Lebesgue

零测集

定义

1. （零测集）对给定的集合 $A$，对于任意大于 0 的 $\epsilon$，存在一个至多可数的开区间集 { I n : n ∈ N ∗ } \{I_n: n\in N^* \} {In​:n∈N∗}组成 $A$ 的一个开覆盖，并且 ∑ i = 0 n ∣ I i ∣ < ε \sum\limits_{i=0}^n |I_i| < \varepsilon i=0∑n​∣Ii​∣<ε。

定理

1. 如果 $A$ 是至多可数集，那么 $A$ 一定是零测集。
2. 任何长度不为 $0$ 的区间都不是零测集。
3. 至多可数集个零测集的并集是零测集。
4. 零测集的子集也必然是零测集。

Lebesgue

定义

1. 用 $D(f)$ 记 $f$ 在 $[a,b]$ 上的不连续点的全体，即 D ( f ) = { x ∈ [ a , b ] : f 在  x 点处不连续 } D(f)=\{x\in [a,b]: f \text{ 在 } x \text{ 点处不连续}\} D(f)={x∈[a,b]:f 在 x 点处不连续}。
2. B r ( x ) B_r(x) Br​(x) 记为区间 $(x-r,x+r)$， ω f ( x , r ) \omega_f(x,r) ωf​(x,r) 记为 $f$ 在 B r ( x ) B_r(x) Br​(x) 上的振幅， ω f ( x ) = lim ⁡ r → 0 + ω f ( x , r ) \omega_f(x)=\lim\limits_{r\to0^+} \omega_{f}(x,r) ωf​(x)=r→0+lim​ωf​(x,r) 记为 $f$ 在点 $x$ 处的振幅。
3. 对 $\delta >0$ 记 D δ = { x ∈ [ a , b ] : ω f ( x ) ≥ δ } D_\delta= \{x\in [a,b]: \omega_f(x) \geq \delta \} Dδ​={x∈[a,b]:ωf​(x)≥δ}。

引理

1. 设 $\omega$ 是有界函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上的振幅，那么 ω = sup ⁡ { ∣ f ( y 1 ) − f ( y 2 ) ∣ : y 1 , y 2 ∈ [ a , b ] } \omega=\sup\{|f(y_1)-f(y_2)|: y_1,y_2 \in [a,b]\} ω=sup{∣f(y1​)−f(y2​)∣:y1​,y2​∈[a,b]} 。

2. 函数 $f$ 在点 $x\in I$ 处连续的充要条件是 ω f ( x ) = 0 \omega_f(x)=0 ωf​(x)=0。

3. D ( f ) = ⋃ n = 1 ∞ D 1 / n D(f)=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}D_{1/n} D(f)=n=1⋃∞​D1/n​。

4. 设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$。如果存在一列区间 ( α j , β j ) ( j = 1 , 2 , ⋯ ) (\alpha_j,\beta_j)\ (j=1,2,\cdots) (αj​,βj​) (j=1,2,⋯)，使得 D ( f ) ⊂ ⋃ j = 1 ∞ ( α j , β j ) D(f)\subset \bigcup\limits_{j=1}^{\infty}(\alpha_j,\beta_j) D(f)⊂j=1⋃∞​(αj​,βj​)，记 K = [ a , b ] \ ⋃ j = 1 ∞ ( α j , β j ) K=[a,b] \backslash \bigcup\limits_{j=1}^{\infty}(\alpha_j,\beta_j) K=[a,b]\j=1⋃∞​(αj​,βj​)。那么对任意的 $\epsilon >0$，一定存在 $\delta >0$，当 $x\in K$，$y\in [a,b]$ 且 $|x-y|<\delta$ 时，有 $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ 。

定理

1. （Lebesgue）设 $f$ 在有限区间上有界，那么 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积的充要条件是：$D(f)$ 是零测集。

推论

1. 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，且只有至多可数个间断点，那么 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积。
2. 如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，那么 $|f|$ 在 $[a,b]$ 上也可积。
3. 设 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上可积，那么 $fg$ 在 $[a,b]$ 上也可积。因为 $D(fg)\subset D(f)\bigcup D(g)$。
4. 如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积， 1 f \frac 1f f1​ 在 $[a,b]$ 上有定义且有界，那么 1 f \frac 1f f1​ 在 $[a,b]$ 上也可积。这是因为 D ( f ) = D ( 1 f ) D(f)=D(\frac 1f) D(f)=D(f1​)
5. 如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，$[c,d]\subset [a,b]$，那么 $f$ 在 $[c,d]$ 上也可积。
6. 如果 $c\in (a,b)$，且 $f$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,d]$ 上都可积，那么 $f$ 在 $[a,d]$ 上也可积。
7. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，且 $g$ 除有限个点以外都和 $f$ 相等，那么 $g$ 在 $[a,b]$ 上也可积，且 ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b g ( x ) d x \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x= \int_a^b g(x)\, \mathrm{d}x ∫ab​f(x)dx=∫ab​g(x)dx。

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