正交编码与正交沃尔什函数详解

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文章目录

• • 正交编码
  • • 正交编码的基本概念
    • • 正交性
      • 互相关系数
      • 正交编码
      • 自相关系数
      • 超正交码
      • 双正交编码
    • 正交沃尔什函数
    • • 离散沃尔什函数的构成
      • 沃尔什函数的基本性质

正交编码

正交编码的基本概念

正交性

若两个周期为 T 的模拟信号 s 1 ( t ) s_{1}(t) s1​(t) 和 s 2 ( t ) s_{2}(t) s2​(t) 互相正交, 则有
∫ 0 T s 1 ( t ) s 2 ( t ) d t = 0 \int_{0}^{T} s_{1}(t) s_{2}(t) d t=0 ∫0T​s1​(t)s2​(t)dt=0
同理, 若 M 个周期为 T 的模拟信号 s 1 ( t ) s_{1}(t) s1​(t), s 2 ( t ) s_{2}(t) s2​(t), $\dots$, s M ( t ) s_{M}(t) sM​(t) 构成一个正交信号集合，则有
∫ 0 T s i ( t ) s j ( t ) d t = 0 i ≠ j ; i , j = 1 , 2 , … , M \int_{0}^{T} s_{i}(t) s_{j}(t) d t=0 \quad i \neq j ; \quad i, j=1,2, \ldots, M ∫0T​si​(t)sj​(t)dt=0i=j;i,j=1,2,…,M

互相关系数

对于二进制数字信号, 用一数字序列表示码组。这里, 我们只讨论二进制且码长相同的编码。这时, 两个码组的正交性可用如下形式的互相 关系数来表述。

设长为 $\mathbf{n}$ 的编码中码元只取值 +1 和 -1 , 假设 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 是其中两个码组:
x = ( x 1 , x 2 , x 3 , ⋯ , x n ) y = ( y 1 , y 2 , y 3 , ⋯ , y n ) x=(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}) \quad y=(y_{1}, y_{2}, y_{3}, \cdots, y_{n}) x=(x1​,x2​,x3​,⋯,xn​)y=(y1​,y2​,y3​,⋯,yn​)
其中: x i , y i ∈ ( + 1 , − 1 ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n x_{i}, y_{i} \in(+1,-1), \quad i=1,2, \cdots, n xi​,yi​∈(+1,−1),i=1,2,⋯,n

若码组 x 和 y 正交, 则必有 $\rho (x,y)=0$ 。
ρ ( x , y ) = 1 n ∑ i = 1 n x i y i \rho(x, y)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} ρ(x,y)=n1​i=1∑n​xi​yi​

正交编码

例如, 右图所示 4 个数字信号可以看作是如下4 个码组:

{ s 1 ( t ) : ( + 1 , + 1 , + 1 , + 1 ) s 2 ( t ) : ( + 1 , + 1 , − 1 , − 1 ) s 3 ( t ) : ( + 1 , − 1 , − 1 , + 1 ) s 4 ( t ) : ( + 1 , − 1 , + 1 , − 1 ) . \{\begin{array}{l} s_{1}(t):(+1,+1,+1,+1) \\ s_{2}(t):(+1,+1,-1,-1) \\ s_{3}(t):(+1,-1,-1,+1) \\ s_{4}(t):(+1,-1,+1,-1) \end{array}. {s1​(t):(+1,+1,+1,+1)s2​(t):(+1,+1,−1,−1)s3​(t):(+1,−1,−1,+1)s4​(t):(+1,−1,+1,−1)​.

