【矩阵论】10——线性变换——同一数域不同线性空间的线性变换

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本系列文章使用的教材为《矩阵论》（第二版），杨明，刘先忠编，华中科技大学出版社。

概念

总结：

• 线性空间的线性变换在同一数域

• Vn中的原像通过T作用，像在Vm中。

• 变换是线性的，满足加法和数乘封闭。

在前面我们知道一个线性空间中的线性变换，可以用基和对应的矩阵表示，在此，不同线性空间的变换也可以类似用矩阵表示。

注意：

• Vn是n维的，经过T作用后的像在Vm中，而Vm是m维。

• 矩阵A是mXn阶。

像空间和零空间

• 像空间就是T(α)的值域，这是数域Vm的

• 零空间就是使得值为零元的原像，这是数域Vn的

像空间和零空间的维数有如下关系：

注意：n是Vn的维数

之前我们在线性变换的矩阵在不同基下的变换矩阵关系，那是在同意个线性空间中。那么在不同的线性空间中，矩阵又有什么关系呢？

也就是说，从Vn到Vm的线性变换，在不同基下的矩阵是等价的，即A经过有限次初等变换是可以得到B。其实理解起来并不困难，对于Vn中，取不同的基，他们之间只是坐标不同，经过T作用后根本性质并未改变，线性变换的矩阵表征了T的性质。

矩阵等价

有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=Q-1AP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。

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