中值定理10-零碎问题

一、凹凸性

（一） 定义：
$y=f(x),(x\in D)$

1. i f ∀ x 1 , x 2 ∈ D 且 x 1 ≠ x 2 . 有 f ( x 1 + x 2 2 ) < f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 则 称 y = f ( x ) 在 D 内 为 凹 函 数 if\ \forall x_1,x_2 \in D且x_1 \neq x_2.有f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}则称y=f(x)在D内为凹函数 if ∀x1​,x2​∈D且x1​̸​=x2​.有f(2x1​+x2​​)<2f(x1​)+f(x2​)​则称y=f(x)在D内为凹函数

2. i f ∀ x 1 , x 2 ∈ D 且 x 1 ≠ x 2 . 有 f ( x 1 + x 2 2 ) > f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 则 称 y = f ( x ) 在 D 内 为 凸 函 数 if\ \forall x_1,x_2 \in D且x_1 \neq x_2.有f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}则称y=f(x)在D内为凸函数 if ∀x1​,x2​∈D且x1​̸​=x2​.有f(2x1​+x2​​)>2f(x1​)+f(x2​)​则称y=f(x)在D内为凸函数

（二）判别法
$y=f(x)(x\in D)$
1. i f ∀ x ∈ I , f ′ ′ > 0 则 y = f ( x ) 在 I 内 是 凹 的 if \forall x\in I,f''>0则y=f(x)在I内是凹的 if∀x∈I,f′′>0则y=f(x)在I内是凹的
2. i f ∀ x ∈ I , f ′ ′ < 0 则 y = f ( x ) 在 I 内 是 凸 的 if \forall x\in I,f''<0则y=f(x)在I内是凸的 if∀x∈I,f′′<0则y=f(x)在I内是凸的

如： y = x 3 y=x^3 y=x3
令 y ′ ′ = 6 x = 0 ⇒ x = 0 y''=6x=0\Rightarrow x=0 y′′=6x=0⇒x=0
当 x ∈ ( − ∞ , 0 ) 时 y ′ ′ < 0. ∴ y = x 3 在 ( − ∞ , 0 ) 内 是 凸 的 x\in (-\infty,0)时y''<0.\therefore y=x^3在(-\infty,0)内是凸的 x∈(−∞,0)时y′′<0.∴y=x3在(−∞,0)内是凸的
当 x ∈ ( 0 , + ∞ ) 时 y ′ ′ > 0. ∴ y = x 3 在 ( 0 , + ∞ ) 内 是 凹 的 x\in (0,+\infty)时y''>0.\therefore y=x^3在(0,+\infty)内是凹的 x∈(0,+∞)时y′′>0.∴y=x3在(0,+∞)内是凹的

二、渐近线

1.水平渐近线
i f lim ⁡ x → ∞ f ( x ) = A , y = A 为 y = f ( x ) 的 水 平 渐 近 线 if \underset{x\to \infty}{\lim}f(x)=A,y=A为y=f(x)的水平渐近线 ifx→∞lim​f(x)=A,y=A为y=f(x)的水平渐近线

2.铅直渐近线
i f { f ( a − 0 ) = ∞ f ( a + 0 ) = ∞ lim ⁡ x → a f ( x ) = ∞ if \begin{cases} f(a-0)=\infty \\ f(a+0)=\infty \\ \underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty \end{cases} if⎩⎪⎨⎪⎧​f(a−0)=∞f(a+0)=∞x→alim​f(x)=∞​
称x=a为y=f(x)的铅直渐近线

3.斜渐近线
i f { lim ⁡ x → ∞ f ( x ) x = a ( a ≠ 0 / ∞ ) lim ⁡ x → ∞ [ f ( x ) − a x ] = b if \begin{cases} \underset{x\to \infty}{\lim}\frac{f(x)}{x}=a(a\neq 0/\infty) \\ \underset{x\to \infty}{\lim}[f(x)-ax]=b \end{cases} if⎩⎨⎧​x→∞lim​xf(x)​=a(a̸​=0/∞)x→∞lim​[f(x)−ax]=b​
称$y=ax+b为斜渐近线$

三、弧微分、曲率、曲率半径

基本公式：
弧微分基本公式：

( d s ) 2 = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 (ds)^2=(dx)^2+(dy)^2 (ds)2=(dx)2+(dy)2
其中：

• 设 L ： y = f ( x ) , 则 d s = 1 + f ′ 2 ( x ) d x L：y=f(x),则ds=\sqrt{1+f'^2(x)}dx L：y=f(x),则ds=1+f′2(x) ​dx
• 设 L ： { x = φ ( t ) y = ψ ( t ) , 则 d s = φ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d x L：\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t) \end{cases},则ds=\sqrt{\varphi '^2(t)+\psi '^2(t)}dx L：{x=φ(t)y=ψ(t)​,则ds=φ′2(t)+ψ′2(t) ​dx
• 设 L ： r = r ( θ ) , 则 d s = r 2 ( θ ) + r ′ 2 ( θ ) d x L：r=r(\theta),则ds=\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}dx L：r=r(θ),则ds=r2(θ)+r′2(θ) ​dx

曲率计算公式：
k = ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 + y ′ 2 ) 3 2 \LARGE k=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}} k=(1+y′2)23​∣y′′∣​

曲率半径计算公式：

R = 1 k R=\frac{1}{k} R=k1​

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