按照互相关系数定义式计算容易得知, 这 4 个码组中任意两者之间的相关系数都为 0 , 即这 4 个码组两两正交。我们把这种两两正交的编码称为正交编码。

用二进制数字表示互相关系数

在二进制编码理论中, 常采用二进 制数字 “ 0 ”和 “ 1 ”表示码元的可能 取值。这时, 若规定用二进制数字 “0”代替上述码组中的 “+ 1 ”, 用 二进制数字 “ 1 ”代替 “ -1 ”, 则上 述互相关系数定义式将变为
ρ ( x , y ) = A − D A + D \rho(x, y)=\frac{A-D}{A+D} ρ(x,y)=A+DA−D​
式中, A——x 和 y 中对应码元相同的个数;

D—— x 和 y 中对应码元不同的个数。

例如, 按照左式规定, 上面例 子可以改写成

{ s 1 ( t ) : ( 0 , 0 , 0 , 0 ) s 2 ( t ) : ( 0 , 0 , 1 , 1 ) s 3 ( t ) : ( 0 , 1 , 1 , 0 ) s 4 ( t ) : ( 0 , 1 , 0 , 1 ) . \{\begin{array}{l} s_{1}(t):(0,0,0,0) \\ s_{2}(t):(0,0,1,1) \\ s_{3}(t):(0,1,1,0) \\ s_{4}(t):(0,1,0,1) \end{array}. {s1​(t):(0,0,0,0)s2​(t):(0,0,1,1)s3​(t):(0,1,1,0)s4​(t):(0,1,0,1)​.

可以验证互相关系数 $\mathbf{\rho }=0$ .

自相关系数

上式中, 若用 x 的 j 次循环移位代替 y , 就得到 x 的自相关系数 ρ x ( j ) \rho_{x}(j) ρx​(j) 。 具体地讲，令
x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) y = ( x 1 + j , x 2 + j , ⋯ , x n , x 1 , x 2 , ⋯ x j ) \begin{array}{l} x=(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) \\ y=(x_{1+j}, x_{2+j}, \cdots, x_{n}, x_{1}, x_{2}, \cdots x_{j}) \end{array} x=(x1​,x2​,⋯,xn​)y=(x1+j​,x2+j​,⋯,xn​,x1​,x2​,⋯xj​)​
代入定义式
ρ ( x , y ) = A − D A + D \rho(x, y)=\frac{A-D}{A+D} ρ(x,y)=A+DA−D​

就得到自相关系数 ρ x ( j ) \rho_{x}(j) ρx​(j) :
ρ x ( j ) = ( A − D ) / n \rho_{x}(j)=(A-D) / n ρx​(j)=(A−D)/n
类似上述互相关系数的定义, 可以对于一个长为 n 的码组 x 定义其自相关系数为
ρ x ( j ) = 1 n ∑ i = 1 n x i x i + j , j = 0 , 1 , ⋯ , ( n − 1 ) \rho_{x}(j)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} x_{i+j}, \quad j=0,1, \cdots,(n-1) ρx​(j)=n1​i=1∑n​xi​xi+j​,j=0,1,⋯,(n−1)
式中, x 的下标按模 n 运算, 即有 x n + k ≡ x k x_{n+k} \equiv \mathbf{x}_{k} xn+k​≡xk​ 。例如, 设

x = ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = ( + 1 , − 1 , − 1 , + 1 ) x=(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})=(+1,-1,-1,+1) x=(x1​,x2​,x3​,x4​)=(+1,−1,−1,+1)
则有
ρ x ( 0 ) = 1 4 ∑ i = 1 4 x i 2 = 1 ρ x ( 1 ) = 1 4 ∑ i = 1 4 ‾ ‾ 4 x i x i + 1 = 1 4 ( x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 4 + x 4 x 1 ) = 1 4 ( − 1 + 1 − 1 + 1 ) = 0 ρ x ( 2 ) = 1 4 ∑ i = 1 1 x i x i + 2 = 1 4 ( x 1 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 1 + x 4 x 2 ) = − 1 ρ x ( 3 ) = 1 4 ∑ i = 1 4 ‾ 1 x i x i + 3 = 1 4 ( x 1 x 4 + x 2 x 1 + x 3 x 2 + x 4 x 3 ) = 0 \begin{array}{l} \rho_{x}(0)=\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}=1\\ \rho_{x}(1)=\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{\overline{\overline{4}}^{4}} x_{i} x_{i+1}=\frac{1}{4}(x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{4}+x_{4} x_{1})=\frac{1}{4}(-1+1-1+1)=0 \\ \rho_{x}(2)=\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{1} x_{i} x_{i+2}=\frac{1}{4}(x_{1} x_{3}+x_{2} x_{4}+x_{3} x_{1}+x_{4} x_{2})=-1 \\ \rho_{x}(3)=\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{\overline{4}^{1}} x_{i} x_{i+3}=\frac{1}{4}(x_{1} x_{4}+x_{2} x_{1}+x_{3} x_{2}+x_{4} x_{3})=0 \end{array} ρx​(0)=41​∑i=14​xi2​=1ρx​(1)=41​∑i=144​xi​xi+1​=41​(x1​x2​+x2​x3​+x3​x4​+x4​x1​)=41​(−1+1−1+1)=0ρx​(2)=41​∑i=11​xi​xi+2​=41​(x1​x3​+x2​x4​+x3​x1​+x4​x2​)=−1ρx​(3)=41​∑i=141​xi​xi+3​=41​(x1​x4​+x2​x1​+x3​x2​+x4​x3​)=0​

