矩阵行列式 和 一系列的数学公式

矩阵的一点知识
一点黑科技

积性函数

1. 常见的积性函数有
2. 除数函数σk(n)=∑d|ndk，表示n的约数的k次幂和，注意σk(n)与σk(n)是不同的。
3. 约数个数函数τ(n)=σ0(n)=∑d|n1，表示n的约数个数，一般也写为d(n)。
4. 约数和函数σ(n)=σ1(n)=∑d|nd，表示n的约数之和。
5. 欧拉函数φ(n)=∑ni=1[(n,i)=1]⋅1，表示不大于n且与n互质的正整数个数，另外∑ni=1[(n,i)=1]⋅i=n⋅φ(n)+[n=1]2，且对于正整数n>2来说φ(n)是偶数。
6. 莫比乌斯函数μ(n)，在狄利克雷卷积的乘法中与恒等函数互为逆元，μ(1)=1，对于无平方因子数n=∏ti=1pi有μ(n)=(−1)t，对于有平方因子数n有μ(n)=0。
7. 元函数e(n)=[n=1]，狄利克雷卷积的乘法单位元，完全积性。
8. 恒等函数I(n)=1，完全积性。
9. 单位函数id(n)=n，完全积性。
10. 幂函数idk(n)=nk，完全积性。

莫比乌斯反演和一些转化

莫比乌斯反演可以用狄利克雷卷积的形式表示出来
$f=g\times1$⇒ $g=\mu \times f$
卷积的运算:
$f \times g (n)=\sum_{d|n} f(d)*g(n/d)$
莫比乌斯反演的两种常用形式:
f(x)=∑d|xg(d) f ( x ) = ∑

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