两平面平行方向向量关系_立体几何平行证明的四大必杀绝技------赞！很赞！！非常赞！！！...
类型一:
根据已有平行关系证平行
例题1：已知四棱锥P-ABCD，且G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，且有BC∥平面GEFH，证明GH∥EF。
证明：
∵BC∥平面GEFH，
平面GEFH∩平面ABCD=EF且BC⊂平面ABCD
∴BC∥EF
∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC
∴平面EF∥平面PBC
∵平面EFGH∩平面PBC=GH
∴EF∥GH
例题2：如图，三棱台DEF-ABC，AB=2DE，且G，H分别为AC，BC的中点，求证：BD∥平面FGH。
证明：
在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE
且H为BC的中点，
∴BH∥EF，且BH＝EF
∴四边形BHEF是平行四边形
又G是AC中点，H为BC的中点，根据三角形中位线可得：GH∥AB，又GH∩HF=H
∴平面FGH∥平面ABED
∵BD⊂平面ABED
∴BD∥平面FGH
变式：如图所示，在三棱锥P-ABQ中， D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点， PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，求证AB∥GH。
类型二:
利用三角形的中位线证平行
例题：如图，四棱锥P-ABCD，AD∥BC，且AD=2BC，且E，F分别为线段AD，PC的中点，求证：AP∥平面BEF。
证明：
连接AC，CE，且AC与BE相交于点O，连接OF，如下图：
∵AD∥BC，且AD=2BC，且E是AD的中点，
可得：四边形ABCE是平行四边形
∴O是AC的中点，又F是PC的中点
∴OF是△ACP的中位线
∴OF∥PA
∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF
∴AP∥平面BEF
变式：如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，点M，N分别为A1B和B1C1的中点，求证：MN∥A1ACC1
类型三：
利用平行四边形的性质证平行
例题1：在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，E为PD的中点，求证：AE∥平面PBC。
证明：
取PC的中点F，连接EF，BF，如下图：
∵E，F分别是PD，PC的中点
∴EF∥CD，且CD=2EF
又AB∥CD，且CD=2AB
∴AB∥EF，且AB=EF即四边形ABFE是平行四边形
∴AE∥BF
又AE⊄平面PBC，BF⊂平面PBC
∴AE∥平面PBC
例题2：如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B是矩形，AB=A1B，N是B1C的中点，M是棱AA1上的一点，且AA1⊥CM，证明：MN∥ABC
证明：
连接BM，取BC得中点P，连接AP，NP，如下图：
∵BCC1B1是矩形，
∴BC⊥BB1，
∵AA1∥BB1
∴AA1⊥BC
∵AA1⊥MC，BC∩MC=C，
∴AA1⊥平面BCM
∴AA1⊥MB
∵AB=A1B
∴M是AA1的中点，
又P，N分别是CB，CB1的中点，
由三角形的中位线可得：NP∥BB1，且BB1=2NP
∴NP∥MA，且NP=MA
∴四边形AMNP是平行四边形
∴MN∥AP∵MN⊄平面ABC，AP⊂平面ABC
∴MN∥平面ABC
变式：如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=3，BC=4，且M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点，证明：MN∥平面PAB。
类型四：
利用向量法证平行
1.利用平面法向量
利用法向量证明直线与平面平行的基本原理为：
若平面外一条直线的方向向量垂直于此平面的法向量，则该向量与此平面平行。即若法向量n⊥平面ɑ，且法向量n⊥向量a，则向量a∥平面ɑ
例题：如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，AA1=4，AB=2，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点，证明：MN∥C1DE
证明：
以D为原点，以DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如下：
根据AA1=4，AB=2，
可得点的坐标如下：
D(0，0，0)，E(1，2，0)，C1(0，2，4)M(2，2，2)，N(1，0，2)
则有：
2.利用向量共面定理
向量共面定理：
已知向量a，向量b，向量c两两不共线，若存在实数x，y，使得向量c=xa+yb，则向量a，向量b，向量c共面。具体如下动图所示：
备注：因为向量是可以移动的，所以几个向量共面不代表向量所对应的直线是相互共面的。
例题：如图所示四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4,PA=2，E为PD的中点，证明：PB∥平面AEC
证明：
以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如下：
根据AB=4， PA=2，
可得点的坐标如下：
A(0，0，0)，P(0，0，2) ，B(4，0，0)D(0，4，0) ，C(4，4，0)
∵E为PD的中点，
∴E(0，2，1)
3.利用平面向量共线定理
平面向量共线定理：
不共线的两条直线所对应的向量分别为向量a，向量b，若向量a=λb，则向量a∥向量b接下来用平面向量共线定理再解上面用法向量求解的例题
例题：如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，AA1=4，AB=2，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点，证明：MN∥C1DE
证明：
以D为原点，以DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如下：
根据AA1=4，AB=2，
可得点的坐标如下：
D(0，0，0)，E(1，2，0)M(2，2，2)，N(1，0，2)
则有：
本文来自互联网用户投稿，文章观点仅代表作者本人，不代表本站立场，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处。 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请点击【内容举报】进行投诉反馈！