动态规划——连续邮资问题

题目：假设国家发行了n种不同面值的邮票，并且规定每张信封上最多只允许贴m张邮票。连续邮资问题要求对于给定的n和m的值，给出邮票面值的最佳设计，在1张信封上可贴出从邮资1开始，增量为1的最大连续邮资区间。例如，当n=5和m=4时，面值为(1,3,11,15,32)的5种邮票可以贴出邮资的最大连续邮资区间是1到70。

思想：
首先比较困难的这个题目看上去循环是没有上限的，也就是我们看似找不到循环边界，其实我们只需考虑可能生成的节点即可。

dfs(x,cur,max)其中x数组存储当前的解有哪些（如果你就是求具体数值，而不要求解的组成甚至可以省略），cur代表目前到第几种面值，当到n为止，max表示到目前为止的最大可到达邮资，而之后下一个x[cur+1]一定是取x[cur]+1~max+1，这个很好理解，max+1目前是访问不到的，那么我加入x[cur+1]后，要看看max更新到多少，而max是从max+1到

m*x[cur+1]（最多就是m个最大的那个邮票，最少肯定是要更新，不然要你何用…)，接下来的问题就是能否用n种邮票，面值都储存在x数组中,最多贴m张，表示出某个数,

方法是动态规划，状态转移方程dp[i,j]=min(dp[i-1][j-k*a[i]+k),其实有点像背包;（注意边界！！！！！！！)dp[i][0]=0(没有钱时0张邮票)dp[1][i]=i;(因为第一张邮票就是1,贴几块钱就是几张邮票)

附一些数据

n= 5 m=4 {1,3,11,15,32} 最大邮资为70

n=5 m=5 {1,4,9,31,51} 最大邮资为126

n=4 m=2 {1,3,5,6}最大邮资为12

n=3 m=4 {1,5,8}最大邮资为26

n=6 m=4{1,4,9,16,38,49}最大邮资为108

n=5 m=6{1,7,12,43,52}最大邮资为216

代码展示：

#include 
#include 
int n,m;//n为邮票种类,m为一封信上最多贴的邮票个数
int Max;
int ans[10000];//最终答案数组
int min(int a,int b)
{return a<b?a:b;
}/*
能否用n种邮票，面值在x数组中,最多贴m张，表示出sum(是个动态规划问题，
方法是求出dp[n][sum]看它是否小于sum,
状态转移方程dp[i][j]=min(dp[i-1][j-k*x[i]]+k)(其中dp[i][j]表示用到第i种邮票，表示邮资为j的最少邮票
*/
int panduan(int x[10000],int n,int sum){int i,j,k;int dp[15][1005];for (i=0;i<=n;i++)dp[i][0]=0;for (i=0;i<=sum;i++)dp[1][i]=i;for (i=2;i<=n;i++)for (j=1;j<=sum;j++){dp[i][j]=9999;for (k=0;k<=j/x[i];k++)dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j-x[i]*k]+k);}if (dp[n][sum]>m)return 0;return 1;}
void DFS(int x[10000],int cur,int max)
{int i,j,next;if (cur==n)//如果已经得出了n种邮票{if (max>Max)//并且它的最大值已经大于当前最大邮资数{Max=max;for (i=1;i<=cur;i++)ans[i]=x[i];//更新答案数组}return;}for (next=x[cur]+1;next<=max+1;next++)//如果还没得到n中邮票，那么从x[cur]+1~max+1选一个作为下一个邮资，因为max+1没法表示，所以必定到max+1为止{x[cur+1]=next;//接下来是重点，用种类为cur+1,数目分别为x[1..cur+1]的邮票,最多使用m张，能否表示出大于max的某个数for (i=max+1;i<=m*x[cur+1];i++)//这个数最少要为max+1(不然没有意义了),最多是x[cur+1]*m             if (panduan(x,cur+1,i)==0)//如果成立break;if (i>max+1)//如果至少让最大值更新了一次DFS(x,cur+1,i-1);			 }
}int main(){int i,j,max,cur;int x[1000];//中间传递的数组，存储当前的邮票值的解scanf("%d%d",&n,&m);Max=0;max=m;cur=1;x[cur]=1;DFS(x,cur,max);//x存储当前的解,cur表示当前传递到第几种邮票,max表示目前能表示到的最大值printf("%d\n",Max);for (i=1;i<=n;i++)printf("%d ",ans[i]);return 0;}

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