超正交码

超正交码：相关系数 $\rho$ 的取值范围在 $\pm 1$ 之间, 即有 $ -1 \leq \rho \leq+1$ 。 若两个码组间的相关系数 $\rho <0$ , 则称这两个码组互相超正交。如果一种编码中任两码组间均超正交, 则称这种编码为超正交码。

例如, 在上例中, 若仅取后 3 个码组, 并且删去其第一位, 构成如下新的编码:

{ s 1 ′ ( t ) : ( 0 , 1 , 1 ) s 2 ′ ( t ) : ( 1 , 1 , 0 ) s 3 ′ ( t ) : ( 1 , 0 , 1 ) . \{\begin{array}{l} s_{1}{ }^{\prime}(t):(0,1,1) \\ s_{2}{ }^{\prime}(t):(1,1,0) \\ s_{3}{ }^{\prime}(t):(1,0,1) \end{array}. {s1​′(t):(0,1,1)s2​′(t):(1,1,0)s3​′(t):(1,0,1)​.

则不难验证, 由这 3 个码组所构成的编码是超正交码。

双正交编码

由正交编码和其反码便可以构成双正交编码。

例：上例中

正交码为

{ s 1 ( t ) : ( 0 , 0 , 0 , 0 ) s 2 ( t ) : ( 0 , 0 , 1 , 1 ) s 3 ( t ) : ( 0 , 1 , 1 , 0 ) s 4 ( t ) : ( 0 , 1 , 0 , 1 ) \{\begin{array}{l}s_{1}(t):(0,0,0,0) \\ s_{2}(t):(0,0,1,1) \\ s_{3}(t):(0,1,1,0) \\ s_{4}(t):(0,1,0,1)\end{array} {s1​(t):(0,0,0,0)s2​(t):(0,0,1,1)s3​(t):(0,1,1,0)s4​(t):(0,1,0,1)​

其反码为

{ ( 1 , 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 0 , 0 , 1 ) ( 1 , 0 , 1 , 0 ) \{\begin{array}{l}(1,1,1,1) \\ (1,1,0,0) \\ (1,0,0,1) \\ (1,0,1,0)\end{array} {(1,1,1,1)(1,1,0,0)(1,0,0,1)(1,0,1,0)​

上两者的总体即构成如下双正交码:

$(0,0,0,0)(1,1,1,1)(0,0,1,1)(1,1,0,0)(0,1,1,0)(1,0,0,1)(0,1,0,1)(1,0,1,0)$

此码共有 8 种码组, 码长为 4 。

正交沃尔什函数

沃尔什(Walsh)函数集是完备的非正弦型的二元（取值为+1与-1）正交函数集, 其相应的离散沃尔什函数简称为沃尔什序列或沃尔什码。 沃尔什函数是定义在半开区间 [0,1) 的矩形波族, 每个矩形波有一个编号 n($n=0,1,2,3,\dots$) 。

