MT【316】常数变易法

已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=0,a_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}a_n+1$,求$a_n$

解答:$\dfrac{a_{n+1}}{n(n+1)}=\dfrac{a_n}{n(n+1)}+\dfrac{1}{n(n+1)}$
累加得$a_n=\dfrac{n(n-1)}{2}$
注:这里关键是变形,可以用常数变易法获取.
提示:求通解$a_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}a_n$,累乘可以得到$a_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}{2}a_1$.

练习:
已知数列$\{x_n\}$满足$x_{n+1}=\left(\dfrac 2{n^2}+\dfrac 3n+1\right)x_n+n+1,n\in\mathbf N^*,$且$x_1=3$,求数列$\{x_n\}$的通项公式．

答案:$x_n=n^2(2n+1)$
提示:$\dfrac{x_{n+1}}{(n+1)^2(n+2)}=\dfrac{x_n}{n^2(n+1)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$

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