余弦相似度证明

1、余弦定理证明
定理：给定任意一个三角形，其夹角余弦为： c o s ( θ ) = a 2 + b 2 − c 2 2 a b cos(\theta)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} cos(θ)=2aba2+b2−c2​

证明：
做红色辅助线，有，
$c=b\cdot cos(\alpha )+a\cdot cos(\beta )$
则，
c 2 = b c ⋅ c o s ( α ) + a c ⋅ c o s ( β ) c^2=bc\cdot cos(\alpha)+ac\cdot cos(\beta) c2=bc⋅cos(α)+ac⋅cos(β)
同理，有，
a 2 = a c ⋅ c o s ( β ) + a b ⋅ c o s ( θ ) a^2=ac\cdot cos(\beta)+ab\cdot cos(\theta) a2=ac⋅cos(β)+ab⋅cos(θ)
b 2 = b c ⋅ c o s ( α ) + a b ⋅ c o s ( θ ) b^2=bc\cdot cos(\alpha)+ab\cdot cos(\theta) b2=bc⋅cos(α)+ab⋅cos(θ)
a 2 + b 2 a^2+b^2 a2+b2相加有，
a 2 + b 2 = c 2 + 2 a b ⋅ c o s ( θ ) a^2+b^2=c^2+2ab\cdot cos(\theta) a2+b2=c2+2ab⋅cos(θ)
显然，得到，
c o s ( θ ) = a 2 + b 2 − c 2 2 a b cos(\theta)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} cos(θ)=2aba2+b2−c2​

2、余弦相似度
对于两个向量，计算它们之间的相似度，可以用余弦相似度来表示； c o s ( θ ) = a ⋅ b ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos(\theta)=\frac{ \mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\left | \mathbf{a} \right |\left | \mathbf{b} \right |} cos(θ)=∣a∣∣b∣a⋅b​

其中，$\mathbf{a}$表示a向量，$\mathbf{b}$表示b向量；
设 a = ( x 1 , y 1 ) ， b = ( x 2 , y 2 ) ， c = ( x 1 − x 2 , y 1 − y 2 ) \mathbf{a}=(x_1,y_1)，\mathbf{b}=(x_2,y_2)，\mathbf{c}=(x_1-x_2, y_1-y_2) a=(x1​,y1​)，b=(x2​,y2​)，c=(x1​−x2​,y1​−y2​)
则根据余弦定理，
c o s ( θ ) = ∣ a ∣ 2 + ∣ b ∣ 2 − ∣ c ∣ 2 2 ∣ a ∣ ∣ b ∣ = x 1 2 + y 1 2 + x 2 2 + y 2 2 − ( x 1 − x 2 ) 2 − ( y 1 − y 2 ) 2 2 ∣ a ∣ ∣ b ∣ = x 1 x 2 + y 1 y 2 ∣ a ∣ ∣ b ∣ = a ⋅ b ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos(\theta)=\frac{\mathbf{|a|}^2+\mathbf{|b|}^2-\mathbf{|c|}^2}{2\mathbf{|a|}\mathbf{|b|}}=\frac{x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-(x_1-x_2)^2-(y_1-y_2)^2}{2\mathbf{|a|}\mathbf{|b|}}=\frac{x_1 x_2+y_1y_2}{\mathbf{|a|}\mathbf{|b|}}=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\mathbf{|a|}\mathbf{|b|}} cos(θ)=2∣a∣∣b∣∣a∣2+∣b∣2−∣c∣2​=2∣a∣∣b∣x12​+y12​+x22​+y22​−(x1​−x2​)2−(y1​−y2​)2​=∣a∣∣b∣x1​x2​+y1​y2​​=∣a∣∣b∣a⋅b​

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