}[1+(-1)^{2k}]=1 Y=21​[1+(−1)2k]=1；则
P { X 为 偶 数 } = P { Y = 1 } = E ( Y ) = E [ g ( X ) ] = E { 1 2 [ 1 + ( − 1 ) X ] } = 1 2 { 1 + E [ ( − 1 ) X ] } = 1 2 [ 1 + ∑ k = 0 n ( − 1 ) k C n k p k ( 1 − p ) n − k ] = 1 2 [ 1 + ∑ k = 0 n C n k ( − p ) k ( 1 − p ) n − k ] = 1 2 [ 1 + ( 1 − 2 p ) n ] . \begin{aligned} P\{X为偶数\}&=P\{Y=1\}=E(Y)=E[g(X)]=E\left\{\cfrac{1}{2}[1+(-1)^X]\right\}\\ &=\cfrac{1}{2}\{1+E[(-1)^X]\}=\cfrac{1}{2}\left[1+\displaystyle\sum^n_{k=0}(-1)^k\mathrm{C}^k_np^k(1-p)^{n-k}\right]\\ &=\cfrac{1}{2}\left[1+\displaystyle\sum^n_{k=0}\mathrm{C}^k_n(-p)^k(1-p)^{n-k}\right]=\cfrac{1}{2}[1+(1-2p)^n]. \end{aligned} P{X为偶数}​=P{Y=1}=E(Y)=E[g(X)]=E{21​[1+(−1)X]}=21​{1+E[(−1)X]}=21​[1+k=0∑n​(−1)kCnk​pk(1−p)n−k]=21​[1+k=0∑n​Cnk​(−p)k(1−p)n−k]=21​[1+(1−2p)n].​
（这道题主要利用了二次项展开式求解）

写在最后

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