矩形波幅度的取值为 +1 或 -1 , 规定起始时矩形波的取值为 +1 , 然后在 +1 与 -1 之间变化, 变化的次数 (+1 变 -1 与 -1 变 +1 的次数之和） $m=n$ , 在 +1 或 -1 上持续的时间可以相等, 也可以不相等 (不相等时较长的持续时间 T 1 T_{1} T1​ 为较短的持续时间 T s T_{\mathrm{s}} Ts​ 的两倍）。 编号为 n 的沃尔什函数用 $\mathrm{Wal}(n,t)$ 表示, 沃尔什函数的波形如图所示。

补充（度量空间）的完备性定义:

度量空间 $X=(X,d)$ 中的序列 ( x n ) (x_{n}) (xn​) , 如果对任意给定的 $ \varepsilon \gt 0 $, 都存在一个 $\mathrm{N}=\mathrm{N}(\epsilon )$ , 使得对每个 $\mathrm{m}$, $\mathrm{n}>\mathrm{N}$ 都有
d ( x m , x n ) < ε \mathrm{d}(\mathrm{x}_{\mathrm{m}}, \mathrm{x}_{\mathrm{n}})<\varepsilon d(xm​,xn​)<ε
则称它是一个柯西序列。如果空间 X 中的每个柯西序列都收敛, 则称 X 是完备的。

一个完备的函数集, 应该能表示出其空间上的所有函数。

离散沃尔什函数的构成

离散沃尔什函数也称沃尔什序列或沃尔什码, 用哈达马矩阵的行(或列)可以构成离散沃尔什函数

一阶哈达马矩阵为
H 1 = [1]  H_{1}=\text { [1] } H1​= [1] 
高阶哈达马矩阵的递推公式如下:
H N m = [ H N m − 1 H N m − 1 H N m − 1 − H N m − 1 ] H_{N_{m}}=[\begin{array}{rr} H_{N_{m-1}} & H_{N_{m-1}} \\ H_{N_{m-1}} & -H_{N_{m-1}} \end{array}] HNm​​=[HNm−1​​HNm−1​​​HNm−1​​−HNm−1​​​]
式中, N m = 2 m N_{m}=2^{m} Nm​=2m, $m=1,2,3,\dots$ 。

例如, m=1 时
H N 1 = H 2 = [ H 1 H 1 H 1 − H 1 ] = [ 1 1 1 − 1 ] H N 2 = H 4 = [ H 2 H 2 H 2 − H 2 ] = [ 1 1 1 1 1 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 1 ] \begin{array}{c} H_{N_{1}}=H_{2}=[\begin{array}{rr} H_{1} & H_{1} \\ H_{1} & -H_{1} \end{array}]=[\begin{array}{rr} 1 & \mathbf{1} \\ \mathbf{1} & \mathbf{- 1} \end{array}] \\ H_{N_{2}}=H_{4}=[\begin{array}{rr} H_{2} & H_{2} \\ H_{2} & -H_{2} \end{array}]=[\begin{array}{rrrr} 1 & \mathbf{1} & \mathbf{1} & \mathbf{1} \\ \mathbf{1} & \mathbf{1} & \mathbf{1} & -\mathbf{1} \\ \mathbf{1} & \mathbf{1} & \mathbf{- 1} & -\mathbf{1} \\ \mathbf{1} & \mathbf{- 1} & -\mathbf{1} & \mathbf{1} \end{array}] \end{array} HN1​​=H2​=[H1​H1​​H1​−H1​​]=[11​1−1​]HN2​​=H4​=[H2​H2​​H2​−H2​​]=[1111​111−1​11−1−1​1−1−11​]​

m=3 时
H N 3 = H 8 = [ H 4 H 4 H 4 − H 4 ] = [ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − 1 1 − 1 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 1 1 1 1 − 1 − 1 − 1 − 1 1 − 1 1 − 1 − 1 1 − 1 1 1 1 − 1 − 1 − 1 − 1 1 1 1 − 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 ] \begin{array}{c} H_{N_{3}}=H_{8} \\ =[\begin{array}{rr} H_{4} & H_{4} \\ H_{4} & -H_{4} \end{array}]=[\begin{array}{cccccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \end{array}] \end{array} HN3​​=H8​=[H4​H4​​H4​−H4​​]=[11111111​1−11−11−11−1​11−1−111−1−1​1−1−111−1−11​1111−1−1−1−1​1−11−1−11−11​11−1−1−1−111​1−1−11−111−1​]​
N_{m} 阶哈达马矩阵的通式可表示为
H N m = [ h 11 h 12 h 13 ⋯ h 1 N m h 21 h 22 h 23 ⋯ h 2 N m ⋮ ⋮ h N m 1 h N m 2 h N m 3 ⋯ h N m N m ] H_{N_{m}}=[\begin{array}{ccccc} h_{11} & h_{12} & h_{13} & \cdots & h_{1 N_{m}} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} & \cdots & h_{2 N_{m}} \\ \vdots & & & \vdots \\ h_{N_{m} 1} & h_{N_{m} 2} & h_{N_{m} 3} & \cdots & h_{N_{m} N_{m}} \end{array}] HNm​​=[h11​h21​⋮hNm​1​​h12​h22​hNm​2​​h13​h23​hNm​3​​⋯⋯⋮⋯​h1Nm​​h2Nm​​hNm​Nm​​​]
式中, N m = 2 m , m = 1 , 2 , 3 , … , h i k ∈ ( + 1 , − 1 ) N_{m}=2^{m}, m=1,2,3, \ldots, h_{i k} \in(+1,-1) Nm​=2m,m=1,2,3,…,hik​∈(+1,−1)
用哈达马矩阵 $H_{N m} $ 的行 (或列)可以构成离散沃尔什函数 $Wal[i,t]$ , 它们的对应关系如下:

Wal ⁡ [ i , t ] = ∑ k = 1 N m h i k g ( t − ( k − 1 ) T c ) g ( t ) = { 1 , 0 ≤ t ≤ T c 0 , others  \begin{array}{c} \operatorname{Wal}[i, t]=\sum_{k=1}^{N m} h_{i k} g(t-(k-1) T_{c}) \\ g(t)=\{\begin{array}{c} 1,0 \leq t \leq T_{c} \\ 0, \text { others } \end{array} \end{array} Wal[i,t]=∑k=1Nm​hik​g(t−(k−1)Tc​)g(t)={1,0≤t≤Tc​0, others ​​

沃尔什函数的基本性质

(1) 在半开区间 [0,1) 上正交, 即

∫ 0 1 wal ⁡ ( i , t ) wal ⁡ ( j , t ) d t = { 1 , i = j 0 , i ≠ j i , j = 0 , 1 , 2 , ⋯ . \int_{0}^{1} \operatorname{wal}(i, t) \operatorname{wal}(j, t) \mathrm{d} t=\{\begin{array}{cc} 1, & i=j \\ 0, & i \neq j \end{array} \quad i, j=0,1,2, \cdots. ∫01​wal(i,t)wal(j,t)dt={1,0,​i=ji=j​i,j=0,1,2,⋯.

该性质为沃尔什函数基本性质中最重要的性质。

(2) 除 $\mathrm{Wal}(0,t)$ 外，其他 $\mathrm{Wal}(n,t)$ 在半开区间 [0,1) 上的均值为 0 .

(3) 两个沃尔什函数相乘仍为沃尔什函数，即
$$\mathrm{Wal}(i,t)\mathrm{Wal}(j,t)=\mathrm{Wal}(kt)$$
这表示沃尔什函数对于乘法是自闭的。

(4) 沃尔什函数集是完备的, 即长度为 $\mathrm{N}$ 的离散沃尔什函数 (沃尔什序列)一共有 $\mathrm{N}$ 个。

(5) 沃尔什函数在同步时是完全正交的。

(6) 沃尔什函数在不同步时, 其自相关和互相关特性均不理想, 并随同步误差值的增大而快速恶化。

(7) 同长度不同编号的walsh函数的频带宽度不同。

参考文献：

1. Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
2. Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
3. 周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
4. 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.

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